Applications du Second Degré : Optimisation et Problèmes
Découvrez comment les polynômes du second degré permettent de résoudre des problèmes concrets : maximiser un profit, minimiser un coût ou trouver une aire maximale.
À quoi servent les polynômes dans la vie réelle ?
Loin d’être une simple abstraction mathématique, le second degré est un outil puissant pour modéliser et résoudre des problèmes d’optimisation. L’objectif est souvent de trouver la valeur d’une variable (notée x) qui rend une certaine quantité (un profit, une aire, une hauteur) maximale ou minimale.
La clé de ces problèmes réside dans le sommet de la parabole, qui représente toujours cet extremum (le maximum ou le minimum).
Trouver le maximum ou le minimum d’une fonction \( f(x) = ax^2 + bx + c \) revient à trouver les coordonnées du sommet de la parabole \( S(\alpha, \beta) \).
- L’extremum est atteint pour \( x = \alpha = -b/(2a) \).
- La valeur de cet extremum est \( \beta = f(\alpha) \).
La méthode en 4 étapes pour résoudre un problème
Poser l’inconnue et définir le domaine
La première étape est de traduire l’énoncé en langage mathématique. Identifiez ce que vous cherchez et nommez-le x. Définissez ensuite l’intervalle dans lequel x peut varier (par exemple, une longueur doit être positive).
Modéliser la situation par une fonction
Exprimez la quantité que vous souhaitez optimiser (l’aire, le profit, etc.) en fonction de x. Vous devriez obtenir une fonction du second degré de la forme \( f(x) = ax^2 + bx + c \).
Trouver le sommet de la parabole
Calculez les coordonnées \( (\alpha, \beta) \) du sommet de la parabole associée à votre fonction \( f(x) \).
Interpréter le résultat et conclure
Traduisez le résultat mathématique en une réponse concrète au problème posé. N’oubliez pas de vérifier que la valeur de \( \alpha \) trouvée appartient bien au domaine de définition.
- 👉 \( \alpha \) est la valeur de x pour laquelle l’optimum est atteint.
- 👉 \( \beta \) est la valeur de cet optimum (le maximum ou le minimum).
Exemple détaillé : Maximiser une aire rectangulaire
Problème : Un agriculteur dispose de 100 mètres de clôture pour créer un enclos rectangulaire. Quelles dimensions doit-il choisir pour que l’aire de l’enclos soit maximale ?
1. Poser les inconnues et le domaine :
Soit L la longueur et l la largeur du rectangle. Le périmètre est \( 2(L+l) = 100 \), donc \( L+l = 50 \), ou encore \( L = 50 – l \). On pose \( x = l \). Comme une largeur doit être positive et inférieure à 50, on a \( x \in ]0; 50[ \).
2. Modéliser l’aire par une fonction :
L’aire \( A \) du rectangle est \( A = L \times l \). En remplaçant par x : \( A(x) = (50 – x) \times x \) \( A(x) = -x^2 + 50x \) C’est un polynôme du second degré avec \( a = -1, b = 50, c = 0 \).
3. Trouver le sommet :
On calcule l’abscisse du sommet : \( \alpha = -\frac{b}{2a} = -\frac{50}{2 \times (-1)} = 25 \). Cette valeur est bien dans l’intervalle \( ]0; 50[ \). Comme \( a = -1 < 0 \), le sommet correspond bien à un maximum.
4. Conclure :
L’aire est maximale lorsque la largeur \( x = l = 25 \) mètres. La longueur correspondante est \( L = 50 – 25 = 25 \) mètres. Conclusion : Pour obtenir une aire maximale, l’enclos doit être un carré de 25 mètres de côté. L’aire maximale sera alors \( \beta = A(25) = 25 \times 25 = 625 \) m².
Erreurs fréquentes à éviter
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Mal modéliser la fonction — C’est l’étape la plus difficile. Prenez le temps de bien traduire l’énoncé en une équation \( f(x) \).
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Confondre la valeur qui maximise et le maximum lui-même — \( \alpha \) est la valeur de x qui donne le résultat optimal, tandis que \( \beta \) est ce résultat optimal. Lisez bien la question pour savoir lequel on vous demande (ou les deux).
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Oublier de vérifier le domaine de définition — Si vous trouvez un \( \alpha \) qui n’est pas dans l’intervalle des valeurs possibles (par exemple, une longueur négative), c’est qu’il y a une erreur ou que l’extremum se trouve aux bornes de l’intervalle.
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Pour aller plus loin
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