📘 I-F — Comparaison des fonctions de référence
📐 Comparaison sur [0;1] et [1;+∞[
![Comparaison des fonctions x, x², x³ sur [0;1] et [1;+∞[](https://media-image.kartable.fr/uploads/finalImages/final_5ee33d82b515b3.76925240.png)
| Intervalle | Inégalité |
|---|---|
| [0;1] | x ≥ x² ≥ x³ ≥ 0 |
| [1;+∞[ | x ≤ x² ≤ x³ |
Preuve sur [0;1] : multiplier 0≤x≤1 par x (positif) → 0≤x²≤x≤1 ; re-multiplier par x → 0≤x³≤x²≤x≤1.
📐 Tableau récapitulatif des fonctions de référence
| Fonction | Domaine | Parité | Variations |
|---|---|---|---|
| ax+b | ℝ | — | ↗ si a>0, ↘ si a<0 |
| x² | ℝ | Paire | ↘ sur ]−∞;0], ↗ sur [0;+∞[ |
| √x | [0;+∞[ | — | ↗ sur [0;+∞[ |
| 1/x | ℝ{0} | Impaire | ↘ sur ]−∞;0[ et ]0;+∞[ |
| x³ | ℝ | Impaire | ↗ sur ℝ |
💡 À retenir
• Sur [0;1] : x ≥ x² ≥ x³.
• Sur [1;+∞[ : x ≤ x² ≤ x³.
• Connaître domaine, parité et variations de chaque fonction de référence.