Forme développée, factorisée et canonique d’un polynôme du second degré

Maths · Première

Forme développée, factorisée
et canonique : quelles différences ?

Un même polynôme du second degré peut s’écrire de trois façons différentes. Comprendre chaque forme, c’est savoir choisir la bonne selon la situation.

⏱ Lecture : 6 min 📐 Niveau : Première ✦ Exemples corrigés

Qu’est-ce qu’un polynôme du second degré ?

Un polynôme du second degré est une expression algébrique qui peut s’écrire sous différentes formes équivalentes. Chaque forme met en valeur des informations distinctes sur le polynôme et est utile dans des contextes précis. Le même polynôme peut s’exprimer de trois façons : développée, factorisée ou canonique.

Le même polynôme, trois visages

\[ f(x) = 2x^2 – 8x + 6 \quad = \quad 2(x-1)(x-3) \quad = \quad 2(x-2)^2 – 2 \]

Ces trois écritures sont rigoureusement égales — elles représentent la même fonction. La question est donc : laquelle utiliser, et pourquoi ?

Pourquoi connaître les trois formes ?

Chaque forme possède ses avantages propres. La forme développée est la plus courante et la plus facile à manipuler. La forme factorisée permet de lire immédiatement les racines du polynôme. La forme canonique, elle, révèle le sommet de la parabole et facilite l’étude des variations. Savoir passer de l’une à l’autre est une compétence clé du programme de Première.

Les trois formes en détail

La forme développée

C’est la forme de référence, celle dans laquelle on identifie directement les coefficients a, b et c. Elle sert de point de départ pour calculer le discriminant et passer aux deux autres formes.

Forme développée

\[ f(x) = ax^2 + bx + c \quad \text{avec } a \neq 0 \]

Exemple

\[ f(x) = 2x^2 – 8x + 6 \quad \Rightarrow \quad a = 2,\; b = -8,\; c = 6 \]

⚠️ C’est depuis cette forme que l’on calcule \( \Delta \) et qu’on obtient les deux autres.

La forme factorisée

Lorsque le discriminant est strictement positif, le polynôme admet deux racines réelles \( x_1 \) et \( x_2 \). On peut alors l’écrire sous forme factorisée, qui met immédiatement en évidence ces racines.

Forme factorisée

\[ f(x) = a(x – x_1)(x – x_2) \]

Si \( \Delta = 0 \), la forme devient \( f(x) = a(x – x_0)^2 \) avec \( x_0 \) la racine double. Si \( \Delta < 0 \), la forme factorisée n’existe pas dans ℝ.

Exemple — suite

\[ \Delta = 64 – 48 = 16 \quad \Rightarrow \quad x_1 = 1,\; x_2 = 3 \] \[ f(x) = 2(x – 1)(x – 3) \]

La forme canonique

La forme canonique fait apparaître le sommet de la parabole \( S(\alpha, \beta) \). Elle s’obtient par un procédé appelé complétion du carré ou directement par les formules.

Forme canonique

\[ f(x) = a(x – \alpha)^2 + \beta \] \[ \text{avec } \alpha = -\frac{b}{2a} \quad \text{et} \quad \beta = -\frac{\Delta}{4a} \]

Exemple — suite

\[ \alpha = \frac{8}{4} = 2 \qquad \beta = -\frac{16}{8} = -2 \] \[ f(x) = 2(x – 2)^2 – 2 \]

→ Le sommet de la parabole est \( S(2, -2) \).

Comparaison des trois formes

Voici un tableau synthétique pour choisir la bonne forme selon l’objectif :

Développée

\( ax^2 + bx + c \)

Identifier a, b, c
Calculer Δ
Point de départ universel

Toujours disponible

Factorisée

\( a(x-x_1)(x-x_2) \)

Lire les racines
Étudier le signe
Résoudre des inéquations

Seulement si Δ ≥ 0

Canonique

\( a(x-\alpha)^2 + \beta \)

Trouver le sommet
Étudier les variations
Déterminer le min/max

Toujours disponible

Exemple détaillé corrigé

Partons du polynôme suivant et exprimons-le sous les trois formes :

Polynôme de départ

\[ f(x) = x^2 – 6x + 5 \]

Résolution étape par étape

Forme développée : \( a = 1,\; b = -6,\; c = 5 \) — déjà obtenue.

Discriminant : \( \Delta = (-6)^2 – 4 \times 1 \times 5 = 36 – 20 = 16 \)

Racines : \[ x_1 = \frac{6 – 4}{2} = 1 \qquad x_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5 \]

Forme factorisée : \[ f(x) = (x – 1)(x – 5) \]

Sommet : \( \alpha = \dfrac{6}{2} = 3 \quad;\quad \beta = -\dfrac{16}{4} = -4 \)

Forme canonique : \[ f(x) = (x – 3)^2 – 4 \]

→ La parabole a son sommet en \( S(3, -4) \), et coupe l’axe des abscisses en \( x=1 \) et \( x=5 \).

Lien avec la représentation graphique

Les trois formes décrivent la même parabole, mais chacune en éclaire un aspect différent. La forme développée permet de lire l’ordonnée à l’origine \( f(0) = c \). La forme factorisée révèle les points d’intersection avec l’axe des abscisses. La forme canonique donne directement les coordonnées du sommet, point où la parabole atteint son minimum (si \( a > 0 \)) ou son maximum (si \( a < 0 \)).

Erreurs fréquentes à éviter

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Oublier le facteur a dans la forme factorisée — On écrit \( a(x-x_1)(x-x_2) \) et non \( (x-x_1)(x-x_2) \) lorsque \( a \neq 1 \).
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Confondre α et β dans la forme canonique — \( \alpha \) est l’abscisse du sommet, \( \beta \) son ordonnée. Ne pas les intervertir.
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Tenter de factoriser quand Δ < 0 — Si le discriminant est négatif, la forme factorisée n’existe pas dans ℝ. Ne pas forcer.
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Erreur de signe dans \( (x – \alpha) \) — Si le sommet est en \( \alpha = 3 \), on écrit bien \( (x – 3)^2 \) et non \( (x + 3)^2 \).

Récapitulatif de la méthode

✓ Partir de la forme développée pour identifier \( a \), \( b \), \( c \)
✓ Calculer \( \Delta = b^2 – 4ac \) pour vérifier l’existence de la forme factorisée
✓ Déduire les racines \( x_1 \) et \( x_2 \) si \( \Delta \geq 0 \) et écrire la forme factorisée
✓ Calculer \( \alpha = -b/(2a) \) et \( \beta = -\Delta/(4a) \) pour la forme canonique
✓ Vérifier chaque forme en la développant — on doit retrouver \( ax^2 + bx + c \)