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Exercice Dérivation Globale Première : 10 Exercices Corrigés | FreeCourse Maths · Analyse · Première Exercice Dérivation GlobalePremière — 10 Corrigés 10 exercices de dérivation globale progressifs, entièrement corrigés pas à pas. Des calculs simples jusqu'aux fonctions composées et aux tableaux de variation — tout ce dont tu as besoin pour le bac. ⏱ Lecture : 15 min 📐 Niveau : Première ✦ 10 Exercices Corrigés Le rappel indispensable avant de commencer Avant de te lancer dans les exercices de dérivation globale en Première, voici le tableau des dérivées usuelles et les quatre règles de calcul que tu dois avoir sous les yeux. Pas besoin de tout mémoriser d'un coup — ça vient naturellement avec la pratique. \( f(x) = k \) \( f'(x) = 0 \) \( f(x) = x^n \) \( f'(x) = n \cdot x^{n-1} \) \( f(x) = \sqrt{x} \) \( f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \) \( f(x) = \dfrac{1}{x} \) \( f'(x) = -\dfrac{1}{x^2} \) \( f(x) = e^x \) \( f'(x) = e^x \) \( f(x) = \ln(x) \) \( f'(x) = \dfrac{1}{x} \) Les 4 règles de dérivation globale \[ (u + v)' = u' + v' \qquad (\lambda u)' = \lambda u' \] \[ (uv)' = u'v + uv' \qquad \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] \[ (f \circ g)'(x) = g'(x) \cdot f'(g(x)) \quad \text{(règle de la chaîne)} \] Vert — Niveau 1 : calcul direct Bleu — Niveau 2 : règles de calcul Rouge — Niveau 3 : application & variation Exercices Niveau 1 — Dérivées directes On applique directement le tableau des dérivées usuelles et la linéarité. Aucun piège. 1 Dérivée d'un polynôme Niveau 1 — Linéarité 📋 Énoncé Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes : a) \( f(x) = 4x^3 - 7x^2 + 3x - 5 \) b) \( g(x) = -2x^4 + x^3 + 6 \) c) \( h(x) = 5x - \dfrac{x^2}{2} + 1 \) 📖 Voir le corrigé ▼ a) \( f(x) = 4x^3 - 7x^2 + 3x - 5 \) 1 On dérive terme par terme : \((x^n)' = nx^{n-1}\) et \((k)' = 0\) Résultat \( f'(x) = 12x^2 - 14x + 3 \) b) \( g(x) = -2x^4 + x^3 + 6 \) 1 \( g'(x) = -2 \times 4x^3 + 3x^2 + 0 \) Résultat \( g'(x) = -8x^3 + 3x^2 \) c) \( h(x) = 5x - \dfrac{x^2}{2} + 1 \) Résultat \( h'(x) = 5 - x \) 2 Dérivées avec racine et inverse Niveau 1 — Formules usuelles 📋 Énoncé Calculer la dérivée de : a) \( f(x) = 3\sqrt{x} + 2x \) b) \( g(x) = \dfrac{4}{x} - x^2 + 7 \) c) \( h(x) = 2e^x - 3\ln(x) \) 📖 Voir le corrigé ▼ a) On utilise \( (\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \) Résultat \( f'(x) = \dfrac{3}{2\sqrt{x}} + 2 \) b) On écrit \( \dfrac{4}{x} = 4x^{-1} \), donc \( \left(\dfrac{4}{x}\right)' = -\dfrac{4}{x^2} \) Résultat \( g'(x) = -\dfrac{4}{x^2} - 2x \) c) \( (e^x)' = e^x \) et \( (\ln x)' = \dfrac{1}{x} \) Résultat \( h'(x) = 2e^x - \dfrac{3}{x} \) Exercices Niveau 2 — Règles de calcul On applique les règles du produit, du quotient et de la composition. 3 Règle du produit Niveau 2 — Produit 📋 Énoncé Calculer la dérivée de : a) \( f(x) = (2x + 1)(x^2 - 3) \) b) \( g(x) = x^2 \cdot e^x \) c) \( h(x) = (x^3 - 2x)\ln(x) \) 📖 Voir le corrigé ▼ a) On pose \( u = 2x+1 \), \( v = x^2-3 \) 1 \( u' = 2 \quad v' = 2x \) 2 \( f'(x) = u'v + uv' = 2(x^2-3) + (2x+1) \cdot 2x \) 3 \( = 2x^2 - 6 + 4x^2 + 2x = 6x^2 + 2x - 6 \) Résultat \( f'(x) = 6x^2 + 2x - 6 \) b) \( u = x^2 \), \( v = e^x \), donc \( u' = 2x \), \( v' = e^x \) Résultat \( g'(x) = 2xe^x + x^2 e^x = e^x(x^2 + 2x) = xe^x(x+2) \) c) \( u = x^3-2x \), \( v = \ln x \), donc \( u' = 3x^2-2 \), \( v' = \dfrac{1}{x} \) Résultat \( h'(x) = (3x^2-2)\ln(x) + \dfrac{x^3-2x}{x} = (3x^2-2)\ln(x) + x^2-2 \) 4 Règle du quotient Niveau 2 — Quotient 📋 Énoncé Calculer la dérivée de : a) \( f(x) = \dfrac{x+1}{x-2} \) b) \( g(x) = \dfrac{x^2}{e^x} \) c) \( h(x) = \dfrac{2x+3}{x^2+1} \) 📖 Voir le corrigé ▼ a) \( u = x+1 \), \( v = x-2 \) → \( u'=1 \), \( v'=1 \) 1 \( f'(x) = \dfrac{u'v - uv'}{v^2} = \dfrac{1\cdot(x-2) - (x+1)\cdot 1}{(x-2)^2} \) 2 \( = \dfrac{x-2-x-1}{(x-2)^2} = \dfrac{-3}{(x-2)^2} \) Résultat \( f'(x) = \dfrac{-3}{(x-2)^2} \) b) \( u = x^2 \), \( v = e^x \) → \( u'=2x \), \( v'=e^x \) Résultat \( g'(x) = \dfrac{2x \cdot e^x - x^2 \cdot e^x}{e^{2x}} = \dfrac{e^x(2x-x^2)}{e^{2x}} = \dfrac{2x-x^2}{e^x} = \dfrac{x(2-x)}{e^x} \) c) \( u = 2x+3 \), \( v = x^2+1 \) → \( u'=2 \), \( v'=2x \) Résultat \( h'(x) = \dfrac{2(x^2+1) - (2x+3)\cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \dfrac{-2x^2-6x+2}{(x^2+1)^2} \) 5 Fonction composée — règle de la chaîne Niveau 2 — Composée 📋 Énoncé Calculer la dérivée de : a) \( f(x) = (3x^2 + 1)^5 \) b) \( g(x) = e^{2x-1} \) c) \( h(x) = \ln(x^2 + 3) \) d) \( k(x) = \sqrt{4x + 7} \) 📖 Voir le corrigé ▼ 💡 Méthode générale — fonction composée Pour \( f(g(x)) \) : on dérive la fonction extérieure en gardant \( g(x) \) à l'intérieur, puis on multiplie par la dérivée de \( g(x) \). En résumé : dérivée de l'extérieur × dérivée de l'intérieur. a) \( f(x) = (3x^2+1)^5 \) → extérieur : \( u^5 \), intérieur : \( g=3x^2+1 \) 1 Dérivée extérieur : \( 5u^4 \) — dérivée intérieur : \( g'=6x \) Résultat \( f'(x) = 5 \times 6x \times (3x^2+1)^4 = 30x(3x^2+1)^4 \) b) \( g(x) = e^{2x-1} \) → extérieur : \( e^u \), intérieur : \( 2x-1 \), \( g'=2 \) Résultat\( g'(x) = 2e^{2x-1} \) c) \( h(x) = \ln(x^2+3) \) → extérieur : \( \ln(u) \), donc \( \dfrac{1}{u} \), intérieur : \( 2x \) Résultat\( h'(x) = \dfrac{2x}{x^2+3} \) d) \( k(x) = \sqrt{4x+7} \) → extérieur : \( \dfrac{1}{2\sqrt{u}} \), intérieur : \( 4 \) Résultat\( k'(x) = \dfrac{4}{2\sqrt{4x+7}} = \dfrac{2}{\sqrt{4x+7}} \) 6 Combinaison de règles Niveau 2 — Mixte 📋 Énoncé Calculer la dérivée de : a) \( f(x) = (x^2 + 1) \cdot e^{3x} \) b) \( g(x) = \dfrac{e^x}{x^2+1} \) c) \( h(x) = x \cdot \ln(2x+1) \) 📖 Voir le corrigé ▼ a) Produit : \( u=x^2+1 \), \( v=e^{3x} \) → \( u'=2x \), \( v'=3e^{3x} \) Résultat \( f'(x) = 2x \cdot e^{3x} + (x^2+1) \cdot 3e^{3x} = e^{3x}(3x^2+2x+3) \) b) Quotient : \( u=e^x \), \( v=x^2+1 \) → \( u'=e^x \), \( v'=2x \) Résultat \( g'(x) = \dfrac{e^x(x^2+1) - 2xe^x}{(x^2+1)^2} = \dfrac{e^x(x^2-2x+1)}{(x^2+1)^2} = \dfrac{e^x(x-1)^2}{(x^2+1)^2} \) c) Produit : \( u=x \), \( v=\ln(2x+1) \) → \( u'=1 \), \( v'=\dfrac{2}{2x+1} \) Résultat \( h'(x) = \ln(2x+1) + \dfrac{2x}{2x+1} \) Exercices Niveau 3 — Applications au bac Ces exercices correspondent au type de questions posées au bac et au DS de Première. 7 Sens de variation complet Niveau 3 — Tableau de variation 📋 Énoncé Soit \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2 \) définie sur \( \mathbb{R} \). 1. Calculer \( f'(x) \). 2. Étudier le signe de \( f'(x) \). 3. Dresser le tableau de variation de \( f \). 📖 Voir le corrigé ▼ 1 Calcul de f'(x) : \( f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x-1)(x-3) \) 2 Signe de f'(x) : \( f'(x) = 0 \) pour \( x=1 \) et \( x=3 \) Comme le coefficient de \( x^2 \) est positif (\( +3 \)), la parabole est tournée vers le haut : \( f'(x) > 0 \) sur \( ]-\infty ; 1[ \cup ]3 ; +\infty[ \) \( f'(x) < 0 \) sur \( ]1 ; 3[ \) 3 Valeurs remarquables : \( f(1) = 1 - 6 + 9 + 2 = 6 \) → maximum local \( f(3) = 27 - 54 + 27 + 2 = 2 \) → minimum local Tableau de variation \( f \) est croissante sur \( ]-\infty ; 1] \), décroissante sur \( [1 ; 3] \), croissante sur \( [3 ; +\infty[ \) Maximum en \( x=1 \) : \( f(1) = 6 \) — Minimum en \( x=3 \) : \( f(3) = 2 \) 8 Équation de la tangente Niveau 3 — Tangente 📋 Énoncé Soit \( f(x) = x^2 - 3x + 2 \). 1. Calculer \( f'(x) \). 2. Calculer \( f'(2) \). 3. Écrire l'équation de la tangente à la courbe de \( f \) au point d'abscisse \( x = 2 \). 📖 Voir le corrigé ▼ 1 \( f'(x) = 2x - 3 \) 2 \( f'(2) = 2 \times 2 - 3 = 1 \) → c'est le coefficient directeur de la tangente 3 \( f(2) = 4 - 6 + 2 = 0 \) → le point de tangence est \( A(2 ; 0) \) Équation de la tangente : \( y = f'(2)(x - 2) + f(2) \) \( y = 1 \cdot (x-2) + 0 \) Équation de la tangente \( y = x - 2 \) 9 Optimisation — problème concret Niveau 3 — Optimisation 📋 Énoncé Une entreprise modélise son bénéfice (en milliers d'euros) par la fonction \( B(x) = -x^3 + 6x^2 + 15x \) où \( x \in [0 ; 8] \) représente le nombre de produits vendus (en centaines). 1. Calculer \( B'(x) \). 2. Déterminer la valeur de \( x \) qui maximise le bénéfice. 3. Calculer le bénéfice maximum. 📖 Voir le corrigé ▼ 1 \( B'(x) = -3x^2 + 12x + 15 = -3(x^2 - 4x - 5) = -3(x-5)(x+1) \) 2 Sur \([0;8]\), \( B'(x) = 0 \) pour \( x = 5 \) (car \( x=-1 \notin [0;8] \)) Pour \( x \in ]0;5[ \) : \( B'(x) > 0 \) → \( B \) croissante Pour \( x \in ]5;8[ \) : \( B'(x) < 0 \) → \( B \) décroissante Le bénéfice est donc maximum en \( x = 5 \). 3 \( B(5) = -125 + 150 + 75 = 100 \) Conclusion Le bénéfice est maximal pour 500 produits vendus. Le bénéfice maximum est de 100 000 €. 10 Exercice type bac — fonction rationnelle Niveau 3 — Type Bac 📋 Énoncé — Type Bac Soit \( f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 1} \) définie sur \( \mathbb{R} \setminus \{1\} \). 1. Calculer \( f'(x) \) et simplifier. 2. Étudier le signe de \( f'(x) \). 3. Conclure sur les variations de \( f \). 📖 Voir le corrigé ▼ 1 \( u = x^2-4 \), \( v = x-1 \) → \( u'=2x \), \( v'=1 \) \( f'(x) = \dfrac{2x(x-1) - (x^2-4) \cdot 1}{(x-1)^2} \) 2 \( = \dfrac{2x^2 - 2x - x^2 + 4}{(x-1)^2} = \dfrac{x^2 - 2x + 4}{(x-1)^2} \) 3 Discriminant du numérateur \( x^2 - 2x + 4 \) : \( \Delta = 4 - 16 = -12 0 \) et \( \Delta 0 \) pour tout \( x \neq 1 \). Conclusion \( f'(x) > 0 \) pour tout \( x \neq 1 \). \( f \) est strictement croissante sur \( ]-\infty ; 1[ \) et sur \( ]1 ; +\infty[ \). Les erreurs classiques à ne surtout pas faire ✕ Dériver un produit terme à terme : \( (uv)' \neq u'v' \). La bonne formule est \( u'v + uv' \). C'est l'erreur la plus fréquente en copie. ✕ Oublier la dérivée de l'intérieur : \( (e^{3x})' \neq e^{3x} \). Il faut multiplier par la dérivée de l'intérieur : \( (e^{3x})' = 3e^{3x} \). ✕ Confondre le signe du quotient : \(\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\). Le numérateur est \( u'v \mathbf{-} uv' \), pas \( u'v + uv' \). ✕ Conclure trop vite sur les extrema : \( f'(a) = 0 \) ne suffit pas. Il faut vérifier que le signe de \( f' \) change effectivement autour de \( a \). ✕ Oublier les conditions de domaine : \( \sqrt{x} \) n'est définie que pour \( x \geq 0 \), et \( \ln(x) \) pour \( x > 0 \). Toujours préciser le domaine de dérivabilité. Besoin de plus d'exercices corrigés ? Accède au cours complet de dérivation avec fiches méthode, exercices interactifs et annales du bac. Voir le cours complet → Pour aller plus loin Ces articles complètent parfaitement tes révisions sur la dérivation en Première. f' La Dérivation Globale Le cours complet : toutes les règles, le tableau des dérivées et les méthodes expliquées. ⌒ Parabole, Sommet et Racines Interpréter graphiquement les variations et les extrema d'une fonction. 🎯 Applications du Second Degré Utiliser la dérivée pour résoudre des problèmes d'optimisation concrets. ± Signe d'une Fonction Dresser des tableaux de signes — indispensable pour conclure sur les variations de f.

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La Dérivation Globale en Première

Le Calcul Infinitésimal : La Dérivation et l’Intégration

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