Applications des Suites Géométriques : Intérêts Composés
Les suites géométriques ne sont pas qu’un concept abstrait. Découvrez comment elles modélisent parfaitement l’évolution d’un capital placé à intérêts composés.
Pourquoi les suites géométriques sont-elles si importantes ?
Les suites géométriques sont l’outil mathématique par excellence pour modéliser des phénomènes de croissance ou de décroissance exponentielle. Cela signifie que la variation n’est pas constante (comme pour une suite arithmétique), mais proportionnelle à la valeur actuelle.
Quelques exemples concrets :
- L’augmentation d’un capital avec des intérêts composés.
- La croissance d’une population de bactéries.
- La décroissance de la radioactivité d’un élément.
- La valeur d’un bien qui se déprécie d’un certain pourcentage chaque année.
Dans tous ces cas, on applique un taux de variation en pourcentage, ce qui se traduit par une multiplication par un coefficient constant : la raison de la suite géométrique.
Exemple 1 : L’évolution d’un placement financier
C’est l’application la plus classique et la plus facile à comprendre.
Problème : On place un capital initial de 1000 € sur un compte qui rapporte 5% d’intérêts composés par an. On ne touche plus à ce compte. On souhaite savoir combien d’argent il y aura sur le compte au bout de 10 ans.
“Intérêts composés” signifie que chaque année, les intérêts sont calculés non seulement sur le capital initial, mais aussi sur les intérêts accumulés les années précédentes.
La méthode en 3 étapes
Modéliser la situation avec une suite
On note \( C_n \) le capital sur le compte après n années. Le capital initial est \( C_0 = 1000 \).
Chaque année, le capital est augmenté de 5%. Augmenter une valeur de 5% revient à la multiplier par \( 1 + \frac{5}{100} = 1,05 \). On a donc la relation de récurrence :
On reconnaît immédiatement une suite géométrique de raison \( q = 1,05 \) et de premier terme \( C_0 = 1000 \).
Trouver le terme général de la suite
Maintenant que la suite est identifiée, on applique la formule du terme général d’une suite géométrique :
En remplaçant par nos valeurs, on obtient la formule explicite :
\[ C_n = 1000 \cdot (1,05)^n \]Répondre à la question posée
On veut connaître le capital au bout de 10 ans, c’est-à-dire qu’on cherche à calculer \( C_{10} \).
Grâce à la formule explicite, le calcul est direct :
\[ C_{10} = 1000 \cdot (1,05)^{10} \]À ce stade, l’énoncé vous autoriserait à utiliser une calculatrice.
\( (1,05)^{10} \approx 1,6289 \) \( C_{10} \approx 1000 \times 1,6289 = 1628,9 \) Conclusion : Au bout de 10 ans, le capital sur le compte sera d’environ 1628,90 €.
Récapitulatif de la méthode
- Lire l’énoncé pour identifier la valeur initiale (\( u_0 \)) et le taux de variation en pourcentage (t%).
- Calculer la raison \( q = 1 + \frac{t}{100} \) pour une augmentation, ou \( q = 1 – \frac{t}{100} \) pour une diminution.
- Écrire le terme général de la suite géométrique : \( u_n = u_0 \cdot q^n \).
- Utiliser cette formule pour répondre à la question (calculer un terme précis, trouver un seuil, etc.).
Prêt à maîtriser les suites ?
Accède au cours complet avec exercices corrigés et fiches méthode.
Pour aller plus loin
Approfondissez vos connaissances sur les suites avec ces articles complémentaires.