Trouver le Terme Général d'une Suite Définie par Récurrence Maths · Suites Numériques Trouver le Terme Général d'une Suite par Récurrence Comment passer de la formule de récurrence \( u_{n+1} \) à la formule explicite \( u_n \)? Découvrez la méthode pour les cas que vous devez maîtriser en Première. ⏱ Lecture : 5 min 📐 Niveau : Première ✦ Méthode Essentielle De la récurrence à l'explicite : quel est l'objectif ? Une suite est souvent définie par récurrence, c'est-à-dire que chaque terme est calculé à partir du précédent (ex: \( u_{n+1} = 2u_n - 1 \)). C'est pratique pour calculer les termes un par un, mais très inefficace si l'on veut calculer \( u_{100} \). L'objectif est de trouver le terme général (ou la forme explicite) de la suite, c'est-à-dire une formule qui permet de calculer \( u_n \) directement en fonction de n (ex: \( u_n = 3 \cdot 2^n + 1 \)). Important : au niveau Première, on ne sait pas trouver la forme explicite de n'importe quelle suite. La stratégie consiste toujours à reconnaître un type de suite connu. La méthode générale en 2 étapes Quelle que soit la suite, la démarche intellectuelle est toujours la même. 1 Identifier la nature de la suite Regardez la formule de récurrence. Est-ce que vous reconnaissez une forme familière ? Est-elle de la forme \( u_{n+1} = u_n + r \) ? → Suite arithmétique. Est-elle de la forme \( u_{n+1} = q \cdot u_n \) ? → Suite géométrique. C'est l'étape la plus importante. Si vous vous trompez ici, tout le reste sera faux. 2 Appliquer la formule du terme général correspondante Une fois la nature de la suite identifiée, il suffit d'appliquer la bonne formule du cours. Formules des termes généraux Si la suite est arithmétique de raison \( r \): \[ u_n = u_0 + n \cdot r \] Si la suite est géométrique de raison \( q \): \[ u_n = u_0 \cdot q^n \] Exemple 1 : Le cas d'une suite arithmétique Problème : Soit la suite \( (u_n) \) définie par \( u_0 = 5 \) et \( u_{n+1} = u_n - 2 \). Trouver le terme général de \( (u_n) \). Résolution 1. Identification : La formule de récurrence est de la forme \( u_{n+1} = u_n + r \) avec \( r = -2 \). La suite \( (u_n) \) est donc arithmétique de raison -2. 2. Application de la formule : On utilise la formule du terme général d'une suite arithmétique : \( u_n = u_0 + n \cdot r \). On remplace avec les valeurs connues : \( u_0 = 5 \) et \( r = -2 \). \( u_n = 5 + n \cdot (-2) \) \( u_n = 5 - 2n \). C'est la forme explicite de la suite. Exemple 2 : Le cas d'une suite géométrique Problème : Soit la suite \( (v_n) \) définie par \( v_0 = 3 \) et \( v_{n+1} = 2v_n \). Trouver le terme général de \( (v_n) \). Résolution 1. Identification : La formule de récurrence est de la forme \( v_{n+1} = q \cdot v_n \) avec \( q = 2 \). La suite \( (v_n) \) est donc géométrique de raison 2. 2. Application de la formule : On utilise la formule du terme général d'une suite géométrique : \( v_n = v_0 \cdot q^n \). On remplace avec les valeurs connues : \( v_0 = 3 \) et \( q = 2 \). \( v_n = 3 \cdot 2^n \). C'est la forme explicite de la suite. Et pour les autres suites ? Le cas des arithmético-géométriques Que faire si la suite est définie par \( u_{n+1} = au_n + b \), comme \( u_{n+1} = 3u_n - 4 \) ? Cette suite n'est ni arithmétique, ni géométrique. Au niveau Première, on ne vous demandera jamais de trouver son terme général directement. La méthode consiste à introduire une suite auxiliaire \( (v_n) \) qui, elle, sera géométrique. C'est un type de problème très classique, mais qui est toujours guidé. La stratégie complète pour ce cas de figure est détaillée dans l'article dédié ci-dessous. Prêt à maîtriser les suites ? Accède au cours complet avec exercices corrigés et fiches méthode. Voir le cours sur les suites → Pour aller plus loin Approfondissez vos connaissances sur les suites avec ces articles complémentaires. ➕ Démontrer qu'une suite est arithmétique La méthode infaillible avec le calcul de la différence uₙ₊₁ - uₙ. ✖️ Démontrer qu'une suite est géométrique La méthode rigoureuse avec le calcul du rapport uₙ₊₁ / uₙ. ⚗️ Les suites arithmético-géométriques L'astuce de la suite auxiliaire pour résoudre ce problème type bac. 📈 Étudier le sens de variation d'une suite Comment savoir si une suite est croissante, décroissante ou constante ?