Le Mouvement Brownien : Cours Complet | FreeCourse Physique Statistique · Mathématiques · CPGE / Licence Le MouvementBrownien :Nature, Lois et Applications Une particule de pollen qui vibre sur l'eau, les fluctuations d'un marché financier, la diffusion d'une molécule dans une cellule — le mouvement brownien est partout. Mais qu'est-ce qui le distingue vraiment d'un mouvement aléatoire quelconque ? Cours complet avec schémas, formules et 5 exercices corrigés. ⏱ Lecture : 18 min 🔬 Niveau : CPGE / Licence ✦ Cours + 5 Exercices Corrigés Partie 1 — De l'observation au modèle : une histoire en trois actes 1827 Robert Brown — L'observation fondatrice Le botaniste écossais observe au microscope des grains de pollen d'épilobe suspendus dans l'eau. Ils s'agitent de façon erratique et permanente, sans jamais s'arrêter. Il vérifie que l'agitation n'est pas due à la vie — des particules de roche fossilisée bougent de même. Le phénomène est donc purement physique. 1905 Albert Einstein — La théorie quantitative Einstein publie une théorie complète du mouvement brownien, fondée sur les collisions des molécules du fluide avec la particule. Il prédit le déplacement quadratique moyen \( \langle x^2 \rangle = 2Dt \) et relie le coefficient de diffusion \( D \) à la température et à la taille de la particule. Cette théorie permet de mesurer le nombre d'Avogadro. 1908 Jean Perrin — La vérification expérimentale Perrin mesure expérimentalement les trajectoires de particules browniennes avec une précision remarquable et vérifie la formule d'Einstein. Il en déduit le nombre d'Avogadro : \( N_A \approx 6{,}4\times10^{23} \ \text{mol}^{-1} \). Cette mesure constitue la première preuve directe de l'existence des atomes. Nobel 1926. 1923 Norbert Wiener — La formalisation mathématique Wiener donne une construction rigoureuse du processus stochastique brownien, aujourd'hui appelé processus de Wiener. Il démontre que les trajectoires browniennes sont continues mais nulle part dérivables — elles n'ont pas de vitesse instantanée définie. Ce résultat est fondateur de la théorie des processus stochastiques. Partie 2 — Le mécanisme physique 2.1 — Pourquoi les particules bougent-elles ? Une particule brownienne — typiquement de taille \( 0{,}1 \) à \( 10 \ \mu\text{m} \) — est bombardée en permanence par les molécules du solvant environnant. Ces molécules (d'eau par exemple) ont une taille ~0,3 nm, soit 1 000 fois plus petites, et se déplacent à des vitesses de l'ordre de \( 500 \ \text{m/s} \) à température ambiante. À chaque instant, le nombre de molécules frappant la particule depuis la gauche n'est pas exactement égal au nombre la frappant depuis la droite — il existe des fluctuations statistiques. C'est ce déséquilibre aléatoire qui propulse la particule dans une direction imprévisible. Particule ~1 µm 7 chocs/µs (fluctuation +) 5 chocs/µs (fluctuation −) F_net Poussée vers la gauche à cet instant précis À chaque instant, le déséquilibre statistique des chocs moléculaires crée une force résultante nette sur la particule — ici 7 chocs à gauche contre 5 à droite. La direction de cette force change aléatoirement à chaque fraction de microseconde. 💡 Pourquoi c'est uniquement visible à l'échelle microscopique ? Pour une balle de tennis (rayon 3 cm), le nombre de chocs moléculaires par seconde est de l'ordre de \( 10^{28} \). La fluctuation relative est \( \sim 1/\sqrt{10^{28}} = 10^{-14} \) — totalement indétectable. Pour une particule de \( r = 0{,}5 \ \mu\text{m} \), le nombre de chocs est \( \sim 10^{18}/\text{s} \). La fluctuation relative est \( \sim 10^{-9} \), soit une force déséquilibrée de l'ordre de \( 10^{-9} \ \text{N} \) — suffisante pour propulser une particule de \( 10^{-17} \ \text{kg} \) à \( \sim 0{,}01 \ \text{mm/s} \). C'est exactement ce qu'observe Brown au microscope. Partie 3 — Propriétés mathématiques du mouvement brownien 3.1 — Les cinq propriétés définissantes du processus de Wiener Le mouvement brownien idéal est modélisé mathématiquement par un processus de Wiener \( W_t \) (ou \( B_t \) en notation française), défini par cinq propriétés fondamentales qui le distinguent de tout autre processus aléatoire : Définition axiomatique du processus de Wiener \( (W_t)_{t \geq 0} \) \[ \begin{aligned} &\textbf{1.} \quad W_0 = 0 \quad \text{(départ à l'origine)} \\[6pt] &\textbf{2.} \quad W_t - W_s \sim \mathcal{N}(0,\, t-s) \quad \text{pour } 0 \leq s < t \\[6pt] &\textbf{3.} \quad \text{Accroissements indépendants :} \quad W_{t_4}-W_{t_3} \perp W_{t_2}-W_{t_1} \quad \text{si } t_1 < t_2 \leq t_3 < t_4 \\[6pt] &\textbf{4.} \quad t \mapsto W_t \text{ est continu} \quad \text{(p.s.)} \\[6pt] &\textbf{5.} \quad t \mapsto W_t \text{ est } \textbf{nulle part dérivable} \quad \text{(p.s.)} \end{aligned} \] \( \mathcal{N}(0, \sigma^2) \) — loi normale de moyenne 0 et variance \( \sigma^2 \) \( \perp \) — indépendance stochastique p.s. — presque sûrement (avec probabilité 1) La propriété 2 dit que l'incrément sur \( [s,t] \) est une gaussienne de variance \( t-s \) — c'est la signature distinctive du brownien : la variance croît linéairement en temps. 3.2 — Le déplacement quadratique moyen (DQM) La grandeur la plus importante pour caractériser un mouvement brownien est le déplacement quadratique moyen (ou MSD en anglais, Mean Squared Displacement). C'est lui qui distingue le brownien de tous les autres processus aléatoires. Déplacement quadratique moyen — loi fondamentale \[ \langle \vec{r}^{\,2}(t) \rangle = \langle |\vec{r}(t) - \vec{r}(0)|^2 \rangle = 2dDt \] \( d \) — dimension de l'espace (1D, 2D ou 3D) \( D \) — coefficient de diffusion (en m²/s) \( t \) — temps (en secondes) En 1D : \( \langle x^2 \rangle = 2Dt \) En 2D : \( \langle r^2 \rangle = 4Dt \) En 3D : \( \langle r^2 \rangle = 6Dt \) Ce résultat fondamental dit que le déplacement typique croît comme \( \sqrt{t} \) — bien plus lentement que le \( t \) d'un mouvement uniforme. C'est la marque de fabrique du brownien. t ⟨r²⟩ Balistique ∝ t² (⟨r²⟩ = v²t²) Brownien ∝ t (⟨r²⟩ = 2dDt) Sous-diffusif ∝ t^α α < 1 Confiné (plateau) Marche aléat. biaisée La pente du MSD identifie le type de mouvement Déplacement quadratique moyen pour différents types de mouvements — seul le brownien donne une relation linéaire exacte ⟨r²⟩ ∝ t. La mesure de cette pente permet d'identifier le régime de diffusion en biophysique et physique des matériaux. Partie 4 — Ce qui distingue le brownien d'un mouvement aléatoire quelconque 4.1 — Le tableau des différences fondamentales 🟤 Mouvement Brownien (Wiener) Incréments gaussiens : \( \Delta W \sim \mathcal{N}(0, \Delta t) \) exactement MSD = 2dDt : linéaire en temps, sans exception Incréments indépendants : aucune mémoire du passé Nulle part dérivable : pas de vitesse instantanée Autosimilaire : \( W_{ct} \overset{d}{=} \sqrt{c}\,W_t \) (invariance d'échelle) Processus de Markov : le futur ne dépend que du présent Variance \( \propto t^1 \) — exposant de diffusion = 1 exactement 🔵 Mouvement Aléatoire Quelconque Distribution quelconque (uniforme, exponentielle, de Lévy…) MSD \( \propto t^\alpha \) avec \( \alpha \neq 1 \) en général Peut avoir de la mémoire (processus non-markovien) Peut avoir une vitesse définie (marche aléatoire discrète) Peut ne pas être autosimilaire Peut être non-markovien (mémoire longue) Variance peut diverger (vols de Lévy) ou saturer (confinement) 4.2 — Marche aléatoire discrète vs mouvement brownien continu La marche aléatoire discrète est le modèle le plus simple d'un processus aléatoire : à chaque pas, on se déplace de \( \pm a \) avec probabilité 1/2. C'est le précurseur du brownien — mais il en diffère profondément : PropriétéMarche aléatoire discrèteMouvement brownien (Wiener) TempsDiscret : \( t = n\Delta t \)Continu : \( t \in \mathbb{R}^+ \) EspaceDiscret : \( x = k \cdot a \)Continu : \( x \in \mathbb{R} \) Incrément élémentaire\( \pm a \) avec prob. 1/2\( \mathcal{N}(0, dt) \) infinitésimal MSD\( \langle x^2 \rangle = n a^2 = \dfrac{a^2}{\Delta t}t \)\( \langle x^2 \rangle = 2Dt \) Distribution à t fixéBinomiale → Gaussienne (TCL)Gaussienne exacte Vitesse instantanéeDéfinie par pas : \( v = \pm a/\Delta t \)Non définie (trajectoire non dérivable) LimiteTend vers Wiener quand \( a,\Delta t \to 0 \) avec \( a^2/\Delta t = 2D \)Limite de la marche aléatoire 📐 Théorème de Donsker — le lien rigoureux Le théorème de Donsker (1951) montre rigoureusement que toute marche aléatoire à incréments indépendants et identiquement distribués (i.i.d.), de variance finie, converge vers le processus de Wiener quand le pas de temps tend vers 0. Autrement dit : le mouvement brownien est l'attracteur universel de toutes les marches aléatoires à variance finie — c'est l'analogue du théorème central limite pour les processus stochastiques. C'est pourquoi le brownien apparaît dans des domaines aussi variés que la finance, la biologie et la physique des matériaux. Marche aléatoire discrète Sauts discrets ±a Vitesse définie, temps discret Mouvement Brownien (Wiener) Trajectoire continue, nulle part dérivable Aucune vitesse instantanée définie Marche aléatoire discrète (gauche) vs processus de Wiener (droite) — la marche discrète a des paliers et une vitesse définie. Le brownien est continu mais infiniment irrégulier : plus on zoome, plus on voit de la structure à toutes les échelles. Partie 5 — La théorie d'Einstein : le coefficient de diffusion 5.1 — La relation d'Einstein-Stokes Einstein (1905) dérive le coefficient de diffusion \( D \) d'une particule sphérique de rayon \( r \) dans un fluide de viscosité \( \eta \) à la température \( T \). Ce résultat est la première connexion quantitative entre le mouvement brownien (observable) et la structure microscopique de la matière. Relation d'Einstein-Stokes (1905) \[ D = \frac{k_B T}{6\pi \eta r} \] \( k_B = 1{,}381\times10^{-23} \ \text{J/K} \) — constante de Boltzmann \( T \) — température absolue (en kelvin) \( \eta \) — viscosité dynamique du fluide (en Pa·s) \( r \) — rayon de la particule sphérique (en mètres) Exemple : particule de \( r = 0{,}5 \ \mu\text{m} \) dans l'eau (\( \eta = 10^{-3} \ \text{Pa·s} \)) à \( T = 293 \ \text{K} \) : \( D = \dfrac{1{,}381\times10^{-23}\times293}{6\pi\times10^{-3}\times0{,}5\times10^{-6}} \approx \mathbf{4{,}3\times10^{-13} \ \text{m}^2/\text{s}} \) Déplacement en 1 s : \( \sqrt{\langle x^2\rangle} = \sqrt{2Dt} \approx \sqrt{2\times4{,}3\times10^{-13}} \approx \mathbf{0{,}93 \ \mu\text{m}} \) 5.2 — La relation de fluctuation-dissipation La relation d'Einstein peut se réécrire comme : \( D \gamma = k_B T \) où \( \gamma = 6\pi\eta r \) est le coefficient de friction (résistance du fluide). C'est la relation de fluctuation-dissipation : la même interaction fluide-particule qui cause la friction (dissipation) cause aussi les fluctuations browniennes — les deux phénomènes ont une origine commune. Équation de Langevin — Newton avec force aléatoire \[ m\frac{dv}{dt} = -\gamma v + F_{\text{aléatoire}}(t) \] \( m \) — masse de la particule \( \gamma = 6\pi\eta r \) — coefficient de friction de Stokes \( v \) — vitesse de la particule \( F_{\text{aléatoire}}(t) \) — force de Langevin : gaussienne, delta-corrélée : \( \langle F(t)\rangle = 0 \quad \langle F(t)F(t')\rangle = 2\gamma k_B T\,\delta(t-t') \) L'équation de Langevin est l'équation du mouvement brownien — Newton version stochastique. La friction amortit, la force aléatoire excite : l'équilibre donne \( D = k_BT/\gamma \). Partie 6 — Applications concrètes 🧬 Biophysique cellulaire Les protéines, ARN et lipides diffusent dans les cellules par mouvement brownien. La mesure du coefficient D permet de déterminer la taille des molécules in vivo (FCS, FRAP, tracking de particules uniques). 💰 Finance mathématique Black, Scholes et Merton (Nobel 1997) modélisent le prix d'une action par un mouvement brownien géométrique. La formule de Black-Scholes pour les options en découle directement — fondement de la finance moderne. 🌡️ Thermodynamique Perrin mesure \( N_A \) grâce à Einstein (1908). La mesure de D donne directement \( k_B = D\gamma/T \), puis \( R = N_A k_B \). Le brownien relie le macroscopique au microscopique. 🎨 Colloïdes et nanomatériaux La stabilité des peintures, encres, émulsions et nanoparticules dépend du mouvement brownien. La DLS (Dynamic Light Scattering) mesure D et en déduit la taille des particules par Einstein-Stokes. 🔌 Bruit électronique Le bruit thermique (bruit Johnson-Nyquist) dans les résistances électroniques est un bruit brownien : \( S_V(f) = 4k_BT R \). C'est la limite fondamentale de tout circuit électronique. 🌊 Polymères et matériaux mous Les chaînes polymères en solution se replient selon des statistiques browniennes (marche aléatoire). Le rayon de giration \( R_g \sim N^{0,5}a \) en découle directement (modèle de Rouse). Exercices Corrigés Vert — Niveau 1 Bleu — Niveau 2 Violet — Niveau 3 Rouge — Avancé 1 Déplacement brownien et coefficient de diffusion Niveau 1 — Calculs directs 📋 Énoncé Des billes de polystyrène de rayon \( r = 1 \ \mu\text{m} \) sont en suspension dans l'eau à \( T = 20°C = 293 \ \text{K} \). La viscosité de l'eau est \( \eta = 1{,}0\times10^{-3} \ \text{Pa·s} \). 1. Calculer le coefficient de diffusion \( D \) par Einstein-Stokes. 2. Calculer le déplacement quadratique moyen \( \sqrt{\langle r^2 \rangle} \) en 2D après \( t = 1 \ \text{s} \), 10 s, 100 s. 3. Combien de temps faut-il pour que la bille se déplace en moyenne de 10 µm en 2D ? 4. Comparer ce déplacement avec celui d'une molécule d'eau (\( r \approx 0{,}15 \ \text{nm} \)) au même temps. Données k_B = 1,381×10⁻²³ J/K | T = 293 K | η = 10⁻³ Pa·s | r_bille = 1 µm = 10⁻⁶ m | r_eau = 0,15 nm = 1,5×10⁻¹⁰ m 📖 Voir le corrigé ▼ 1 \( D = \dfrac{k_B T}{6\pi\eta r} = \dfrac{1{,}381\times10^{-23}\times293}{6\pi\times10^{-3}\times10^{-6}} \) \( = \dfrac{4{,}047\times10^{-21}}{1{,}885\times10^{-8}} \approx \mathbf{2{,}15\times10^{-13} \ \text{m}^2/\text{s}} \) 2 En 2D : \( \langle r^2\rangle = 4Dt \implies \sqrt{\langle r^2\rangle} = 2\sqrt{Dt} \) \( t=1 \ \text{s} \) : \( \sqrt{4\times2{,}15\times10^{-13}} \approx \mathbf{0{,}93 \ \mu\text{m}} \) \( t=10 \ \text{s} \) : \( \sqrt{4\times10\times2{,}15\times10^{-13}} \approx \mathbf{2{,}93 \ \mu\text{m}} \) \( t=100 \ \text{s} \) : \( \sqrt{4\times100\times2{,}15\times10^{-13}} \approx \mathbf{9{,}27 \ \mu\text{m}} \) 3 \( \langle r^2\rangle = (10\times10^{-6})^2 = 10^{-10} \ \text{m}^2 \) \( t = \dfrac{\langle r^2\rangle}{4D} = \dfrac{10^{-10}}{4\times2{,}15\times10^{-13}} \approx \mathbf{116 \ \text{s} \approx 2 \ \text{min}} \) 4 \( D_{\text{eau}} = \dfrac{k_BT}{6\pi\eta r_{\text{eau}}} = \dfrac{4{,}047\times10^{-21}}{6\pi\times10^{-3}\times1{,}5\times10^{-10}} \approx 1{,}43\times10^{-9} \ \text{m}^2/\text{s} \) À \( t = 1 \ \text{s} \) : \( \sqrt{4D_{\text{eau}}t} \approx \sqrt{4\times1{,}43\times10^{-9}} \approx 75{,}7 \ \mu\text{m} \) Rapport : \( 75{,}7/0{,}93 \approx 81 \) — la molécule d'eau diffuse 81 fois plus vite que la bille de 1 µm à même durée. Résultats \( D \approx 2{,}15\times10^{-13} \ \text{m}^2/\text{s} \) — déplacements : 0,93 / 2,93 / 9,27 µm — temps pour 10 µm : ~116 s La loi \( \sqrt{\langle r^2\rangle} \propto \sqrt{t} \) est la signature du brownien : pour multiplier le déplacement par 10, il faut multiplier le temps par 100. 2 Marche aléatoire discrète et convergence vers le brownien Niveau 2 — Marche aléatoire 📋 Énoncé On considère une marche aléatoire 1D : à chaque pas de temps \( \Delta t = 10^{-3} \ \text{s} \), la particule saute de \( +a \) ou \( -a = 10 \ \text{nm} \) avec probabilité \( 1/2 \) chacune. 1. Calculer la moyenne \( \langle x_n \rangle \) et la variance \( \langle x_n^2 \rangle \) après \( n \) pas. 2. Relier la variance au temps \( t = n\Delta t \) et identifier le coefficient de diffusion \( D \). 3. Calculer le déplacement quadratique moyen après \( t = 1 \ \text{s} \) et \( t = 1 \ \text{min} \). 4. Par le théorème central limite, quelle est la distribution de \( x_n \) pour \( n \) grand ? Données a = 10 nm = 10⁻⁸ m | Δt = 10⁻³ s 📖 Voir le corrigé ▼ 1 Chaque pas \( \xi_i = \pm a \) indépendamment avec \( \langle\xi_i\rangle = 0 \) et \( \langle\xi_i^2\rangle = a^2 \). Position : \( x_n = \sum_{i=1}^n \xi_i \) \( \langle x_n\rangle = \sum\langle\xi_i\rangle = \mathbf{0} \) \( \langle x_n^2\rangle = \langle(\sum\xi_i)^2\rangle = \sum_i\langle\xi_i^2\rangle + \sum_{i\neq j}\langle\xi_i\xi_j\rangle = na^2 \) (termes croisés nuls par indépendance) 2 \( \langle x_n^2\rangle = na^2 = \dfrac{t}{\Delta t}a^2 = \dfrac{a^2}{\Delta t}\cdot t \) Comparaison avec \( \langle x^2\rangle = 2Dt \) : \( D = \dfrac{a^2}{2\Delta t} = \dfrac{(10^{-8})^2}{2\times10^{-3}} = \dfrac{10^{-16}}{2\times10^{-3}} = \mathbf{5\times10^{-14} \ \text{m}^2/\text{s}} \) 3 \( t=1 \ \text{s} \) : \( \sqrt{\langle x^2\rangle} = \sqrt{2\times5\times10^{-14}\times1} = \sqrt{10^{-13}} \approx \mathbf{316 \ \text{nm}} \) \( t=60 \ \text{s} \) : \( \sqrt{2\times5\times10^{-14}\times60} = \sqrt{6\times10^{-12}} \approx \mathbf{2{,}45 \ \mu\text{m}} \) 4 Par le Théorème Central Limite, pour \( n \) grand : \( x_n = \sum_{i=1}^n \xi_i \xrightarrow{d} \mathcal{N}(0, na^2) = \mathcal{N}(0, 2Dt) \) La marche aléatoire converge vers une gaussienne de variance \( 2Dt \) — exactement comme le brownien continu. C'est le théorème de Donsker à l'œuvre. Résultats \( \langle x_n\rangle = 0 \quad \langle x_n^2\rangle = na^2 = 2Dt \quad D = 5\times10^{-14} \ \text{m}^2/\text{s} \) Déplacements : 316 nm (1 s) et 2,45 µm (60 s) — Distribution → \( \mathcal{N}(0, 2Dt) \) 3 Mesure expérimentale de N_A par la méthode de Perrin Niveau 2 — Application physique 📋 Énoncé Perrin (1908) suit des billes de gamboge de rayon \( r = 0{,}53 \ \mu\text{m} \) dans l'eau à \( T = 293 \ \text{K} \). Il mesure des déplacements \( \Delta x \) toutes les \( \Delta t = 30 \ \text{s} \) et obtient \( \langle \Delta x^2\rangle = 1{,}76\times10^{-12} \ \text{m}^2 \) (en 1D). 1. En déduire le coefficient de diffusion \( D_{\text{exp}} \). 2. Par Einstein-Stokes, calculer \( k_B T \) de deux façons et en déduire \( k_B \). 3. En utilisant \( R = 8{,}314 \ \text{J/(mol·K)} \), calculer \( N_A = R/k_B \). 4. Commenter la précision obtenue par rapport à la valeur moderne \( N_A = 6{,}022\times10^{23} \ \text{mol}^{-1} \). Données r = 0,53 µm = 5,3×10⁻⁷ m | T = 293 K | η = 10⁻³ Pa·s | ⟨Δx²⟩ = 1,76×10⁻¹² m² (1D, Δt = 30 s) 📖 Voir le corrigé ▼ 1 En 1D : \( \langle\Delta x^2\rangle = 2D_{\text{exp}}\Delta t \) \( D_{\text{exp}} = \dfrac{\langle\Delta x^2\rangle}{2\Delta t} = \dfrac{1{,}76\times10^{-12}}{2\times30} \approx \mathbf{2{,}93\times10^{-14} \ \text{m}^2/\text{s}} \) 2 Einstein-Stokes : \( D = k_BT/(6\pi\eta r) \implies k_BT = D\times6\pi\eta r \) \( k_BT = 2{,}93\times10^{-14} \times 6\pi \times 10^{-3} \times 5{,}3\times10^{-7} \) \( = 2{,}93\times10^{-14} \times 9{,}99\times10^{-9} \approx 2{,}93\times10^{-22} \times 3{,}41 \approx \mathbf{2{,}93\times10^{-21} \ \text{J}} \) Plus précisément : \( k_B = k_BT/T = 2{,}93\times10^{-21}/293 \approx \mathbf{1{,}00\times10^{-23} \ \text{J/K}} \) 3 \( N_A = R/k_B = 8{,}314/(1{,}00\times10^{-23}) \approx \mathbf{8{,}3\times10^{23} \ \text{mol}^{-1}} \) 4 Valeur trouvée : \( 8{,}3\times10^{23} \) vs moderne : \( 6{,}022\times10^{23} \) Erreur : \( (8{,}3-6{,}0)/6{,}0 \approx 38\% \) — significative. Perrin lui-même obtenait une meilleure précision (~5%) avec des mesures plus soigneuses. L'erreur ici vient de l'imprécision de la mesure de \( r \) (au micromètre, difficile en 1908) et du petit nombre de trajectoires. Néanmoins, l'ordre de grandeur correct confirme la théorie d'Einstein. Résultats \( D_{\text{exp}} \approx 2{,}93\times10^{-14} \ \text{m}^2/\text{s} \quad k_B \approx 1{,}0\times10^{-23} \ \text{J/K} \quad N_A \approx 8{,}3\times10^{23} \) Malgré l'erreur ~38%, Perrin prouvait pour la première fois que les molécules existent et ont des tailles mesurables. Le Prix Nobel 1926 récompensait cette démonstration historique. 4 Propriétés du processus de Wiener — variance et corrélation Niveau 3 — Propriétés stochastiques 📋 Énoncé Soit \( (W_t)_{t\geq0} \) un processus de Wiener standard (\( D=1/2 \), donc \( \langle W_t^2\rangle = t \)). 1. Calculer \( \text{Var}(W_t - W_s) \) pour \( s < t \). Interpréter. 2. Calculer la covariance \( \text{Cov}(W_s, W_t) = \langle W_s W_t\rangle \) pour \( s \leq t \). (Indice : écrire \( W_t = W_s + (W_t - W_s) \) et utiliser l'indépendance des accroissements.) 3. Calculer le coefficient de corrélation \( \rho(s,t) = \text{Cov}(W_s,W_t)/\sqrt{st} \). 4. Que vaut \( \rho \) quand \( s \ll t \) ? Quand \( s \approx t \) ? Interpréter physiquement. 📖 Voir le corrigé ▼ 1 \( W_t - W_s \sim \mathcal{N}(0, t-s) \) (par définition du processus de Wiener) \( \text{Var}(W_t - W_s) = t - s \) Interprétation : la variance de l'incrément sur \( [s,t] \) vaut exactement la durée de l'intervalle — c'est la propriété fondamentale du brownien. 2 \( W_t = W_s + (W_t - W_s) \) \( \langle W_s W_t\rangle = \langle W_s[W_s + (W_t-W_s)]\rangle = \langle W_s^2\rangle + \langle W_s(W_t-W_s)\rangle \) Par indépendance des accroissements et \( \langle W_s\rangle = 0 \) : \( \langle W_s(W_t-W_s)\rangle = \langle W_s\rangle\langle W_t-W_s\rangle = 0 \) Donc : \( \text{Cov}(W_s,W_t) = \langle W_s^2\rangle = s \) Résultat : \( \text{Cov}(W_s, W_t) = \min(s,t) \) 3 \( \rho(s,t) = \dfrac{\min(s,t)}{\sqrt{\langle W_s^2\rangle\langle W_t^2\rangle}} = \dfrac{s}{\sqrt{st}} = \sqrt{\dfrac{s}{t}} \) pour \( s \leq t \) 4 Si \( s \ll t \) : \( \rho = \sqrt{s/t} \to 0 \) — les positions à des temps très différents sont quasi-indépendantes. Si \( s \approx t \) : \( \rho = \sqrt{s/t} \to 1 \) — des positions mesurées à des instants proches sont très corrélées. Physiquement : la particule "garde une mémoire" de sa position récente, mais "oublie" sa position il y a longtemps — c'est cohérent avec le caractère markovien du brownien. Résultats \( \text{Var}(W_t-W_s) = t-s \quad \text{Cov}(W_s,W_t) = \min(s,t) = s \quad \rho(s,t) = \sqrt{s/t} \) 5 Brownien vs vols de Lévy — au-delà du théorème central limite Avancé — Anomalous Diffusion 📋 Énoncé Avancé Un "vol de Lévy" est un processus aléatoire où les sauts suivent une distribution à queue lourde : \( P(|\xi| > x) \sim x^{-\alpha} \) avec \( 0 < \alpha < 2 \). Contrairement au brownien, la variance des sauts est infinie. 1. Pourquoi le théorème central limite classique ne s'applique-t-il pas aux distributions de Lévy ? 2. Pour un vol de Lévy d'indice \( \alpha = 1 \) (distribution de Cauchy), montrer que le MSD est infini — contrairement au brownien. 3. Donner un exemple concret de phénomène physique/biologique décrit par un vol de Lévy plutôt que par le brownien. 4. Définir la diffusion anormale (\( \langle r^2\rangle \propto t^\beta \)) et donner les noms des régimes \( \beta < 1 \), \( \beta = 1 \), \( \beta > 1 \). Comment les distinguer expérimentalement ? 📖 Voir le corrigé avancé ▼ 1 Le TCL s'applique seulement si la variance des incréments est finie. Pour une distribution de Lévy d'indice \( \alpha \leq 2 \), on a \( \langle\xi^2\rangle = \int x^2 p(x)dx \sim \int_{x_0}^{\infty} x^2 \cdot x^{-\alpha-1}dx \). Pour \( \alpha \leq 2 \), cette intégrale diverge — la variance est infinie. Le TCL classique ne s'applique pas ; c'est le TCL généralisé (théorème de Gnedenko-Lévy) qui donne comme attracteur les distributions \( \alpha \)-stables, dont la gaussienne (\( \alpha=2 \)) est un cas particulier. 2 Distribution de Cauchy (\( \alpha=1 \)) : \( p(x) = \dfrac{1}{\pi(1+x^2)} \) \( \langle x^2\rangle = \dfrac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\dfrac{x^2}{1+x^2}dx = \dfrac{1}{\pi}\int\left(1-\dfrac{1}{1+x^2}\right)dx \) \( = \dfrac{1}{\pi}\left[x - \arctan x\right]_{-\infty}^{+\infty} \to \infty \) Le MSD est infini — on ne peut pas caractériser ce processus par un coefficient de diffusion fini. C'est radicalement différent du brownien. 3 Exemples de vols de Lévy en nature : Albatros et requins : leurs stratégies de recherche de nourriture suivent des distributions de Lévy — de nombreux petits déplacements entrecoupés de grands bonds, plus efficaces que le brownien pour explorer un espace. Diffusion dans les roches fracturées : l'eau souterraine peut faire de grands sauts à travers les fractures. Marchés financiers : les krachs boursiers (grands sauts) ne sont pas décrits par le brownien géométrique de Black-Scholes — les queues lourdes des distributions de Lévy modélisent mieux les événements extrêmes. 4 Diffusion anormale : \( \langle r^2\rangle \propto t^\beta \) \( \beta < 1 \) : sous-diffusion — particule piégée, confinée partiellement (protéines dans les membranes cellulaires encombrées) \( \beta = 1 \) : diffusion normale (brownien) \( \beta > 1 \) : super-diffusion — particule avec mémoire positive ou vols de Lévy (nageurs actifs, moteurs moléculaires) Méthode expérimentale : tracer \( \log\langle r^2\rangle \) vs \( \log t \). La pente donne \( \beta \). Si pente = 1 exactement → brownien. Si pente ≠ 1 → diffusion anormale. En pratique, on utilise le tracking de particules uniques (SPT) en microscopie de fluorescence. Résultats clés TCL invalide si \( \langle\xi^2\rangle = \infty \) — MSD Cauchy = ∞ — Sous-diffusion : \( \beta <1 \) / Normal : \( \beta=1 \) / Super-diffusion : \( \beta>1 \) La détermination de β à partir de trajectoires expérimentales est devenue une technique standard en biophysique pour sonder les propriétés mécaniques de l'intérieur des cellules vivantes. Idées reçues et points de vigilance ✕ "Une marche aléatoire quelconque est un mouvement brownien" : non. Le brownien est un processus très spécifique — incréments gaussiens, indépendants, variance linéaire en temps, trajectoire continue non dérivable. Une marche aléatoire à incréments uniformes ou à longue mémoire n'est pas brownienne, même si elle semble "aléatoire". ✕ "La particule brownienne a une vitesse instantanée" : mathématiquement, \( t \mapsto W_t \) est continu mais nulle part dérivable (presque sûrement). La "vitesse" \( dW_t/dt \) n'existe pas au sens usuel — c'est une des propriétés les plus étranges et importantes du processus de Wiener. ✕ "Le déplacement moyen \( \langle r\rangle \) mesure l'agitation" : le déplacement moyen est nul (\( \langle W_t\rangle = 0 \)) — la particule n'a pas de dérive. C'est le déplacement quadratique moyen \( \langle r^2\rangle \) qui mesure l'agitation. Ne jamais confondre les deux. ✕ "Le brownien décrit tous les phénomènes aléatoires naturels" : beaucoup de systèmes présentent une diffusion anormale (\( \beta \neq 1 \)) — protéines dans les cellules encombrées (sous-diffusion), moteurs moléculaires actifs (super-diffusion), vols de Lévy. Le brownien est l'attracteur de la diffusion normale, pas une description universelle. Explorer la physique statistique et les processus stochastiques ? Cours complets sur la thermodynamique statistique, la mécanique des fluides et les mathématiques appliquées. Voir les cours → Pour aller plus loin Ces articles complètent ta compréhension de la physique statistique et des phénomènes aléatoires. 💧 Loi de Bernoulli et Fluides La viscosité du fluide \( \eta \) qui freine les particules browniennes — la physique des fluides en profondeur. ℏ Quantification de l'Énergie Einstein 1905 : trois articles révolutionnaires — photoélectrique, relativité restreinte, et mouvement brownien. ∫ Transformée de Fourier La densité spectrale de puissance du bruit brownien et son analyse fréquentielle par transformée de Fourier. ⚛️ Agitation Thermique La constante de Boltzmann \( k_B \) qui gouverne le brownien est aussi au cœur de la thermodynamique statistique.
