Applications des Suites Géométriques : Dépréciation Annuelle
Découvrez comment les suites géométriques permettent de modéliser la perte de valeur d’un bien au fil du temps, un exemple concret de décroissance exponentielle.
Modéliser une diminution en pourcentage
Tout comme elles modélisent la croissance, les suites géométriques sont parfaites pour décrire une décroissance à taux constant. C’est le cas de nombreux phénomènes :
- La valeur d’une voiture qui perd 20% de sa valeur chaque année.
- La quantité d’un médicament dans le sang qui diminue de 10% chaque heure.
- La luminosité qui traverse des couches successives de verre teinté.
Dans chaque situation, appliquer une diminution en pourcentage revient à multiplier par un coefficient inférieur à 1, qui sera la raison de notre suite géométrique.
Exemple 2 : La dépréciation d’une voiture
Problème : Une voiture neuve est achetée au prix de 25 000 €. On estime qu’elle perd 20% de sa valeur chaque année. On souhaite savoir quelle sera sa valeur au bout de 5 ans.
La méthode en 3 étapes
Modéliser la situation avec une suite
On note \( V_n \) la valeur de la voiture après n années. La valeur initiale est \( V_0 = 25000 \).
Chaque année, la valeur diminue de 20%. Diminuer une valeur de 20% revient à la multiplier par le coefficient multiplicateur \( 1 – \frac{20}{100} = 0,80 \). On a donc la relation de récurrence :
On reconnaît une suite géométrique de raison \( q = 0,8 \) et de premier terme \( V_0 = 25000 \).
Trouver le terme général de la suite
On applique la formule du terme général d’une suite géométrique :
En remplaçant par nos valeurs, on obtient la formule explicite :
\[ V_n = 25000 \cdot (0,8)^n \]Répondre à la question posée
On veut connaître la valeur de la voiture au bout de 5 ans, c’est-à-dire qu’on cherche à calculer \( V_5 \).
Grâce à la formule explicite, le calcul est direct :
\[ V_5 = 25000 \cdot (0,8)^5 \]\( (0,8)^5 = 0,32768 \) \( V_5 = 25000 \times 0,32768 = 8192 \) Conclusion : Au bout de 5 ans, la valeur de la voiture ne sera plus que de 8192 €.
Récapitulatif de la méthode
- Identifier la valeur initiale (\( u_0 \)) et le taux de variation en pourcentage (t%).
- Calculer la raison \( q = 1 – \frac{t}{100} \) pour une diminution.
- Écrire le terme général de la suite géométrique : \( u_n = u_0 \cdot q^n \).
- Utiliser cette formule pour répondre à la question posée.
Prêt à maîtriser les suites ?
Accède au cours complet avec exercices corrigés et fiches méthode.
Pour aller plus loin
Approfondissez vos connaissances sur les suites avec ces articles complémentaires.