Calculer un Angle avec la Loi des Sinus en 3 Étapes
La loi des sinus est un outil puissant pour résoudre les triangles quelconques. Voici comment l’utiliser pour trouver un angle inconnu, pas à pas.
Qu’est-ce que la loi des sinus ?
La loi des sinus (ou théorème des sinus) est une formule qui établit une relation de proportionnalité entre les longueurs des côtés d’un triangle et les sinus de leurs angles opposés. Elle s’applique à n’importe quel triangle, pas seulement aux triangles rectangles.
Dans un triangle ABC, on a :
\[ \frac{a}{\sin(\hat{A})} = \frac{b}{\sin(\hat{B})} = \frac{c}{\sin(\hat{C})} \]Où a est la longueur du côté opposé à l’angle Â, b celle opposée à B̂, et c celle opposée à Ĉ.
Quand utiliser la loi des sinus ?
On utilise la loi des sinus pour trouver un angle inconnu lorsque l’on connaît :
- Une paire “angle-côté opposé” complète (par exemple, on connaît l’angle  et la longueur a).
- Une autre longueur de côté (par exemple, b), dont on cherche l’angle opposé (B̂).
Si vous connaissez deux côtés et l’angle entre eux, ou les trois côtés, il faut plutôt utiliser le théorème d’Al-Kashi (loi des cosinus).
La méthode en 3 étapes pour trouver un angle
Identifier la paire “angle-côté” connue
Repérez dans l’énoncé l’angle dont vous connaissez la valeur, ainsi que la longueur du côté qui lui est opposé. C’est votre “paire de référence”.
Dans un triangle ABC, on donne : Angle  = 30°, côté a = 4 cm, et côté b = 6 cm. On cherche l’angle B̂. Notre paire de référence est (Â, a).
Isoler le sinus de l’angle inconnu
Écrivez la loi des sinus en n’utilisant que les deux paires qui vous intéressent. Ensuite, utilisez un produit en croix pour isoler le sinus de l’angle que vous cherchez.
On sait que \( \sin(30°) = 0,5 \). \[ \sin(\hat{B}) = \frac{6 \cdot 0,5}{4} = \frac{3}{4} = 0,75 \]
Trouver l’angle avec la fonction Arc Sinus
Maintenant que vous avez la valeur du sinus, il faut trouver l’angle correspondant. Pour cela, on utilise la fonction inverse du sinus, notée Arcsin ou sin⁻¹ sur la calculatrice.
On a \( \sin(\hat{B}) = 0,75 \). Avec la calculatrice (en mode degrés) : \[ \hat{B} = \arcsin(0,75) \approx 48,6° \] Conclusion : L’angle B̂ mesure environ 48,6°.
Erreurs fréquentes à éviter
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Calculatrice en mode Radians — C’est l’erreur N°1 ! Assurez-vous toujours que votre calculatrice est en mode Degrés avant de faire le moindre calcul de trigonométrie.
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Inverser les côtés et les angles — La longueur a est toujours opposée à l’angle Â. Ne mélangez pas les paires.
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Le cas ambigu : deux solutions possibles — Si l’angle que vous cherchez peut être obtus (> 90°), il peut y avoir deux solutions. Par exemple, si \( \sin(\hat{B}) = 0,5 \), B̂ peut valoir 30° ou 150°. Regardez toujours la figure pour voir si une solution obtuse est plausible.
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