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Le Théorème d'Al-Kashi (Loi des Cosinus) Maths · Trigonométrie Le Théorème d'Al-Kashi (Loi des Cosinus) Découvrez comment utiliser le théorème d'Al-Kashi, une généralisation de Pythagore, pour calculer des longueurs et des angles dans n'importe quel triangle. ⏱ Lecture : 5 min 📐 Niveau : Première ✦ Méthode & Exemples Qu'est-ce que le théorème d'Al-Kashi ? Le théorème d'Al-Kashi, aussi connu sous le nom de loi des cosinus, est une formule fondamentale en trigonométrie. Il peut être vu comme une version du théorème de Pythagore applicable à tous les triangles, et pas seulement aux triangles rectangles. Il relie la longueur d'un côté d'un triangle aux longueurs des deux autres côtés et au cosinus de l'angle formé par ces deux côtés. Le Théorème d'Al-Kashi Dans un triangle ABC, pour calculer la longueur du côté a (opposé à l'angle Â), on a : \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\hat{A}) \] La formule se décline pour les trois côtés du triangle. Quand utiliser le théorème d'Al-Kashi ? Al-Kashi est votre meilleur allié dans deux situations précises où la loi des sinus est inefficace : Pour calculer une longueur : Vous connaissez deux côtés et l'angle compris entre ces deux côtés. Pour calculer un angle : Vous connaissez les longueurs des trois côtés du triangle. Exemple 1 : Calculer une longueur inconnue C'est l'utilisation la plus directe du théorème. La méthode en 3 étapes 1 Identifier les données Repérez les deux longueurs connues et l'angle qu'elles forment. Identifiez la longueur que vous cherchez. Dans un triangle ABC, on donne : côté b = 8, côté c = 5, et angle Â = 60°. On cherche la longueur du côté a. 2 Appliquer la formule d'Al-Kashi Écrivez la formule en l'adaptant aux lettres de votre exercice. Le côté que vous cherchez doit être celui qui est isolé au carré. \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\hat{A}) \] 3 Calculer et conclure Remplacez les lettres par leurs valeurs et effectuez le calcul. N'oubliez pas de prendre la racine carrée à la fin ! Exemple — calcul On sait que \( \cos(60°) = 0,5 \). \( a^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos(60°) \) \( a^2 = 64 + 25 - 80 \cdot 0,5 \) \( a^2 = 89 - 40 = 49 \) \( a = \sqrt{49} = 7 \) Conclusion : La longueur du côté a est de 7. Exemple 2 : Calculer un angle inconnu Ici, on connaît les trois côtés et on doit manipuler la formule pour isoler le cosinus. La méthode en 3 étapes 1 Isoler le cosinus dans la formule Partez de la formule de base et manipulez-la pour exprimer le cosinus de l'angle que vous cherchez en fonction des longueurs. Formule pour trouver un angle \[ \cos(\hat{A}) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \] 2 Appliquer la formule avec les valeurs Remplacez les longueurs par leurs valeurs numériques et calculez la valeur du cosinus. Dans un triangle ABC, on donne : a = 7, b = 8, et c = 5. On cherche l'angle Â. \[ \cos(\hat{A}) = \frac{8^2 + 5^2 - 7^2}{2 \cdot 8 \cdot 5} = \frac{64 + 25 - 49}{80} = \frac{40}{80} = 0,5 \] 3 Trouver l'angle avec Arc Cosinus Utilisez la fonction inverse du cosinus, notée Arccos ou cos⁻¹, pour trouver l'angle. Exemple — fin On a \( \cos(\hat{A}) = 0,5 \). C'est une valeur remarquable ! On sait que l'angle dont le cosinus vaut 0,5 est 60°. \[ \hat{A} = \arccos(0,5) = 60° \] Conclusion : L'angle Â mesure 60°. Prêt à maîtriser la trigonométrie ? Accède au cours complet avec exercices corrigés et fiches méthode. Voir le cours complet → Pour aller plus loin Explorez d'autres outils essentiels de la géométrie et de la trigonométrie. 📐 La Loi des Sinus L'autre formule essentielle pour résoudre les triangles quelconques. ∙ Calculer un produit scalaire Les différentes méthodes pour calculer le produit scalaire de deux vecteurs. ⭕ Le cercle trigonométrique Comprendre le cosinus, le sinus et les angles associés. x=? Résoudre une équation trigonométrique Les méthodes pour résoudre cos(x ) = a ou sin(x) = a.

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