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Calculer un Angle avec la Loi des Sinus en 3 Étapes Maths · Trigonométrie Calculer un Angle avec la Loi des Sinus en 3 Étapes La loi des sinus est un outil puissant pour résoudre les triangles quelconques. Voici comment l'utiliser pour trouver un angle inconnu, pas à pas. ⏱ Lecture : 4 min 📐 Niveau : Première ✦ Méthode & Exemple Qu'est-ce que la loi des sinus ? La loi des sinus (ou théorème des sinus) est une formule qui établit une relation de proportionnalité entre les longueurs des côtés d'un triangle et les sinus de leurs angles opposés. Elle s'applique à n'importe quel triangle, pas seulement aux triangles rectangles. La Loi des Sinus Dans un triangle ABC, on a : \[ \frac{a}{\sin(\hat{A})} = \frac{b}{\sin(\hat{B})} = \frac{c}{\sin(\hat{C})} \] Où a est la longueur du côté opposé à l'angle Â, b celle opposée à B̂, et c celle opposée à Ĉ. Quand utiliser la loi des sinus ? On utilise la loi des sinus pour trouver un angle inconnu lorsque l'on connaît : Une paire "angle-côté opposé" complète (par exemple, on connaît l'angle Â et la longueur a). Une autre longueur de côté (par exemple, b), dont on cherche l'angle opposé (B̂). Si vous connaissez deux côtés et l'angle entre eux, ou les trois côtés, il faut plutôt utiliser le théorème d'Al-Kashi (loi des cosinus). La méthode en 3 étapes pour trouver un angle 1 Identifier la paire "angle-côté" connue Repérez dans l'énoncé l'angle dont vous connaissez la valeur, ainsi que la longueur du côté qui lui est opposé. C'est votre "paire de référence". Exemple Dans un triangle ABC, on donne : Angle Â = 30°, côté a = 4 cm, et côté b = 6 cm. On cherche l'angle B̂. Notre paire de référence est (Â, a). 2 Isoler le sinus de l'angle inconnu Écrivez la loi des sinus en n'utilisant que les deux paires qui vous intéressent. Ensuite, utilisez un produit en croix pour isoler le sinus de l'angle que vous cherchez. Isoler sin(B̂) \[ \frac{a}{\sin(\hat{A})} = \frac{b}{\sin(\hat{B})} \quad \Rightarrow \quad \sin(\hat{B}) = \frac{b \cdot \sin(\hat{A})}{a} \] Exemple — suite \[ \sin(\hat{B}) = \frac{6 \cdot \sin(30°)}{4} \] On sait que \( \sin(30°) = 0,5 \). \[ \sin(\hat{B}) = \frac{6 \cdot 0,5}{4} = \frac{3}{4} = 0,75 \] 3 Trouver l'angle avec la fonction Arc Sinus Maintenant que vous avez la valeur du sinus, il faut trouver l'angle correspondant. Pour cela, on utilise la fonction inverse du sinus, notée Arcsin ou sin⁻¹ sur la calculatrice. Trouver l'angle \[ \hat{B} = \arcsin\left(\frac{b \cdot \sin(\hat{A})}{a}\right) \] Exemple — fin On a \( \sin(\hat{B}) = 0,75 \). Avec la calculatrice (en mode degrés) : \[ \hat{B} = \arcsin(0,75) \approx 48,6° \] Conclusion : L'angle B̂ mesure environ 48,6°. Erreurs fréquentes à éviter ! Calculatrice en mode Radians — C'est l'erreur N°1 ! Assurez-vous toujours que votre calculatrice est en mode Degrés avant de faire le moindre calcul de trigonométrie. ! Inverser les côtés et les angles — La longueur a est toujours opposée à l'angle Â. Ne mélangez pas les paires. ! Le cas ambigu : deux solutions possibles — Si l'angle que vous cherchez peut être obtus (> 90°), il peut y avoir deux solutions. Par exemple, si \( \sin(\hat{B}) = 0,5 \), B̂ peut valoir 30° ou 150°. Regardez toujours la figure pour voir si une solution obtuse est plausible. Prêt à maîtriser la trigonométrie ? Accède au cours complet avec exercices corrigés et fiches méthode. Voir le cours complet → Pour aller plus loin Explorez d'autres outils essentiels de la géométrie et de la trigonométrie. 📐 Le théorème d'Al-Kashi (Loi des Cosinus ) L'autre formule essentielle pour résoudre les triangles quelconques. ∙ Calculer un produit scalaire Les différentes méthodes pour calculer le produit scalaire de deux vecteurs. ⭕ Le cercle trigonométrique Comprendre le cosinus, le sinus et les angles associés. x=? Résoudre une équation trigonométrique Les méthodes pour résoudre cos(x) = a ou sin(x) = a.

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