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Comment développer un polynôme du second degré ? Maths · Première Comment trouver la forme développée d'un polynôme ? Développer un polynôme, c'est le transformer en une somme de termes. Voici la méthode pour passer des formes factorisée ou canonique à la forme développée. ⏱ Lecture : 4 min 📐 Niveau : Première ✦ Exemples corrigés Qu'est-ce que la forme développée ? La forme développée et réduite d'un polynôme du second degré est son écriture la plus "classique", sous la forme d'une somme de termes de puissances de x décroissantes. Forme Développée \[ f(x) = ax^2 + bx + c \] C'est la forme de référence qui permet d'identifier les coefficients a, b et c, essentiels pour calculer le discriminant, trouver les racines ou déterminer le sommet de la parabole. Méthode 1 : Développer depuis la forme factorisée Si vous connaissez les racines \( x_1 \) et \( x_2 \) du polynôme, il est souvent donné sous sa forme factorisée. Pour le développer, on utilise la double distributivité. 1 Partir de la forme factorisée La forme factorisée s'écrit à l'aide des racines du polynôme. Forme Factorisée \[ f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \] 2 Appliquer la double distributivité On développe d'abord le produit des deux parenthèses. Exemple Soit \( f(x) = 2(x - 1)(x - 3) \). On a \( a=2, x_1=1, x_2=3 \). On développe \( (x-1)(x-3) \) : \[ (x-1)(x-3) = x \cdot x + x \cdot (-3) - 1 \cdot x - 1 \cdot (-3) \] \[ = x^2 - 3x - x + 3 \] \[ = x^2 - 4x + 3 \] 3 Multiplier par a et réduire Enfin, on distribue le coefficient a sur chaque terme du résultat obtenu. Exemple — suite \[ f(x) = 2(x^2 - 4x + 3) \] \[ f(x) = 2x^2 - 8x + 6 \] C'est la forme développée et réduite, avec \( a=2, b=-8, c=6 \). Méthode 2 : Développer depuis la forme canonique Si vous connaissez le sommet \( S(\alpha, \beta) \) du polynôme, il peut être donné sous sa forme canonique. Pour le développer, on utilise une identité remarquable. 1 Partir de la forme canonique La forme canonique s'écrit à l'aide des coordonnées du sommet. Forme Canonique \[ f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta \] 2 Utiliser une identité remarquable On développe le carré \( (x - \alpha)^2 \) en utilisant l'identité remarquable \( (A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2 \). Exemple Soit \( f(x) = -3(x + 1)^2 + 5 \). On a \( a=-3, \alpha=-1, \beta=5 \). On développe \( (x+1)^2 \) : \[ (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 \] 3 Multiplier par a, ajouter β et réduire On distribue le coefficient a, puis on ajoute β pour finaliser le calcul. Exemple — suite \[ f(x) = -3(x^2 + 2x + 1) + 5 \] \[ f(x) = -3x^2 - 6x - 3 + 5 \] \[ f(x) = -3x^2 - 6x + 2 \] C'est la forme développée, avec \( a=-3, b=-6, c=2 \). Erreurs fréquentes à éviter ! Oublier de distribuer le coefficient a — C'est l'erreur la plus courante. Le coefficient a doit être multiplié par tous les termes après le premier développement. ! Erreur de signe dans les identités remarquables — Attention à \( (x-a)^2 = x^2 - 2ax + a^2 \) et non \( x^2 - a^2 \). ! Ne pas réduire l'expression finale — Toujours regrouper les termes de même puissance (les x ensemble, les constantes ensemble) pour obtenir la forme \( ax^2 + bx + c \). Récapitulatif de la méthode ✓ Identifier la forme de départ (factorisée ou canonique). ✓ Appliquer la double distributivité ou une identité remarquable. ✓ Distribuer le coefficient a sur chaque terme. ✓ Ajouter le terme constant (β pour la forme canonique). ✓ Réduire l'expression pour obtenir la forme finale \( ax^2 + bx + c \). Prêt à pratiquer ? Accède au cours complet avec exercices corrigés et fiches méthode sur les polynômes. Voir le cours complet → Pour aller plus loin Maintenant que les bases sont acquises, poursuivez avec d’autres concepts clés du programme de Première. Σ Démontrer qu'une suite est arithmétique La méthode infaillible avec le calcul de la différence uₙ₊₁ - uₙ. ⚗️ Les suites arithmético-géométriques L'astuce de la suite auxiliaire pour résoudre ce problème type bac. 📈 Interprétation graphique de la parabole Comprendre le rôle du sommet, des racines et du signe de 'a' sur le graphique. 🎯 Applications : problèmes d'optimisation Utiliser le sommet pour trouver une aire maximale, un profit maximal, etc.