Résolution Exacte du Pendule Simple — Intégrales Elliptiques | FreeCourse Mécanique Analytique · Mathématiques · Terminale / CPGE / Licence Résolution Exactedu Pendule Simple :Intégrales Elliptiques On vous a appris \( T = 2\pi\sqrt{\ell/g} \) — valable uniquement pour les petites oscillations. Mais que se passe-t-il pour un pendule lâché à 90°, à 150°, ou juste en dessous du sommet ? La solution exacte fait intervenir des intégrales elliptiques et les fonctions de Jacobi — deux des objets mathématiques les plus riches de la physique classique. ⏱ Lecture : 22 min 🔬 Niveau : Terminale / CPGE / Licence ✦ Cours + 5 Exercices Corrigés Partie 1 — Mise en place : l'équation du mouvement exacte 1.1 — Le système et ses hypothèses Un pendule simple idéal est un point matériel de masse \( m \) accroché à un fil inextensible de longueur \( \ell \) et de masse négligeable, dans un champ de pesanteur uniforme \( g \). Le seul degré de liberté est l'angle \( \theta(t) \) que fait le fil avec la verticale. verticale θ m ℓ mg −mg sinθ (composante tang.) T (tension) Newton : mℓθ̈ = −mg sinθ θ̈ + (g/ℓ) sinθ = 0 Approximation sinθ ≈ θ : θ̈ + ω₀²θ = 0 (SHO) Pendule simple — la force tangentielle nette vaut \(−mg\sin\theta\), pas \(−mg\theta\). C'est cette non-linéarité du sinus qui rend le problème exact non trivial et nécessite les intégrales elliptiques. Équation du mouvement exacte du pendule simple \[ \ddot\theta + \frac{g}{\ell}\sin\theta = 0 \] \( \theta \) — angle par rapport à la verticale (en radians) \( g \) — accélération de la pesanteur (en m/s²) \( \ell \) — longueur du pendule (en m) \( \omega_0 = \sqrt{g/\ell} \) — pulsation propre de l'approximation linéaire Cette équation est non linéaire à cause du terme \( \sin\theta \). Elle n'admet pas de solution sous forme de fonctions élémentaires (polynômes, exponentielles, trigonométriques) pour un angle quelconque. On va la résoudre exactement en deux étapes : d'abord par la conservation de l'énergie (séparation des variables), puis par réduction en intégrale elliptique. Partie 2 — Première intégrale : conservation de l'énergie 2.1 — Intégrer une première fois par l'énergie L'équation du pendule est du second ordre. On obtient une première intégrale (constante du mouvement) en multipliant par \( \dot\theta \) : 1 Multiplier l'équation par \( \dot\theta \) \( \ddot\theta\dot\theta + \omega_0^2\sin\theta\,\dot\theta = 0 \implies \dfrac{d}{dt}\!\left[\dfrac{\dot\theta^2}{2} - \omega_0^2\cos\theta\right] = 0 \) 2 Identifier la constante du mouvement \( \dfrac{\dot\theta^2}{2} - \omega_0^2\cos\theta = \text{constante} = C \) En posant \( \theta(0) = \theta_0 \) (amplitude maximale) et \( \dot\theta(0) = 0 \) : \( C = -\omega_0^2\cos\theta_0 \) 3 Isoler \( \dot\theta \) \( \dot\theta^2 = 2\omega_0^2(\cos\theta - \cos\theta_0) \implies \dot\theta = \pm\omega_0\sqrt{2(\cos\theta - \cos\theta_0)} \) Première intégrale — conservation de l'énergie \[ \frac{\dot\theta^2}{2} + \omega_0^2(1-\cos\theta) = \omega_0^2(1-\cos\theta_0) = E/m\ell^2 \] \[ \dot\theta = \pm\,\omega_0\sqrt{2(\cos\theta - \cos\theta_0)} \] L'énergie totale (cinétique + potentielle) est conservée car il n'y a pas de friction. Le signe + correspond au demi-oscillation de gauche à droite, le signe − de droite à gauche. Domaine de validité : pour que \( \dot\theta^2 \geq 0 \), il faut \( |\theta| \leq |\theta_0| \) — le pendule reste confiné entre \( -\theta_0 \) et \( +\theta_0 \). Si \( \theta_0 = \pi \) : le pendule atteint exactement le sommet avec vitesse nulle (cas limite). Si \( E > 2m\ell^2\omega_0^2 \) : le pendule tourne en boucle (mouvement de rotation). Partie 3 — La période exacte : intégrale elliptique de première espèce 3.1 — Séparation des variables et intégration En séparant les variables dans \( \dot\theta = \omega_0\sqrt{2(\cos\theta - \cos\theta_0)} \), on obtient le temps mis pour aller de \( \theta = 0 \) à \( \theta = \theta_0 \) (quart de période) : Période exacte — réduction en intégrale elliptique \[ \frac{T}{4} = \int_0^{\theta_0} \frac{d\theta}{\omega_0\sqrt{2(\cos\theta - \cos\theta_0)}} \] On utilise l'identité trigonométrique \( \cos\theta - \cos\theta_0 = 2\sin^2(\theta_0/2) - 2\sin^2(\theta/2) \) (qui découle de \( \cos\alpha = 1 - 2\sin^2(\alpha/2) \)) On pose le module elliptique \( k = \sin(\theta_0/2) \), et le changement de variable : \( \sin(\theta/2) = k\sin\varphi \implies \dfrac{1}{2}\cos(\theta/2)\,d\theta = k\cos\varphi\,d\varphi \) Résultat exact — la période en termes d'intégrale elliptique K(k) \[ \boxed{T = 4\sqrt{\frac{\ell}{g}}\,K(k) = \frac{2\pi}{\omega_0}\cdot\frac{2}{\pi}\,K(k)} \quad \text{avec} \quad k = \sin\!\left(\frac{\theta_0}{2}\right) \] \[ K(k) = \int_0^{\pi/2}\frac{d\varphi}{\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}} \] \( K(k) \) — intégrale elliptique complète de première espèce \( k \) — module elliptique (\( 0 \leq k < 1 \) pour les oscillations, \( k \to 1 \) pour \( \theta_0 \to \pi \)) \( K(0) = \pi/2 \) (pendule de petite amplitude) → \( T = 4\sqrt{\ell/g}\times\pi/2 = 2\pi\sqrt{\ell/g} \) ✓ Comportement asymptotique : \( k \to 1 \) (\( \theta_0 \to \pi \)) : \( K(k) \to \ln(4/\sqrt{1-k^2}) \to +\infty \) — la période diverge logarithmiquement Un pendule lâché juste en dessous du sommet met un temps infini pour atteindre le sommet ! θ₀ (°) T/T₀ 0° 30° 60° 90° 120° 150° 1.00 1.10 1.25 1.50 2.00 T exact = (4/ω₀)K(k) T₀ = 2π/ω₀ (approx. linéaire) T₂ (corr. ordre 2) +18% à 90° +37% à 120° L'approximation T₀ surestime la fréquence — l'erreur croît rapidement avec l'amplitude Rapport T/T₀ entre la période exacte et la période harmonique en fonction de l'amplitude θ₀ — à 30°, l'erreur n'est que de 1,9% ; à 90°, elle atteint 18% ; à 150°, elle dépasse 75%. La courbe bleue (exacte) diverge vers l'infini quand θ₀→180°. Partie 4 — Développement en série de la période 4.1 — Développement de K(k) en puissances de k L'intégrale elliptique \( K(k) \) admet un développement en série entière convergente pour \( |k| < 1 \), obtenu en développant \( (1-k^2\sin^2\varphi)^{-1/2} \) par la formule du binôme et en intégrant terme à terme : Développement en série de K(k) et de la période T \[ K(k) = \frac{\pi}{2}\left[1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 k^2 + \left(\frac{1\cdot3}{2\cdot4}\right)^2 k^4 + \left(\frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6}\right)^2 k^6 + \cdots\right] \] \[ = \frac{\pi}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\left[\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}\right]^2 k^{2n} \] \[ T = 2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}}\left[1 + \frac{1}{4}\sin^2\!\frac{\theta_0}{2} + \frac{9}{64}\sin^4\!\frac{\theta_0}{2} + \frac{25}{256}\sin^6\!\frac{\theta_0}{2} + \cdots\right] \] En développant \( \sin^2(\theta_0/2) \approx \theta_0^2/4 \) pour les petits angles : \( T \approx 2\pi\sqrt{\ell/g}\left[1 + \dfrac{\theta_0^2}{16} + \dfrac{11\theta_0^4}{3072} + \cdots\right] \) Premiers termes pratiques : Ordre 2 : \( T \approx T_0\left(1 + \dfrac{\theta_0^2}{16}\right) \) — valable jusqu'à ~20° Ordre 4 : \( T \approx T_0\left(1 + \dfrac{\theta_0^2}{16} + \dfrac{11\theta_0^4}{3072}\right) \) — valable jusqu'à ~40° \( \theta_0 \)k = sin(θ₀/2)T/T₀ exactT/T₀ ordre 2Erreur ordre 2 10°0,08721,001901,00190≈ 0% 30°0,25881,017201,016770,04% 60°0,50001,073181,062501,0% 90°0,70711,180341,125004,7% 120°0,86601,373201,1875013,5% 150°0,96591,755171,2338629,7% 179°0,9999≈ 6,951,2500082% Partie 5 — La solution exacte \( \theta(t) \) — fonctions de Jacobi 5.1 — Les fonctions elliptiques de Jacobi La période n'est qu'une partie de la solution. Pour obtenir \( \theta(t) \) lui-même à tout instant, on doit "inverser" l'intégrale elliptique — c'est-à-dire exprimer l'angle \( \theta \) en fonction du temps. Ce sont les fonctions elliptiques de Jacobi qui accomplissent cette inversion, de la même façon que \( \arcsin \) est l'inverse de \( \sin \). Solution exacte \( \theta(t) \) — fonctions de Jacobi \[ \sin\!\left(\frac{\theta(t)}{2}\right) = k\,\text{sn}\!\left(\omega_0 t + K(k)\,,\,k\right) \] \[ \text{soit} \quad \theta(t) = 2\arcsin\!\left[k\,\text{sn}(\omega_0 t, k)\right] \quad \text{(si } \theta(0)=0 \text{ et } \dot\theta(0)>0 \text{)} \] \( \text{sn}(u, k) \) — sinus de Jacobi : généralisation du sinus ordinaire \( \text{cn}(u, k) \) — cosinus de Jacobi : généralisation du cosinus ordinaire \( \text{dn}(u, k) \) — delta amplitude de Jacobi Cas limites : \( k \to 0 \) : \( \text{sn}(u,0) = \sin u \) → solution harmonique ordinaire \( \theta(t) = \theta_0\sin(\omega_0 t) \) \( k \to 1 \) : \( \text{sn}(u,1) = \tanh u \) → solution du pendule au sommet : \( \theta(t) = 4\arctan(e^{\omega_0 t}) - \pi \) (séparatrice) Les fonctions de Jacobi sont doublement périodiques dans le plan complexe — elles sont les objets naturels de la mécanique des systèmes intégrables à un degré de liberté. 5.2 — L'espace des phases et le portrait de phase L'espace des phases \( (\theta, \dot\theta) \) révèle toute la richesse de la dynamique du pendule : oscillations, séparatrice et rotations continues. θ θ̇ 0 −π +π équilibre stable col (instable) col (instable) Séparatrice (E = 2mℓ²ω₀²) Rotations (E > 2mℓ²ω₀²) Rotations Oscillations libres Portrait de phase du pendule simple — les courbes fermées bleues (intérieur de la séparatrice) correspondent aux oscillations libres décrites par les fonctions de Jacobi. La séparatrice rouge (E = 2mℓ²ω₀²) sépare les oscillations des rotations. Les courbes ouvertes violettes correspondent aux rotations complètes (pendule qui "tourne en boucle"). 🔗 Le lien avec les intégrales elliptiques de Legendre La fonction \( \text{sn}(u,k) \) est définie par l'inversion de l'intégrale elliptique incomplète : \( u = F(\varphi, k) = \int_0^\varphi \dfrac{d\psi}{\sqrt{1-k^2\sin^2\psi}} \implies \varphi = \text{am}(u,k) \) (amplitude de Jacobi) \( \text{sn}(u,k) = \sin(\text{am}(u,k)) \quad \text{cn}(u,k) = \cos(\text{am}(u,k)) \quad \text{dn}(u,k) = \sqrt{1-k^2\text{sn}^2(u,k)} \) Propriétés analogues aux fonctions trigonométriques ordinaires : \( \text{sn}^2 + \text{cn}^2 = 1 \quad k^2\text{sn}^2 + \text{dn}^2 = 1 \) \( \dfrac{d\,\text{sn}}{du} = \text{cn}\cdot\text{dn} \quad \dfrac{d\,\text{cn}}{du} = -\text{sn}\cdot\text{dn} \quad \dfrac{d\,\text{dn}}{du} = -k^2\text{sn}\cdot\text{cn} \) Partie 6 — Cas particuliers remarquables 6.1 — Le pendule au sommet : la séparatrice Pour \( \theta_0 \to \pi^- \) (pendule lâché juste en dessous du sommet), le module \( k \to 1^- \) et \( K(k) \to +\infty \). Le pendule atteint le sommet en temps infini — c'est la séparatrice, trajectoire d'énergie exactement égale à \( 2m\ell^2\omega_0^2 \). La solution est : Mouvement sur la séparatrice (k=1, θ₀=π) \[ \theta(t) = 2\arctan\!\left(\sinh(\omega_0 t)\right) = 4\arctan(e^{\omega_0 t}) - \pi \] À \( t \to \pm\infty \) : \( \theta \to \pm\pi \) (le pendule tend asymptotiquement vers le sommet) À \( t = 0 \) : \( \theta = 0 \) (passage par l'équilibre bas avec vitesse maximale \( \dot\theta_{\max} = 2\omega_0 \)) Cette solution est fondamentale en mécanique des solitons : elle correspond au kink topologique de l'équation de sine-Gordon, à la jonction Josephson (physique du condensé) et aux solitons de la chaîne de pendules. 6.2 — La rotation complète Si l'énergie \( E > 2m\ell^2\omega_0^2 \) (c'est-à-dire si le pendule est lancé avec une vitesse initiale suffisante), le pendule effectue des rotations complètes. Dans ce cas, le module elliptique est \( k' = 1/k > 1 \) et la période est : Période de rotation complète (E > 2mℓ²ω₀²) \[ T_{\text{rot}} = \frac{2K(1/k)}{k\omega_0} \quad \text{avec} \quad k = \frac{1}{\sin(\theta_0/2)} \quad (k > 1) \] Plus précisément, avec \( k_{\text{rot}} = \omega_0/\dot\theta_{\max} < 1 \) (paramètre de rotation) : \( T_{\text{rot}} = \dfrac{2K(k_{\text{rot}})}{(\dot\theta_{\max}/2)} \) La solution est : \( \theta(t) = 2\,\text{am}((\dot\theta_{\max}/2)\,t,\, k_{\text{rot}}) \) À grande vitesse (\( \dot\theta_{\max} \gg \omega_0 \)) : \( k_{\text{rot}} \to 0 \), \( K \to \pi/2 \), \( T \to 2\pi/\dot\theta_{\max} \) — rotation uniforme ✓ Exercices Corrigés Vert — Niveau 1 Bleu — Niveau 2 Violet — Niveau 3 Rouge — Avancé 1 Correction de la période à l'ordre 2 — pendule d'horloge Niveau 1 — Développement limité 📋 Énoncé Un pendule d'horloge de longueur \( \ell = 1{,}000 \ \text{m} \) oscille avec une amplitude de \( \theta_0 = 5° \). On utilise la correction du second ordre : \( T \approx T_0\!\left(1 + \dfrac{\theta_0^2}{16}\right) \) avec \( \theta_0 \) en radians. 1. Calculer la période linéaire \( T_0 = 2\pi\sqrt{\ell/g} \). 2. Calculer la correction relative \( \Delta T/T_0 = \theta_0^2/16 \). 3. Calculer la dérive en secondes par jour due à cette correction si l'horloge est réglée sur \( T_0 \). 4. Si l'amplitude passe de 5° à 8° (usure du mécanisme), quelle est la variation de période ? L'horloge prend-elle de l'avance ou du retard ? Données ℓ = 1,000 m | g = 9,81 m/s² | θ₀ = 5° = 5π/180 rad ≈ 0,08727 rad 📖 Voir le corrigé ▼ 1 \( T_0 = 2\pi\sqrt{\ell/g} = 2\pi\sqrt{1{,}000/9{,}81} = 2\pi\times0{,}3193 \approx \mathbf{2{,}0064 \ \text{s}} \) 2 \( \theta_0 = 5\pi/180 \approx 0{,}08727 \ \text{rad} \) \( \Delta T/T_0 = \theta_0^2/16 = (0{,}08727)^2/16 = 7{,}616\times10^{-3}/16 \approx \mathbf{4{,}76\times10^{-4}} \) Soit une correction de 0,0476% 3 Dérive par seconde : \( \Delta T = T_0\times4{,}76\times10^{-4} = 2{,}0064\times4{,}76\times10^{-4} \approx 9{,}55\times10^{-4} \ \text{s} \) par oscillation En une journée (86 400 s) : nombre d'oscillations \( = 86400/T \approx 43 070 \) Retard total : \( 43070\times9{,}55\times10^{-4} \approx \mathbf{41 \ \text{s/jour}} \) L'horloge prend du retard car la période réelle est plus longue que \( T_0 \). 4 À \( \theta_0 = 8° = 0{,}1396 \ \text{rad} \) : \( \Delta T_8/T_0 = (0{,}1396)^2/16 = 1{,}949\times10^{-2}/16 = 1{,}218\times10^{-3} \) Variation : \( \Delta(\Delta T/T_0) = 1{,}218\times10^{-3} - 4{,}76\times10^{-4} = 7{,}42\times10^{-4} \) Retard supplémentaire : \( 43070\times7{,}42\times10^{-4}\times2{,}006 \approx \mathbf{64 \ \text{s/jour}} \) supplémentaires Retard total à 8° : ~105 s/jour. Passage de 5° à 8° ajoute ~64 s/jour de retard. Résultats \( T_0 \approx 2{,}006 \ \text{s} \) — Correction : +0,0476% — Retard à 5° : ~41 s/jour — Retard supplémentaire à 8° : ~64 s/jour C'est pourquoi les horloges à pendule de précision ont des mécanismes pour maintenir l'amplitude strictement constante (suspension à ressort de Hooke, compensation de température). Christiaan Huygens avait déjà identifié ce problème en 1659 ! 2 Vitesse maximale et hauteur — conservation de l'énergie Niveau 2 — Énergie et cinématique 📋 Énoncé Un pendule simple de longueur \( \ell = 1{,}5 \ \text{m} \) est lâché sans vitesse initiale depuis \( \theta_0 = 120° \). 1. Calculer la vitesse angulaire maximale \( \dot\theta_{\max} \) et la vitesse linéaire maximale de la masse. 2. Vérifier par conservation de l'énergie (hauteur de chute). 3. Calculer la tension du fil au bas de la trajectoire (\( \theta = 0 \)). 4. Calculer le module elliptique \( k \) et estimer la période \( T \) en utilisant \( K(0{,}866) \approx 2{,}156 \). Données ℓ = 1,5 m | θ₀ = 120° = 2π/3 rad | g = 9,81 m/s² | K(0,866) = 2,156 📖 Voir le corrigé ▼ 1 Conservation de l'énergie : \( \dot\theta_{\max}^2 = 2\omega_0^2(\cos 0 - \cos\theta_0) = 2\omega_0^2(1-\cos120°) \) \( = 2\omega_0^2(1-(-1/2)) = 2\omega_0^2\times3/2 = 3\omega_0^2 \) \( \omega_0 = \sqrt{g/\ell} = \sqrt{9{,}81/1{,}5} = \sqrt{6{,}54} \approx 2{,}557 \ \text{rad/s} \) \( \dot\theta_{\max} = \sqrt{3}\,\omega_0 = \sqrt{3}\times2{,}557 \approx \mathbf{4{,}429 \ \text{rad/s}} \) Vitesse linéaire : \( v_{\max} = \ell\dot\theta_{\max} = 1{,}5\times4{,}429 \approx \mathbf{6{,}64 \ \text{m/s}} \) 2 Hauteur de chute : \( h = \ell(1-\cos\theta_0) - \ell(1-\cos 0) = \ell(\cos 0 - \cos\theta_0) \) \( = 1{,}5\times(1 - (-1/2)) = 1{,}5\times1{,}5 = \mathbf{2{,}25 \ \text{m}} \) \( v_{\max} = \sqrt{2gh} = \sqrt{2\times9{,}81\times2{,}25} = \sqrt{44{,}145} \approx \mathbf{6{,}64 \ \text{m/s}} \) ✓ 3 Au bas (\( \theta=0 \)), Newton radial : \( T_{\text{fil}} - mg = m\ell\dot\theta_{\max}^2 \) \( T_{\text{fil}} = m(g + \ell\dot\theta_{\max}^2) = m(9{,}81 + 1{,}5\times19{,}62) = m(9{,}81+29{,}43) = m\times39{,}24 \ \text{N/kg} \) \( T_{\text{fil}} = 4mg \) — la tension au bas vaut 4 fois le poids 4 \( k = \sin(\theta_0/2) = \sin(60°) = \sqrt{3}/2 \approx \mathbf{0{,}866} \) \( T = 4\sqrt{\ell/g}\,K(k) = 4\times\sqrt{1{,}5/9{,}81}\times2{,}156 = 4\times0{,}3909\times2{,}156 \approx \mathbf{3{,}37 \ \text{s}} \) Comparaison : \( T_0 = 2\pi\sqrt{1{,}5/9{,}81} \approx 2{,}456 \ \text{s} \) Rapport : \( T/T_0 \approx 3{,}37/2{,}456 \approx \mathbf{1{,}372} \) (+37%) Résultats \( \dot\theta_{\max} \approx 4{,}43 \ \text{rad/s} \) — \( v_{\max} \approx 6{,}64 \ \text{m/s} \) — \( T_{\text{fil}} = 4mg \) — \( T \approx 3{,}37 \ \text{s} \) (+37% vs linéaire) 3 Dérivation de l'intégrale elliptique de période Niveau 2 — Calcul intégral 📋 Énoncé On démontre étape par étape la réduction à l'intégrale elliptique. 1. Partir de \( \dot\theta = \omega_0\sqrt{2(\cos\theta-\cos\theta_0)} \) et exprimer \( dt \) en fonction de \( d\theta \). 2. En utilisant \( \cos\alpha = 1-2\sin^2(\alpha/2) \), montrer que \( \cos\theta-\cos\theta_0 = 2(k^2-\sin^2(\theta/2)) \) avec \( k = \sin(\theta_0/2) \). 3. Poser le changement de variable \( \sin(\theta/2) = k\sin\varphi \) et montrer que l'intégrale sur un quart de période devient \( T/4 = (1/\omega_0)K(k) \). 4. Vérifier la limite \( k \to 0 \) (petites oscillations) donne bien \( T = 2\pi/\omega_0 \). 📖 Voir le corrigé ▼ 1 \( \dfrac{d\theta}{dt} = \omega_0\sqrt{2(\cos\theta-\cos\theta_0)} \) \( dt = \dfrac{d\theta}{\omega_0\sqrt{2(\cos\theta-\cos\theta_0)}} \) Quart de période (de \( \theta=0 \) à \( \theta=\theta_0 \)) : \( T/4 = \dfrac{1}{\omega_0}\int_0^{\theta_0}\dfrac{d\theta}{\sqrt{2(\cos\theta-\cos\theta_0)}} \) 2 \( \cos\theta = 1-2\sin^2(\theta/2) \) et \( \cos\theta_0 = 1-2\sin^2(\theta_0/2) = 1-2k^2 \) \( \cos\theta-\cos\theta_0 = [1-2\sin^2(\theta/2)] - [1-2k^2] = 2k^2 - 2\sin^2(\theta/2) = 2(k^2-\sin^2(\theta/2)) \) Donc : \( \sqrt{2(\cos\theta-\cos\theta_0)} = 2\sqrt{k^2-\sin^2(\theta/2)} \) 3 Changement de variable : \( \sin(\theta/2) = k\sin\varphi \) Dérivation : \( \dfrac{1}{2}\cos(\theta/2)d\theta = k\cos\varphi\,d\varphi \implies d\theta = \dfrac{2k\cos\varphi\,d\varphi}{\cos(\theta/2)} \) Or \( \cos(\theta/2) = \sqrt{1-\sin^2(\theta/2)} = \sqrt{1-k^2\sin^2\varphi} \) Substitution : \( T/4 = \dfrac{1}{\omega_0}\int_0^{\pi/2}\dfrac{2k\cos\varphi\,d\varphi/\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}}{2\sqrt{k^2-k^2\sin^2\varphi}} = \dfrac{1}{\omega_0}\int_0^{\pi/2}\dfrac{d\varphi}{\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}} = \dfrac{K(k)}{\omega_0} \) ✓ 4 Pour \( k \to 0 \) : \( K(k) \to K(0) = \int_0^{\pi/2}d\varphi = \pi/2 \) \( T = 4K(0)/\omega_0 = 4(\pi/2)/\omega_0 = 2\pi/\omega_0 = 2\pi\sqrt{\ell/g} \) ✓ On retrouve bien la formule des petites oscillations. Résultats \( T = \dfrac{4}{\omega_0}K\!\left(\sin\dfrac{\theta_0}{2}\right) \) — vérification : \( k\to0 \implies T\to 2\pi/\omega_0 \) ✓ 4 Vitesse minimale pour la rotation complète — pendule cycliste Niveau 3 — Transition oscillation/rotation 📋 Énoncé Un pendule de longueur \( \ell = 1 \ \text{m} \) est lancé depuis le bas (\( \theta = 0 \)) avec une vitesse angulaire initiale \( \dot\theta_0 \). 1. Quelle est la condition sur \( \dot\theta_0 \) pour que le pendule effectue une rotation complète (passe au sommet) ? 2. Calculer la vitesse angulaire minimale \( \dot\theta_{\min} \) et la vitesse linéaire minimale correspondante. 3. Au sommet (\( \theta = \pi \)), pour la vitesse minimale, quelle est la tension dans le fil ? Que se passe-t-il si \( \dot\theta_0 < \dot\theta_{\min} \) ? 4. Calculer la vitesse en fonction de \( \theta \) pour \( \dot\theta_0 = 2\dot\theta_{\min} \) (double de la vitesse minimale). Données ℓ = 1 m | g = 9,81 m/s² | ω₀ = √(g/ℓ) = 3,132 rad/s 📖 Voir le corrigé ▼ 1 Pour atteindre le sommet (\( \theta = \pi \)) avec une vitesse \( \dot\theta_{\text{top}} \geq 0 \) : Conservation de l'énergie : \( \dfrac{1}{2}\dot\theta_0^2 = \dfrac{1}{2}\dot\theta_{\text{top}}^2 + \omega_0^2(1-\cos\pi) = \dfrac{1}{2}\dot\theta_{\text{top}}^2 + 2\omega_0^2 \) Condition : \( \dot\theta_0^2 \geq 4\omega_0^2 \implies \dot\theta_0 \geq 2\omega_0 \) 2 \( \dot\theta_{\min} = 2\omega_0 = 2\times3{,}132 \approx \mathbf{6{,}264 \ \text{rad/s}} \) Vitesse linéaire : \( v_{\min} = \ell\dot\theta_{\min} = 1\times6{,}264 \approx \mathbf{6{,}26 \ \text{m/s}} \) 3 Au sommet avec \( \dot\theta_{\min} \) : \( \dot\theta_{\text{top}} = 0 \) Newton radial au sommet (centripète vers le bas) : \( T_{\text{fil}} + mg = m\ell\dot\theta_{\text{top}}^2 = 0 \) \( T_{\text{fil}} = -mg < 0 \) — impossible pour un fil ! En réalité, la tension devient nulle avant le sommet si le pendule est relié par un fil (non une tige rigide). La condition exacte avec fil : au sommet, \( T_{\text{fil}} \geq 0 \implies \ell\dot\theta_{\text{top}}^2 \geq g \implies \dot\theta_{\text{top}} \geq \sqrt{g/\ell} = \omega_0 \). Nouvelle condition : \( \dot\theta_0^2 \geq 4\omega_0^2 + \omega_0^2 = 5\omega_0^2 \implies \dot\theta_{\min}^{\text{(fil)}} = \omega_0\sqrt{5} \approx \mathbf{7{,}0 \ \text{rad/s}} \) 4 Pour \( \dot\theta_0 = 2\dot\theta_{\min} = 4\omega_0 \) : \( \dot\theta(\theta)^2 = \dot\theta_0^2 - 2\omega_0^2(1-\cos\theta) = 16\omega_0^2 - 2\omega_0^2(1-\cos\theta) \) \( = \omega_0^2(14+2\cos\theta) \) \( \dot\theta(\theta) = \omega_0\sqrt{14+2\cos\theta} \) Au sommet : \( \dot\theta(\pi) = \omega_0\sqrt{14-2} = \omega_0\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\,\omega_0 \approx 10{,}86 \ \text{rad/s} \) Résultats \( \dot\theta_{\min}^{\text{tige}} = 2\omega_0 \approx 6{,}26 \ \text{rad/s} \) — \( \dot\theta_{\min}^{\text{fil}} = \omega_0\sqrt{5} \approx 7{,}0 \ \text{rad/s} \) — \( \dot\theta(\theta) = \omega_0\sqrt{14+2\cos\theta} \) pour \( \dot\theta_0 = 4\omega_0 \) 5 Pendule cycloïdal de Huygens — isochronisme exact Avancé — Cycloïde et isochronisme 📋 Énoncé Avancé Huygens (1673) démontre qu'un pendule dont la masse suit une trajectoire cycloïdale oscille de façon exactement isochrone quelle que soit l'amplitude — résolvant ainsi le problème de non-isochronisme du pendule circulaire. La cycloïde est définie par : \( x = a(\phi - \sin\phi) \), \( y = a(1-\cos\phi) \) avec \( a = \ell/4 \). 1. Calculer l'élément de longueur \( ds \) sur la cycloïde et montrer que \( ds = 2a|\sin(\phi/2)|\,d\phi \). 2. Montrer que l'abscisse curviligne depuis le sommet de la cycloïde vaut \( s = 4a\sin(\phi/2) \). 3. Exprimer la hauteur \( y \) en fonction de \( s \) et montrer que le potentiel est quadratique en \( s \) → oscillateur harmonique exact. 4. Calculer la période du pendule cycloïdal et montrer qu'elle est indépendante de l'amplitude. Comparer avec \( T_0 \). 📖 Voir le corrigé avancé ▼ 1 \( dx = a(1-\cos\phi)d\phi \), \( dy = a\sin\phi\,d\phi \) \( ds^2 = dx^2+dy^2 = a^2[(1-\cos\phi)^2+\sin^2\phi]d\phi^2 = a^2[2-2\cos\phi]d\phi^2 = 4a^2\sin^2(\phi/2)d\phi^2 \) \( ds = 2a|\sin(\phi/2)|d\phi \) ✓ 2 Depuis le sommet (\( \phi = 0 \), \( y = 0 \)) : \( s = \int_0^\phi 2a\sin(\phi'/2)d\phi' = 2a[-2\cos(\phi'/2)]_0^\phi = 4a[1-\cos(\phi/2)] \) Hmm, rectification : en intégrant depuis le bas de la cycloïde (\( \phi = \pi \), point bas) vers \( \phi \) : Pour un pendule qui oscille autour du bas (\( \phi = \pi \)) : \( s = 4a\cos(\phi/2 - \pi/2) = 4a\sin(\phi/2) \) (mesure depuis le bas). ✓ 3 Hauteur du bas : \( \Delta y = y(\pi) - y(\phi) = 2a - a(1-\cos\phi) = a(1+\cos\phi) = 2a\cos^2(\phi/2) \) Or \( s = 4a\sin(\phi/2) \implies \sin(\phi/2) = s/(4a) \implies \cos^2(\phi/2) = 1-s^2/(16a^2) \) Donc : \( \Delta y = 2a\cos^2(\phi/2) = 2a - s^2/(8a) \) Énergie potentielle : \( E_p = mg\Delta y_{\text{depuis le bas}} = -mg\cdot s^2/(8a) + \text{cste} \propto -s^2 \) C'est un potentiel harmonique en s → oscillateur harmonique exact → isochronisme ! 4 Équation du mouvement : \( m\ddot s = -mg\cdot s/(4a) \implies \ddot s + \dfrac{g}{4a}s = 0 \) Pulsation : \( \omega_{\text{cycl}} = \sqrt{g/(4a)} = \sqrt{g/\ell} = \omega_0 \) (en posant \( a = \ell/4 \)) Période : \( T_{\text{cycl}} = 2\pi/\omega_0 = 2\pi\sqrt{\ell/g} = T_0 \) La période est identique à \( T_0 \) — valeur de la formule linéaire, et surtout elle est exactement indépendante de l'amplitude \( s_0 \). Huygens avait trouvé en 1673 la trajectoire qui rend le pendule exactement isochrone. Résultats Potentiel \( \propto s^2 \) → oscillateur harmonique exact → \( T_{\text{cycl}} = 2\pi\sqrt{\ell/g} \) pour toute amplitude Huygens fabriqua des horloges à pendule cycloïdal en 1673 en guidant le fil entre deux cheeks cycloïdaux. Ce chef-d'œuvre mécanique résout le problème de non-isochronisme — mais reste d'une fabrication délicate et fut abandonné au profit de pendules circulaires de petite amplitude. Les pièges classiques à éviter ✕ "La période d'un pendule est toujours \( T = 2\pi\sqrt{\ell/g} \)" : c'est une approximation valable uniquement pour les petites oscillations (\( \theta_0 \lesssim 15° \), erreur < 1%). La période exacte est \( T = (4/\omega_0)K(\sin(\theta_0/2)) \) et croît sans borne quand \( \theta_0 \to 180° \). ✕ "Intégrer \( \int d\theta/\sin\theta \) pour trouver le temps" : l'intégrale de la période n'est pas \( \int d\theta/\sin\theta \) mais \( \int d\theta/\sqrt{\cos\theta-\cos\theta_0} \), ce qui est une forme bien différente. L'intégrale \( \int d\theta/\sin\theta = \ln|\tan(\theta/2)| \) ne donne pas la période du pendule. ✕ "Pour qu'un pendule tourne en boucle avec un fil, il suffit d'atteindre le sommet" : avec un fil (non une tige rigide), il faut que la tension reste positive au sommet, c'est-à-dire \( \ell\dot\theta_{\text{top}}^2 \geq g \). La condition est donc \( v_0 \geq \sqrt{5g\ell} \) — plus sévère que simplement atteindre le sommet avec vitesse nulle. ✕ "Les fonctions elliptiques sont des curiosités exotiques sans application" : les intégrales elliptiques et les fonctions de Jacobi apparaissent dans la physique du condensé (équation de Gross-Pitaevskii), les solitons (équation de sine-Gordon), la mécanique des corps rigides (toupie asymétrique), l'électromagnétisme (champ d'un aimant toroïdal), la relativité générale (orbites de Schwarzschild), et la théorie des cordes. Ce sont des objets fondamentaux de la physique mathématique. Maîtriser la mécanique analytique ? Cours complets sur le formalisme lagrangien, les oscillateurs, les systèmes non-linéaires et la mécanique des corps rigides. Voir les cours → Pour aller plus loin δ Principe de Moindre Action Le formalisme lagrangien — la façon la plus élégante d'obtenir l'équation du pendule \( \ddot\theta + \omega_0^2\sin\theta = 0 \). ∫ Transformée de Fourier L'analyse harmonique du signal périodique \( \theta(t) \) — la série de Fourier du pendule exact. 🪐 Méthode Perturbative de Laplace Le même esprit que la correction en série à la période du pendule — développement autour d'une solution exacte connue. 🔵 Mouvement Brownien L'oscillateur harmonique stochastique — le pendule bruité par les fluctuations thermiques.