Qu’est-ce qu’un Nombre Premier ?

La définition est d’une simplicité désarmante. Un nombre premier est un nombre entier supérieur à 1 qui n’a que deux diviseurs : 1 et lui-même.

• 7 est premier : il ne peut être divisé que par 1 et 7.
• 6 n’est pas premier : il peut être divisé par 1, 2, 3 et 6. On l’appelle un nombre composé.
• 1 n’est pas premier : il n’a qu’un seul diviseur.
• 2 est le seul nombre premier pair. Tous les autres nombres pairs sont divisibles par 2.

Les premiers nombres premiers sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, … Cette suite, en apparence simple, cache une complexité et des mystères qui fascinent les mathématiciens depuis des millénaires.

Le Théorème Fondamental de l’Arithmétique

Si les nombres premiers sont les “atomes” des mathématiques, c’est à cause de ce théorème. Il énonce que **tout nombre entier supérieur à 1 peut être écrit de manière unique comme un produit de nombres premiers**.

C’est la “carte d’identité” d’un nombre. Peu importe comment vous vous y prenez, la décomposition en facteurs premiers d’un nombre sera toujours la même.

Prenons le nombre 30 :

• 30 = 2 × 15 = 2 × 3 × 5
• 30 = 5 × 6 = 5 × 2 × 3
• 30 = 3 × 10 = 3 × 2 × 5

Une Infinité de Nombres Premiers

Y a-t-il un plus grand nombre premier, après lequel il n’y en aurait plus ? Dès l’Antiquité, le mathématicien grec Euclide a prouvé que non, avec une élégante démonstration par l’absurde.

La Preuve d’Euclide (simplifiée)

1. Supposons qu’il existe un nombre fini de nombres premiers. On peut donc tous les lister : p₁, p₂, …, pₙ.
2. Construisons un nouveau nombre N en multipliant tous ces nombres premiers entre eux et en ajoutant 1 : N = (p₁ × p₂ × … × pₙ) + 1.
3. Ce nombre N est-il premier ? S’il l’est, alors nous avons trouvé un nouveau nombre premier qui n’était pas dans notre liste, ce qui est une contradiction.
4. S’il n’est pas premier, il doit être divisible par au moins un nombre premier de notre liste (selon le théorème fondamental). Mais si on divise N par n’importe lequel de nos pᵢ, le reste sera toujours 1. Donc N n’est divisible par aucun d’eux. C’est une autre contradiction.

Dans les deux cas, notre supposition de départ est fausse. Il doit donc exister une infinité de nombres premiers.

L’Importance des Nombres Premiers Aujourd’hui : La Cryptographie

Les nombres premiers ne sont pas qu’une curiosité théorique. La sécurité de la quasi-totalité de nos communications numériques (e-mails, transactions bancaires, mots de passe) repose sur eux, via un système appelé **cryptographie RSA**.

Le principe est le suivant :

• Il est très **facile** pour un ordinateur de multiplier deux très grands nombres premiers (par exemple, de 300 chiffres chacun) pour obtenir un nombre immense.
• Mais il est extraordinairement **difficile**, même pour les plus puissants supercalculateurs, de faire l’opération inverse : prendre ce nombre immense et retrouver les deux nombres premiers d’origine.

Votre navigateur utilise cette asymétrie pour sécuriser vos données. Il utilise une “clé publique” (le grand nombre) pour chiffrer les informations, mais seule la “clé privée” (les deux nombres premiers d’origine) peut les déchiffrer.

Les Mystères Non Résolus

Malgré leur simplicité apparente, les nombres premiers recèlent encore de nombreuses énigmes.

• L’Hypothèse de Riemann : Le plus célèbre problème non résolu des mathématiques, qui concerne la répartition des nombres premiers. Sa résolution est dotée d’un prix d’un million de dollars.
• La Conjecture des Nombres Premiers Jumeaux : Existe-t-il une infinité de paires de nombres premiers qui ne sont séparés que par 2 (comme 11 et 13, ou 17 et 19) ? Personne ne le sait.
• La Conjecture de Goldbach : Tout nombre pair supérieur à 2 peut-il s’écrire comme la somme de deux nombres premiers (ex: 10 = 3 + 7) ? On l’a vérifié pour des nombres immenses, mais aucune preuve n’existe.

Pour aller plus loin

Les nombres premiers sont un pilier des mathématiques. Explorez d’autres concepts fondamentaux qui interagissent avec eux.