Résoudre une Inéquation du Second Degré
Apprenez la méthode infaillible du tableau de signes pour déterminer quand un polynôme est positif ou négatif, une compétence clé pour le bac.
Qu’est-ce qu’une inéquation du second degré ?
Résoudre une inéquation du second degré, c’est trouver l’ensemble des valeurs de x pour lesquelles un polynôme \( ax^2 + bx + c \) est supérieur (>), inférieur (<), supérieur ou égal (≥) ou inférieur ou égal (≤) à zéro.
Contrairement à une équation qui a des solutions ponctuelles (les racines), une inéquation a pour solution un ou plusieurs intervalles. La clé pour les trouver est de connaître le signe du polynôme.
Le signe d’un polynôme du second degré est constant, sauf entre ses racines (s’il en a).
La règle est simple : le polynôme est du signe de a à l’extérieur des racines et du signe de -a à l’intérieur des racines.
La méthode en 4 étapes avec le tableau de signes
Ramener l’inéquation à zéro
Assurez-vous que votre inéquation est bien de la forme \( ax^2 + bx + c \geq 0 \) (ou avec <, >, ≤). Si ce n’est pas le cas, déplacez tous les termes d’un seul côté.
Trouver les racines du polynôme
Calculez le discriminant \( \Delta = b^2 – 4ac \) pour trouver les racines \( x_1 \) et \( x_2 \) (si elles existent) en résolvant l’équation \( ax^2 + bx + c = 0 \). Ces racines sont les valeurs où le polynôme s’annule et change potentiellement de signe.
Construire le tableau de signes
C’est l’étape la plus importante. Le tableau doit contenir :
- Une ligne pour x avec les valeurs des racines, ordonnées de la plus petite à la plus grande.
- Une ligne pour le signe de \( ax^2 + bx + c \).
- On place des zéros sous les racines.
- On applique la règle : signe de a à l’extérieur des racines.
Conclure avec l’ensemble des solutions
Lisez la ligne “signe” du tableau pour identifier les intervalles qui correspondent à votre inéquation de départ (par exemple, où le signe est “+”). N’oubliez pas de faire attention si l’inégalité est stricte (<) ou large (≤) pour inclure ou exclure les racines.
Exemple détaillé : Résoudre \( -x^2 + x + 6 \geq 0 \)
1. L’inéquation est déjà ramenée à zéro.
On étudie le signe du polynôme \( P(x) = -x^2 + x + 6 \).
2. Trouver les racines :
On a \( a = -1, b = 1, c = 6 \). \( \Delta = b^2 – 4ac = 1^2 – 4(-1)(6) = 1 + 24 = 25 \). Comme \( \Delta > 0 \), il y a deux racines : \( x_1 = \frac{-1 – \sqrt{25}}{2(-1)} = \frac{-6}{-2} = 3 \) \( x_2 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2(-1)} = \frac{4}{-2} = -2 \)
3. Construire le tableau de signes :
Les racines sont -2 et 3. Le coefficient \( a = -1 \) est négatif. La règle est donc “signe de a (négatif) à l’extérieur des racines”.
| \(x\) | \(-\infty\) | -2 | 3 | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Signe de \(P(x)\) | − | 0 | + | 0 | − |
4. Conclure :
On cherche les valeurs de x pour lesquelles \( P(x) \geq 0 \), c’est-à-dire où le tableau affiche un signe “+”. Cela correspond à l’intervalle entre -2 et 3. Comme l’inégalité est large (≥), on inclut les racines. L’ensemble des solutions est \( S = [-2, 3] \).
Erreurs fréquentes à éviter
-
Se tromper dans la règle des signes — Retenez une seule chose : “signe de a à l’extérieur des racines”. Le reste en découle.
-
Mal ordonner les racines dans le tableau — Toujours placer la plus petite racine à gauche.
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Confondre inégalités strictes et larges — Si l’inégalité est > ou <, les crochets de l'intervalle solution sont ouverts (on exclut les racines). Si elle est ≥ ou ≤, les crochets sont fermés.
-
Oublier le cas où il n’y a pas de racines (\( \Delta < 0 \)) — Dans ce cas, le polynôme est toujours du signe de a sur \( \mathbb{R} \). La solution est soit \( \mathbb{R} \) entier, soit l’ensemble vide.
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Pour aller plus loin
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