Comment étudier le signe d’une fonction du second degré ? Méthode et tableau de signes

Maths · Première

Comment étudier le signe
d’une fonction du second degré ?

Savoir quand une fonction est positive ou négative est essentiel pour résoudre des inéquations et tracer des courbes. Voici la méthode complète avec tableau de signes.

⏱ Lecture : 6 min 📐 Niveau : Première ✦ Exemples corrigés

Qu’est-ce qu’étudier le signe d’une fonction du second degré ?

Étudier le signe d’une fonction du second degré \( f(x) = ax^2 + bx + c \) consiste à déterminer, pour chaque intervalle de ℝ, si \( f(x) \) est positive, négative ou nulle. Cette étude est indispensable pour résoudre des inéquations du type \( f(x) > 0 \) ou \( f(x) \leq 0 \), et pour analyser le comportement graphique de la parabole.

Règle fondamentale du signe

\[ f(x) = ax^2 + bx + c \quad \text{a le signe de } a \text{ en dehors de ses racines (si elles existent)} \]

Autrement dit : une fonction du second degré a le signe de son coefficient dominant \( a \) partout, sauf entre ses racines où elle prend le signe opposé — à condition que \( \Delta > 0 \).

Pourquoi étudier le signe d’une fonction du second degré ?

Cette compétence est au cœur du programme de Première. Elle permet de résoudre des inéquations du second degré, d’étudier les variations d’une fonction composée, de déterminer les intervalles de positivité ou de négativité d’une expression, et de justifier des résultats en probabilités ou en géométrie.

La méthode en 3 étapes

Calculer le discriminant Δ

Le discriminant détermine le nombre de racines réelles, donc le nombre de changements de signe possibles. C’est le point de départ obligatoire de toute étude de signe.

Discriminant

\[ \Delta = b^2 – 4ac \]

Exemple

\[ f(x) = 2x^2 – 6x + 4 \quad \Rightarrow \quad \Delta = 36 – 32 = 4 > 0 \]

Identifier les racines (si elles existent)

Si \( \Delta > 0 \), calculez les deux racines \( x_1 \) et \( x_2 \) avec \( x_1 < x_2 \). Ce sont les bornes qui délimitent les intervalles du tableau de signes.

Racines si Δ > 0

\[ x_1 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} \qquad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \]

Exemple — suite

\[ x_1 = \frac{6 – 2}{4} = 1 \qquad x_2 = \frac{6 + 2}{4} = 2 \]

Dresser le tableau de signes

On place les racines sur la ligne des \( x \), puis on applique la règle du signe : \( f(x) \) a le signe de \( a \) à l’extérieur des racines, et le signe de \( -a \) entre les racines.

Les trois cas selon le discriminant

Le signe de Δ détermine entièrement la structure du tableau de signes :

Δ > 0

Deux racines \( x_1 < x_2 \)

\( f(x) \) s’annule en \( x_1 \) et \( x_2 \), et change de signe à chaque racine.

Signe de \( a \) sur \( ]-\infty, x_1[ \cup ]x_2, +\infty[ \)

Signe de \( -a \) sur \( ]x_1, x_2[ \)

Δ = 0

Une racine double \( x_0 \)

\( f(x_0) = 0 \) mais \( f \) ne change pas de signe — elle reste du signe de \( a \).

Signe de \( a \) sur \( \mathbb{R} \setminus \{x_0\} \)

Pas de changement de signe

Δ < 0

Aucune racine réelle

\( f(x) \) ne s’annule jamais et garde le signe de \( a \) sur tout ℝ.

Signe de \( a \) sur \( \mathbb{R} \) entier

Signe constant, pas de racine

Exemple détaillé corrigé

Étudions le signe de la fonction suivante et résolvons l’inéquation \( f(x) \leq 0 \) :

Fonction à étudier

\[ f(x) = 2x^2 – 6x + 4 \]

Résolution étape par étape

Coefficients : \( a = 2 > 0,\; b = -6,\; c = 4 \)

Discriminant : \( \Delta = (-6)^2 – 4 \times 2 \times 4 = 36 – 32 = 4 > 0 \)

Racines : \[ x_1 = \frac{6 – 2}{4} = 1 \qquad x_2 = \frac{6 + 2}{4} = 2 \]

Tableau de signes : comme \( a = 2 > 0 \), \( f(x) \) est positive à l’extérieur des racines et négative entre elles.

x	\( -\infty \)		1		2		\( +\infty \)
Signe de \( f(x) \)		+	0	−	0	+

Conclusion pour f(x) ≤ 0

\( f(x) \leq 0 \) lorsque \( x \in [1,\, 2] \)

\( f(x) \geq 0 \) lorsque \( x \in ]-\infty,\, 1] \cup [2,\, +\infty[ \)

Lien avec la représentation graphique

Graphiquement, le signe de \( f(x) \) correspond à la position de la parabole par rapport à l’axe des abscisses. Lorsque la courbe est au-dessus de l’axe, \( f(x) > 0 \). Lorsqu’elle est en dessous, \( f(x) < 0 \). Les points d’intersection avec l’axe des abscisses sont exactement les racines \( x_1 \) et \( x_2 \), là où \( f(x) = 0 \).

Erreurs fréquentes à éviter

!
Inverser le signe entre les racines — Entre \( x_1 \) et \( x_2 \), \( f(x) \) prend le signe de −a, pas de a. C’est l’erreur la plus courante.
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Oublier de vérifier que \( x_1 < x_2 \) — Toujours ordonner les racines avant de dresser le tableau. Si les formules donnent \( x_1 > x_2 \), intervertir.
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Conclure que \( f(x) \) change de signe quand \( \Delta = 0 \) — Une racine double annule la fonction mais ne change pas son signe : la parabole touche l’axe sans le traverser.
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Inclure ou exclure les bornes par erreur — Pour \( f(x) \leq 0 \), les racines sont incluses (crochet fermé). Pour \( f(x) < 0 \), elles sont exclues (parenthèse ouverte).

Récapitulatif de la méthode

✓ Calculer \( \Delta = b^2 – 4ac \) pour déterminer le nombre de racines
✓ Si \( \Delta > 0 \), calculer \( x_1 \) et \( x_2 \) et les ordonner
✓ Dresser le tableau de signes en plaçant les racines et le signe de \( a \)
✓ Appliquer la règle : signe de \( a \) à l’extérieur, signe de \( -a \) entre les racines
✓ Conclure en lisant l’intervalle solution dans le tableau