Résoudre une Équation Trigonométrique
Apprenez la méthode visuelle et infaillible pour résoudre les équations du type cos(x) = a et sin(x) = a en utilisant le cercle trigonométrique.
Qu’est-ce qu’une équation trigonométrique ?
Une équation trigonométrique est une équation où l’inconnue \( x \) apparaît à l’intérieur d’une fonction trigonométrique (cosinus, sinus, etc.). En classe de Première, on se concentre sur les deux formes les plus simples mais les plus fondamentales :
- \( \cos(x) = a \)
- \( \sin(x) = a \)
Résoudre ces équations, c’est trouver tous les angles (ou nombres réels) \( x \) dont le cosinus ou le sinus est égal à une valeur donnée a. La clé pour y parvenir est le cercle trigonométrique.
Méthode 1 : Résoudre cos(x) = a
On cherche tous les points du cercle trigonométrique dont l’abscisse est égale à a.
La méthode en 3 étapes
Placer la valeur ‘a’ sur l’axe des cosinus
Tracez une droite verticale à l’abscisse x = a. Cette droite coupe le cercle en un, deux ou zéro points.
Pour résoudre \( \cos(x) = 0,5 \), on trace la droite verticale qui passe par 0,5 sur l’axe horizontal.
Identifier l’angle principal α
Trouvez l’angle principal \( \alpha \) (généralement dans \( [0, \pi] \)) qui correspond à l’un des points d’intersection. C’est souvent une valeur remarquable à connaître.
On reconnaît que l’angle dont le cosinus vaut 0,5 est \( \alpha = \pi/3 \).
Donner toutes les solutions
Le deuxième point d’intersection est toujours le symétrique par rapport à l’axe des abscisses, soit \( -\alpha \). Comme on peut faire des tours complets du cercle, on ajoute \( +2k\pi \) à chaque solution.
Les solutions de \( \cos(x) = 0,5 \) sont : \( x = \pi/3 + 2k\pi \) et \( x = -\pi/3 + 2k\pi \).
Méthode 2 : Résoudre sin(x) = a
La logique est la même, mais cette fois on cherche les points dont l’ordonnée est égale à a.
La méthode en 3 étapes
Placer la valeur ‘a’ sur l’axe des sinus
Tracez une droite horizontale à l’ordonnée y = a. Cette droite coupe le cercle en un, deux ou zéro points.
Pour résoudre \( \sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \), on trace la droite horizontale qui passe par \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) sur l’axe vertical.
Identifier l’angle principal α
Trouvez l’angle principal \( \alpha \) (généralement dans \( [-\pi/2, \pi/2] \)) qui correspond à l’un des points d’intersection.
On reconnaît que l’angle dont le sinus vaut \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) est \( \alpha = \pi/4 \).
Donner toutes les solutions
Le deuxième point d’intersection est le symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, soit \( \pi – \alpha \). On ajoute ensuite les tours complets.
Les solutions de \( \sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \) sont : \( x = \pi/4 + 2k\pi \) et \( x = 3\pi/4 + 2k\pi \).
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