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Applications des Suites Géométriques : Dépréciation Annuelle Maths · Applications Applications des Suites Géométriques : Dépréciation Annuelle Découvrez comment les suites géométriques permettent de modéliser la perte de valeur d'un bien au fil du temps, un exemple concret de décroissance exponentielle. ⏱ Lecture : 4 min 📐 Niveau : Première ✦ Exemple Concret Modéliser une diminution en pourcentage Tout comme elles modélisent la croissance, les suites géométriques sont parfaites pour décrire une décroissance à taux constant. C'est le cas de nombreux phénomènes : La valeur d'une voiture qui perd 20% de sa valeur chaque année. La quantité d'un médicament dans le sang qui diminue de 10% chaque heure. La luminosité qui traverse des couches successives de verre teinté. Dans chaque situation, appliquer une diminution en pourcentage revient à multiplier par un coefficient inférieur à 1, qui sera la raison de notre suite géométrique. Exemple 2 : La dépréciation d'une voiture Problème : Une voiture neuve est achetée au prix de 25 000 €. On estime qu'elle perd 20% de sa valeur chaque année. On souhaite savoir quelle sera sa valeur au bout de 5 ans. La méthode en 3 étapes 1 Modéliser la situation avec une suite On note \( V_n \) la valeur de la voiture après n années. La valeur initiale est \( V_0 = 25000 \). Chaque année, la valeur diminue de 20%. Diminuer une valeur de 20% revient à la multiplier par le coefficient multiplicateur \( 1 - \frac{20}{100} = 0,80 \). On a donc la relation de récurrence : Relation de récurrence \[ V_{n+1} = 0,80 \cdot V_n \] On reconnaît une suite géométrique de raison \( q = 0,8 \) et de premier terme \( V_0 = 25000 \). 2 Trouver le terme général de la suite On applique la formule du terme général d'une suite géométrique : Terme général \[ V_n = V_0 \cdot q^n \] En remplaçant par nos valeurs, on obtient la formule explicite : \[ V_n = 25000 \cdot (0,8)^n \] 3 Répondre à la question posée On veut connaître la valeur de la voiture au bout de 5 ans, c'est-à-dire qu'on cherche à calculer \( V_5 \). Grâce à la formule explicite, le calcul est direct : \[ V_5 = 25000 \cdot (0,8)^5 \] Calcul et conclusion \( (0,8)^5 = 0,32768 \) \( V_5 = 25000 \times 0,32768 = 8192 \) Conclusion : Au bout de 5 ans, la valeur de la voiture ne sera plus que de 8192 €. Récapitulatif de la méthode ✓ Identifier la valeur initiale (\( u_0 \)) et le taux de variation en pourcentage (t%). ✓ Calculer la raison \( q = 1 - \frac{t}{100} \) pour une diminution. ✓ Écrire le terme général de la suite géométrique : \( u_n = u_0 \cdot q^n \). ✓ Utiliser cette formule pour répondre à la question posée. Prêt à maîtriser les suites ? Accède au cours complet avec exercices corrigés et fiches méthode. Voir le cours sur les suites → Pour aller plus loin Approfondissez vos connaissances sur les suites avec ces articles complémentaires. ✖️ Démontrer qu'une suite est géométrique La méthode rigoureuse avec le calcul du rapport uₙ₊₁ / uₙ. 📈 Étudier le sens de variation d'une suite Comment savoir si une suite est croissante, décroissante ou constante ? uₙ=? Trouver le terme général d'une suite Comment passer de la formule de récurrence à la formule explicite. 💰 Application : Les intérêts composés Modéliser l'évolution d'un capital placé à un taux fixe.

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