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Comment trouver le sommet d'une parabole ? Formule et exemples corrigés Maths · Première Comment trouver le sommetd'une parabole ? Le sommet d'une parabole est son point le plus haut ou le plus bas. Voici comment le calculer rapidement, par la formule ou par la forme canonique. ⏱ Lecture : 5 min 📐 Niveau : Première ✦ Exemples corrigés Qu'est-ce que le sommet d'une parabole ? Toute fonction du second degré \( f(x) = ax^2 + bx + c \) a pour représentation graphique une parabole. Cette parabole possède un point remarquable appelé sommet, noté \( S \), qui correspond à son point le plus bas lorsque \( a > 0 \), ou le plus haut lorsque \( a < 0 \). Coordonnées du sommet \[ S\!\left(\alpha,\, \beta\right) \quad \text{avec} \quad \alpha = -\frac{b}{2a} \quad \text{et} \quad \beta = f(\alpha) \] Le sommet est aussi l'axe de symétrie de la parabole : la droite verticale d'équation \( x = \alpha \) divise la courbe en deux parties parfaitement symétriques. Pourquoi cherche-t-on le sommet d'une parabole ? Connaître le sommet permet de déterminer le minimum ou le maximum d'une fonction du second degré, ce qui est essentiel pour les problèmes d'optimisation en mathématiques et en physique. C'est aussi la clé pour écrire la forme canonique du polynôme et dresser son tableau de variations. La méthode en 3 étapes 1 Identifier les coefficients a, b et c À partir de la forme développée ax² + bx + c, repérez les trois coefficients. Le coefficient a détermine également le sens d'ouverture de la parabole. Exemple \[ f(x) = 2x^2 - 8x + 3 \quad \Rightarrow \quad a = 2,\; b = -8,\; c = 3 \] ⚠️ Si \( a > 0 \), la parabole est tournée vers le haut — le sommet est un minimum. Si \( a < 0 \), elle est tournée vers le bas — le sommet est un maximum. 2 Calculer l'abscisse du sommet α L'abscisse du sommet est donnée par la formule suivante, indépendante du discriminant. Elle correspond aussi à la moyenne des deux racines lorsqu'elles existent. Abscisse du sommet \[ \alpha = -\frac{b}{2a} \] Exemple — suite \[ \alpha = -\frac{-8}{2 \times 2} = \frac{8}{4} = 2 \] 3 Calculer l'ordonnée du sommet β Une fois \( \alpha \) connu, il suffit de calculer \( f(\alpha) \) en substituant dans la fonction. On peut aussi utiliser la formule directe faisant intervenir le discriminant. Ordonnée du sommet — deux méthodes \[ \beta = f(\alpha) \qquad \text{ou} \qquad \beta = -\frac{\Delta}{4a} \] Exemple — suite \[ \beta = f(2) = 2(4) - 8(2) + 3 = 8 - 16 + 3 = -5 \] \[ \Rightarrow \quad S(2,\; -5) \] Sommet et sens de la parabole Le signe de a détermine la nature du sommet et le comportement global de la parabole : a > 0 Parabole vers le haut Le sommet \( S(\alpha, \beta) \) est le point le plus bas de la courbe. \[ f(x) \geq \beta \quad \forall x \in \mathbb{R} \] β est le minimum de f a < 0 Parabole vers le bas Le sommet \( S(\alpha, \beta) \) est le point le plus haut de la courbe. \[ f(x) \leq \beta \quad \forall x \in \mathbb{R} \] β est le maximum de f Axe de symétrie Droite \( x = \alpha \) La parabole est symétrique par rapport à la droite verticale passant par le sommet. \[ f(\alpha + t) = f(\alpha - t) \] Valable pour tout t réel Exemple détaillé corrigé Trouvons le sommet de la parabole associée à la fonction suivante : Fonction à étudier \[ f(x) = -x^2 + 4x + 1 \] Résolution étape par étape Identification : \( a = -1,\; b = 4,\; c = 1 \). Comme \( a < 0 \), la parabole est tournée vers le bas — le sommet sera un maximum. Abscisse du sommet : \[ \alpha = -\frac{4}{2 \times (-1)} = -\frac{4}{-2} = 2 \] Ordonnée du sommet : \[ \beta = f(2) = -(4) + 4(2) + 1 = -4 + 8 + 1 = 5 \] Conclusion : le sommet est \( S(2,\; 5) \). La fonction atteint son maximum de 5 en \( x = 2 \). Forme canonique déduite : \[ f(x) = -(x - 2)^2 + 5 \] Lien avec la représentation graphique Graphiquement, le sommet \( S(\alpha, \beta) \) est le point où la parabole change de sens de variation. À gauche de \( \alpha \), la fonction est décroissante (si \( a > 0 \)) puis croissante à droite, ou l'inverse si \( a < 0 \). L'axe de symétrie \( x = \alpha \) permet également de retrouver les racines par symétrie : si \( x_1 \) est une racine, alors \( 2\alpha - x_1 \) est l'autre. Erreurs fréquentes à éviter ! Oublier le signe moins dans \( \alpha = -b/(2a) \) — La formule commence bien par un signe négatif devant \( b \). C'est l'erreur la plus fréquente. ! Confondre α et β — \( \alpha \) est l'abscisse (axe horizontal), \( \beta \) est l'ordonnée (axe vertical). Ne pas les inverser dans les coordonnées de \( S \). ! Calculer β sans substituer α correctement — Bien remplacer tous les \( x \) par la valeur de \( \alpha \) dans \( f(x) \) avant de calculer. ! Conclure que le sommet est un maximum alors que a > 0 — Toujours vérifier le signe de \( a \) avant de conclure sur la nature du sommet. Récapitulatif de la méthode ✓ Identifier \( a \), \( b \) et \( c \) depuis la forme développée ✓ Vérifier le signe de \( a \) pour anticiper minimum ou maximum ✓ Calculer \( \alpha = -b/(2a) \) — l'abscisse du sommet ✓ Calculer \( \beta = f(\alpha) \) — l'ordonnée du sommet ✓ En déduire la forme canonique \( f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta \) Prêt à pratiquer ? Accède au cours complet avec exercices corrigés et fiches méthode. Voir le cours complet → Ressources complémentaires 📚 Cours structuré Polynômes du second degré – Première Théorie complète, méthodes et exercices sur freecourse.fr Accéder → 🎬 Vidéo pédagogique Résoudre une équation du second degré Explication visuelle pas à pas du discriminant Regarder → 🏛️ Institutionnel Mathématiques au lycée – Éduscol Programmes officiels et repères pédagogiques Consulter → 📖 Référence Équation du second degré – Wikipédia Définitions formelles et propriétés mathématiques Lire →

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