Comment Démontrer qu’une Suite est Géométrique ?
Maîtrisez la méthode la plus rigoureuse pour prouver qu’une suite est géométrique : le calcul du rapport entre deux termes consécutifs.
Qu’est-ce qu’une suite géométrique ?
Une suite est dite géométrique si l’on passe d’un terme à son suivant en multipliant toujours par le même nombre (non nul). Ce nombre constant est appelé la raison de la suite, et on le note \( q \).
Par exemple, la suite 3, 6, 12, 24, … est géométrique car on multiplie toujours par 2. Sa raison est \( q = 2 \). Mathématiquement, cela se traduit par la relation de récurrence suivante :
Pour prouver qu’une suite est géométrique, il faut une démonstration rigoureuse qui montre que le rapport entre deux termes successifs est constant pour tout entier n.
La méthode infaillible en 3 étapes
La méthode la plus sûre, à condition que les termes de la suite ne soient pas nuls, est de calculer le rapport (la division) entre un terme et son précédent.
Exprimer \( u_{n+1} \) en fonction de n
Partez de l’expression de \( u_n \) donnée dans l’énoncé. Pour trouver \( u_{n+1} \), remplacez chaque n par (n+1). C’est la même première étape que pour les suites arithmétiques.
Calculer le rapport \( \frac{u_{n+1}}{u_n} \)
C’est ici que la méthode change. On divise l’expression de \( u_{n+1} \) par celle de \( u_n \). Utilisez les règles de calcul sur les puissances pour simplifier le résultat au maximum.
Le but est de montrer que le résultat de cette division est un nombre constant, c’est-à-dire qu’il ne dépend plus de n.
Conclure sur la nature de la suite
Si le résultat du calcul est une constante \( q \), alors vous pouvez conclure :
“Le rapport \( \frac{u_{n+1}}{u_n} \) est constant et égal à \( q \), donc la suite \( (u_n) \) est géométrique de raison \( q \).”
Si le résultat dépend encore de n, la suite n’est pas géométrique.
Exemple détaillé corrigé
Problème : Soit la suite \( (u_n) \) définie pour tout entier naturel n par \( u_n = 5 \cdot 2^n \). Démontrer que cette suite est géométrique.
1. Exprimer \( u_{n+1} \) :
On remplace n par (n+1) dans la formule : \( u_{n+1} = 5 \cdot 2^{n+1} \)
2. Calculer le rapport \( \frac{u_{n+1}}{u_n} \) :
\[ \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{5 \cdot 2^{n+1}}{5 \cdot 2^n} \] On peut immédiatement simplifier par 5 : \[ = \frac{2^{n+1}}{2^n} \] On utilise la règle des puissances \( \frac{a^m}{a^p} = a^{m-p} \) : \[ = 2^{(n+1) – n} = 2^1 = 2 \]
3. Conclure :
Le rapport \( \frac{u_{n+1}}{u_n} \) est constant et égal à 2. Conclusion : La suite \( (u_n) \) est une suite géométrique de raison \( q = 2 \).
Erreurs fréquentes à éviter
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Confondre avec la méthode arithmétique — Pour une suite géométrique, on calcule le rapport (division), pas la différence (soustraction).
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Mal simplifier les puissances — Révisez bien vos formules de calcul avec les exposants, notamment \( a^{n+1} = a^n \cdot a^1 \). C’est la clé de la simplification.
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Oublier la condition \( u_n \neq 0 \) — La méthode du rapport n’est valide que si l’on est sûr que les termes de la suite ne s’annulent pas. Dans la plupart des exercices de lycée, c’est le cas.
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