Comment Résoudre une Équation Trigonométrique (cos x = a, sin x = a) Maths · Trigonométrie Résoudre une Équation Trigonométrique Apprenez la méthode visuelle et infaillible pour résoudre les équations du type cos(x) = a et sin(x) = a en utilisant le cercle trigonométrique. ⏱ Lecture : 6 min 📐 Niveau : Première ✦ Méthode & Exemples Qu'est-ce qu'une équation trigonométrique ? Une équation trigonométrique est une équation où l'inconnue \( x \) apparaît à l'intérieur d'une fonction trigonométrique (cosinus, sinus, etc.). En classe de Première, on se concentre sur les deux formes les plus simples mais les plus fondamentales : \( \cos(x) = a \) \( \sin(x) = a \) Résoudre ces équations, c'est trouver tous les angles (ou nombres réels) \( x \) dont le cosinus ou le sinus est égal à une valeur donnée a. La clé pour y parvenir est le cercle trigonométrique. Méthode 1 : Résoudre cos(x) = a On cherche tous les points du cercle trigonométrique dont l'abscisse est égale à a. La méthode en 3 étapes 1 Placer la valeur 'a' sur l'axe des cosinus Tracez une droite verticale à l'abscisse x = a. Cette droite coupe le cercle en un, deux ou zéro points. Pour résoudre \( \cos(x) = 0,5 \), on trace la droite verticale qui passe par 0,5 sur l'axe horizontal. 2 Identifier l'angle principal α Trouvez l'angle principal \( \alpha \) (généralement dans \( [0, \pi] \)) qui correspond à l'un des points d'intersection. C'est souvent une valeur remarquable à connaître. Exemple — suite On reconnaît que l'angle dont le cosinus vaut 0,5 est \( \alpha = \pi/3 \). 3 Donner toutes les solutions Le deuxième point d'intersection est toujours le symétrique par rapport à l'axe des abscisses, soit \( -\alpha \). Comme on peut faire des tours complets du cercle, on ajoute \( +2k\pi \) à chaque solution. Solutions pour cos(x) = cos(α) \[ x = \alpha + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = -\alpha + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Exemple — fin Les solutions de \( \cos(x) = 0,5 \) sont : \( x = \pi/3 + 2k\pi \) et \( x = -\pi/3 + 2k\pi \). Méthode 2 : Résoudre sin(x) = a La logique est la même, mais cette fois on cherche les points dont l'ordonnée est égale à a. La méthode en 3 étapes 1 Placer la valeur 'a' sur l'axe des sinus Tracez une droite horizontale à l'ordonnée y = a. Cette droite coupe le cercle en un, deux ou zéro points. Pour résoudre \( \sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \), on trace la droite horizontale qui passe par \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) sur l'axe vertical. 2 Identifier l'angle principal α Trouvez l'angle principal \( \alpha \) (généralement dans \( [-\pi/2, \pi/2] \)) qui correspond à l'un des points d'intersection. Exemple — suite On reconnaît que l'angle dont le sinus vaut \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) est \( \alpha = \pi/4 \). 3 Donner toutes les solutions Le deuxième point d'intersection est le symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, soit \( \pi - \alpha \). On ajoute ensuite les tours complets. Solutions pour sin(x) = sin(α) \[ x = \alpha + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \pi - \alpha + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Exemple — fin Les solutions de \( \sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \) sont : \( x = \pi/4 + 2k\pi \) et \( x = 3\pi/4 + 2k\pi \). Prêt à maîtriser la trigonométrie ? Accède au cours complet avec exercices corrigés et fiches méthode. Voir le cours complet → Pour aller plus loin La résolution d'équations est une étape clé. Explorez d'autres outils de la trigonométrie. ⭕ Le Cercle Trigonométrique L'outil indispensable pour visualiser et comprendre ces solutions. 📐 Le théorème d'Al-Kashi Une formule puissante pour résoudre les triangles quelconques. 📏 La Loi des Sinus L'autre formule essentielle pour les triangles quelconques. ∙ Calculer un produit scalaire Les 3 formules essentielles et quand les utiliser.