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Comment Démontrer qu'une Suite est Arithmétique ? Maths · Suites Numériques Comment Démontrer qu'une Suite est Arithmétique ? Apprenez la méthode la plus fiable pour prouver qu'une suite est arithmétique : le calcul de la différence entre deux termes consécutifs. ⏱ Lecture : 4 min 📐 Niveau : Première ✦ Méthode Infaillible Qu'est-ce qu'une suite arithmétique ? Une suite est dite arithmétique si l'on passe d'un terme à son suivant en ajoutant toujours le même nombre. Ce nombre constant est appelé la raison de la suite, et on le note \( r \). Par exemple, la suite 2, 5, 8, 11, ... est arithmétique car on ajoute toujours 3. Sa raison est \( r = 3 \). Mathématiquement, cela se traduit par la relation de récurrence suivante : Définition d'une suite arithmétique \[ u_{n+1} = u_n + r \] Pour prouver qu'une suite est arithmétique, il ne suffit pas de vérifier sur quelques termes. Il faut une démonstration rigoureuse valable pour tout entier n. La méthode infaillible en 3 étapes La méthode la plus sûre, qui fonctionne dans tous les cas, est de calculer la différence entre un terme et son précédent. 1 Exprimer \( u_{n+1} \) en fonction de n Partez de l'expression de \( u_n \) donnée dans l'énoncé. Pour trouver \( u_{n+1} \), il suffit de remplacer chaque n par (n+1). Pensez à bien utiliser des parenthèses. 2 Calculer la différence \( u_{n+1} - u_n \) C'est le cœur du calcul. Soustrayez l'expression de \( u_n \) à celle de \( u_{n+1} \) que vous venez de trouver. Développez et simplifiez le résultat au maximum. Objectif Le but est de montrer que le résultat de cette soustraction est un nombre constant, c'est-à-dire qu'il ne dépend plus de n. 3 Conclure sur la nature de la suite Si le résultat du calcul est une constante \( r \), alors vous pouvez conclure : "La différence \( u_{n+1} - u_n \) est constante et égale à \( r \), donc la suite \( (u_n) \) est arithmétique de raison \( r \)." Si le résultat dépend encore de n, la suite n'est pas arithmétique. Exemple détaillé corrigé Problème : Soit la suite \( (u_n) \) définie pour tout entier naturel n par \( u_n = 7 - 4n \). Démontrer que cette suite est arithmétique. Résolution étape par étape 1. Exprimer \( u_{n+1} \) : On remplace n par (n+1) dans la formule : \( u_{n+1} = 7 - 4(n+1) \) \( u_{n+1} = 7 - 4n - 4 \) \( u_{n+1} = 3 - 4n \) 2. Calculer la différence \( u_{n+1} - u_n \) : \( u_{n+1} - u_n = (3 - 4n) - (7 - 4n) \) Attention à bien mettre la parenthèse pour ne pas faire d'erreur de signe ! \( u_{n+1} - u_n = 3 - 4n - 7 + 4n \) Les termes en n s'annulent : \( u_{n+1} - u_n = 3 - 7 = -4 \) 3. Conclure : La différence \( u_{n+1} - u_n \) est constante et égale à -4. Conclusion : La suite \( (u_n) \) est une suite arithmétique de raison \( r = -4 \). Erreurs fréquentes à éviter ! Juste calculer les premiers termes — Calculer \( u_0, u_1, u_2 \) donne une intuition mais ne constitue jamais une preuve. La seule méthode rigoureuse est le calcul littéral. ! Erreur de signe en soustrayant \( u_n \) — C'est l'erreur la plus classique. Toujours mettre \( u_n \) entre parenthèses : \( ... - (7 - 4n) \). ! Mal développer \( u_{n+1} \) — Bien distribuer le facteur devant (n+1) sur les deux termes. Prêt à maîtriser les suites ? Accède au cours complet avec exercices corrigés et fiches méthode. Voir le cours sur les suites →

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