Comment trouver les racines d’un polynôme
du second degré

Une méthode claire, rigoureuse et reproductible pour résoudre n’importe quelle équation du second degré — sans erreurs.

⏱ Lecture : 5 min 📐 Niveau : Première ✦ Exemples corrigés

Qu’est-ce qu’un polynôme du second degré ?

Un polynôme du second degré est une expression de la forme suivante, où a, b et c sont des nombres réels avec a ≠ 0 :

Forme générale

\[ ax^2 + bx + c \]

Chercher les racines d’un tel polynôme revient à résoudre l’équation : \( ax^2 + bx + c = 0 \). Les racines sont les valeurs de x qui annulent le polynôme.

Pourquoi cherche-t-on les racines ?

Les racines d’un polynôme du second degré sont utiles dans de nombreux contextes mathématiques et scientifiques : résoudre des équations algébriques, déterminer les intersections d’une parabole avec l’axe des abscisses, ou encore modéliser des trajectoires et des problèmes d’optimisation en physique.

La méthode en 3 étapes

Identifier les coefficients a, b et c

À partir de la forme ax² + bx + c, repérez chaque coefficient : a devant x², b devant x, et c le terme constant.

Exemple

\[ 2x^2 – 3x + 1 \quad \Rightarrow \quad a = 2,\; b = -3,\; c = 1 \]

⚠️ Attention aux signes négatifs — c’est la source d’erreurs la plus fréquente.

Calculer le discriminant Δ

Le discriminant est le cœur de la méthode. Il détermine le nombre et la nature des solutions.

Discriminant

\[ \Delta = b^2 – 4ac \]

Appliquer la formule selon la valeur de Δ

La valeur de Δ détermine quel cas de figure s’applique. Il y a trois cas possibles :

Δ > 0

Deux racines réelles distinctes

\[ x_1 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} \] \[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \]

Δ = 0

Une racine réelle double

\[ x = \frac{-b}{2a} \]

Une seule solution

Δ < 0

Aucune racine réelle

Pas de solution dans ℝ

Solutions complexes uniquement

Exemple détaillé corrigé

Résolvons pas à pas l’équation suivante :

Équation à résoudre

\[ x^2 – 4x + 3 = 0 \]

Résolution étape par étape

Identification : \( a = 1,\; b = -4,\; c = 3 \)

Discriminant : \( \Delta = (-4)^2 – 4 \times 1 \times 3 = 16 – 12 = 4 \)

Interprétation : \(\Delta = 4 > 0\) → deux racines réelles distinctes

Calcul : \[ x_1 = \frac{4 – 2}{2} = 1 \qquad x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3 \]

Lien avec la représentation graphique

Géométriquement, les racines d’un polynôme du second degré sont les points d’intersection de la parabole \( y = ax^2 + bx + c \) avec l’axe des abscisses (droite \( y = 0 \)). Selon le signe de Δ, la parabole coupe l’axe en deux points, le touche en un seul, ou ne le coupe pas.

Erreurs fréquentes à éviter

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Erreur de signe dans le discriminant — Veillez à bien écrire \( b^2 – 4ac \) et non \( b^2 + 4ac \).
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Mauvaise identification des coefficients — Réécrire le polynôme sous forme standard avant de commencer.
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Oubli de simplification — Pensez à simplifier la fraction finale lorsque c’est possible.
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Confondre \( x_1 \) et \( x_2 \) — Les deux formules sont valides ; l’ordre des racines n’a pas d’importance.