Comment Démontrer qu’une Suite est Arithmétique ?
Apprenez la méthode la plus fiable pour prouver qu’une suite est arithmétique : le calcul de la différence entre deux termes consécutifs.
Qu’est-ce qu’une suite arithmétique ?
Une suite est dite arithmétique si l’on passe d’un terme à son suivant en ajoutant toujours le même nombre. Ce nombre constant est appelé la raison de la suite, et on le note \( r \).
Par exemple, la suite 2, 5, 8, 11, … est arithmétique car on ajoute toujours 3. Sa raison est \( r = 3 \). Mathématiquement, cela se traduit par la relation de récurrence suivante :
Pour prouver qu’une suite est arithmétique, il ne suffit pas de vérifier sur quelques termes. Il faut une démonstration rigoureuse valable pour tout entier n.
La méthode infaillible en 3 étapes
La méthode la plus sûre, qui fonctionne dans tous les cas, est de calculer la différence entre un terme et son précédent.
Exprimer \( u_{n+1} \) en fonction de n
Partez de l’expression de \( u_n \) donnée dans l’énoncé. Pour trouver \( u_{n+1} \), il suffit de remplacer chaque n par (n+1). Pensez à bien utiliser des parenthèses.
Calculer la différence \( u_{n+1} – u_n \)
C’est le cœur du calcul. Soustrayez l’expression de \( u_n \) à celle de \( u_{n+1} \) que vous venez de trouver. Développez et simplifiez le résultat au maximum.
Le but est de montrer que le résultat de cette soustraction est un nombre constant, c’est-à-dire qu’il ne dépend plus de n.
Conclure sur la nature de la suite
Si le résultat du calcul est une constante \( r \), alors vous pouvez conclure :
“La différence \( u_{n+1} – u_n \) est constante et égale à \( r \), donc la suite \( (u_n) \) est arithmétique de raison \( r \).”
Si le résultat dépend encore de n, la suite n’est pas arithmétique.
Exemple détaillé corrigé
Problème : Soit la suite \( (u_n) \) définie pour tout entier naturel n par \( u_n = 7 – 4n \). Démontrer que cette suite est arithmétique.
1. Exprimer \( u_{n+1} \) :
On remplace n par (n+1) dans la formule : \( u_{n+1} = 7 – 4(n+1) \) \( u_{n+1} = 7 – 4n – 4 \) \( u_{n+1} = 3 – 4n \)
2. Calculer la différence \( u_{n+1} – u_n \) :
\( u_{n+1} – u_n = (3 – 4n) – (7 – 4n) \) Attention à bien mettre la parenthèse pour ne pas faire d’erreur de signe ! \( u_{n+1} – u_n = 3 – 4n – 7 + 4n \) Les termes en n s’annulent : \( u_{n+1} – u_n = 3 – 7 = -4 \)
3. Conclure :
La différence \( u_{n+1} – u_n \) est constante et égale à -4. Conclusion : La suite \( (u_n) \) est une suite arithmétique de raison \( r = -4 \).
Erreurs fréquentes à éviter
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Juste calculer les premiers termes — Calculer \( u_0, u_1, u_2 \) donne une intuition mais ne constitue jamais une preuve. La seule méthode rigoureuse est le calcul littéral.
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Erreur de signe en soustrayant \( u_n \) — C’est l’erreur la plus classique. Toujours mettre \( u_n \) entre parenthèses : \( … – (7 – 4n) \).
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Mal développer \( u_{n+1} \) — Bien distribuer le facteur devant (n+1) sur les deux termes.
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