Exercice Dérivation Globale
Première — 10 Corrigés
10 exercices de dérivation globale progressifs, entièrement corrigés pas à pas. Des calculs simples jusqu’aux fonctions composées et aux tableaux de variation — tout ce dont tu as besoin pour le bac.
Le rappel indispensable avant de commencer
Avant de te lancer dans les exercices de dérivation globale en Première, voici le tableau des dérivées usuelles et les quatre règles de calcul que tu dois avoir sous les yeux. Pas besoin de tout mémoriser d’un coup — ça vient naturellement avec la pratique.
Exercices Niveau 1 — Dérivées directes
On applique directement le tableau des dérivées usuelles et la linéarité. Aucun piège.
Dérivée d’un polynôme
Niveau 1 — LinéaritéCalculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes :
a) \( f(x) = 4x^3 – 7x^2 + 3x – 5 \)
b) \( g(x) = -2x^4 + x^3 + 6 \)
c) \( h(x) = 5x – \dfrac{x^2}{2} + 1 \)
a) \( f(x) = 4x^3 – 7x^2 + 3x – 5 \)
On dérive terme par terme : \((x^n)’ = nx^{n-1}\) et \((k)’ = 0\)
b) \( g(x) = -2x^4 + x^3 + 6 \)
\( g'(x) = -2 \times 4x^3 + 3x^2 + 0 \)
c) \( h(x) = 5x – \dfrac{x^2}{2} + 1 \)
Dérivées avec racine et inverse
Niveau 1 — Formules usuellesCalculer la dérivée de :
a) \( f(x) = 3\sqrt{x} + 2x \)
b) \( g(x) = \dfrac{4}{x} – x^2 + 7 \)
c) \( h(x) = 2e^x – 3\ln(x) \)
a) On utilise \( (\sqrt{x})’ = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \)
b) On écrit \( \dfrac{4}{x} = 4x^{-1} \), donc \( \left(\dfrac{4}{x}\right)’ = -\dfrac{4}{x^2} \)
c) \( (e^x)’ = e^x \) et \( (\ln x)’ = \dfrac{1}{x} \)
Exercices Niveau 2 — Règles de calcul
On applique les règles du produit, du quotient et de la composition.
Règle du produit
Niveau 2 — ProduitCalculer la dérivée de :
a) \( f(x) = (2x + 1)(x^2 – 3) \)
b) \( g(x) = x^2 \cdot e^x \)
c) \( h(x) = (x^3 – 2x)\ln(x) \)
a) On pose \( u = 2x+1 \), \( v = x^2-3 \)
\( u’ = 2 \quad v’ = 2x \)
\( f'(x) = u’v + uv’ = 2(x^2-3) + (2x+1) \cdot 2x \)
\( = 2x^2 – 6 + 4x^2 + 2x = 6x^2 + 2x – 6 \)
b) \( u = x^2 \), \( v = e^x \), donc \( u’ = 2x \), \( v’ = e^x \)
c) \( u = x^3-2x \), \( v = \ln x \), donc \( u’ = 3x^2-2 \), \( v’ = \dfrac{1}{x} \)
Règle du quotient
Niveau 2 — QuotientCalculer la dérivée de :
a) \( f(x) = \dfrac{x+1}{x-2} \)
b) \( g(x) = \dfrac{x^2}{e^x} \)
c) \( h(x) = \dfrac{2x+3}{x^2+1} \)
a) \( u = x+1 \), \( v = x-2 \) → \( u’=1 \), \( v’=1 \)
\( f'(x) = \dfrac{u’v – uv’}{v^2} = \dfrac{1\cdot(x-2) – (x+1)\cdot 1}{(x-2)^2} \)
\( = \dfrac{x-2-x-1}{(x-2)^2} = \dfrac{-3}{(x-2)^2} \)
b) \( u = x^2 \), \( v = e^x \) → \( u’=2x \), \( v’=e^x \)
c) \( u = 2x+3 \), \( v = x^2+1 \) → \( u’=2 \), \( v’=2x \)
Fonction composée — règle de la chaîne
Niveau 2 — ComposéeCalculer la dérivée de :
a) \( f(x) = (3x^2 + 1)^5 \)
b) \( g(x) = e^{2x-1} \)
c) \( h(x) = \ln(x^2 + 3) \)
d) \( k(x) = \sqrt{4x + 7} \)
Pour \( f(g(x)) \) : on dérive la fonction extérieure en gardant \( g(x) \) à l’intérieur,
puis on multiplie par la dérivée de \( g(x) \).
En résumé : dérivée de l’extérieur × dérivée de l’intérieur.
a) \( f(x) = (3x^2+1)^5 \) → extérieur : \( u^5 \), intérieur : \( g=3x^2+1 \)
Dérivée extérieur : \( 5u^4 \) — dérivée intérieur : \( g’=6x \)
b) \( g(x) = e^{2x-1} \) → extérieur : \( e^u \), intérieur : \( 2x-1 \), \( g’=2 \)
c) \( h(x) = \ln(x^2+3) \) → extérieur : \( \ln(u) \), donc \( \dfrac{1}{u} \), intérieur : \( 2x \)
d) \( k(x) = \sqrt{4x+7} \) → extérieur : \( \dfrac{1}{2\sqrt{u}} \), intérieur : \( 4 \)
Combinaison de règles
Niveau 2 — MixteCalculer la dérivée de :
a) \( f(x) = (x^2 + 1) \cdot e^{3x} \)
b) \( g(x) = \dfrac{e^x}{x^2+1} \)
c) \( h(x) = x \cdot \ln(2x+1) \)
a) Produit : \( u=x^2+1 \), \( v=e^{3x} \) → \( u’=2x \), \( v’=3e^{3x} \)
b) Quotient : \( u=e^x \), \( v=x^2+1 \) → \( u’=e^x \), \( v’=2x \)
c) Produit : \( u=x \), \( v=\ln(2x+1) \) → \( u’=1 \), \( v’=\dfrac{2}{2x+1} \)
Exercices Niveau 3 — Applications au bac
Ces exercices correspondent au type de questions posées au bac et au DS de Première.
Sens de variation complet
Niveau 3 — Tableau de variationSoit \( f(x) = x^3 – 6x^2 + 9x + 2 \) définie sur \( \mathbb{R} \).
1. Calculer \( f'(x) \).
2. Étudier le signe de \( f'(x) \).
3. Dresser le tableau de variation de \( f \).
Calcul de f'(x) :
\( f'(x) = 3x^2 – 12x + 9 = 3(x^2 – 4x + 3) = 3(x-1)(x-3) \)
Signe de f'(x) :
\( f'(x) = 0 \) pour \( x=1 \) et \( x=3 \)
Comme le coefficient de \( x^2 \) est positif (\( +3 \)), la parabole est tournée vers le haut :
\( f'(x) > 0 \) sur \( ]-\infty ; 1[ \cup ]3 ; +\infty[ \)
\( f'(x) < 0 \) sur \( ]1 ; 3[ \)
Valeurs remarquables :
\( f(1) = 1 – 6 + 9 + 2 = 6 \) → maximum local
\( f(3) = 27 – 54 + 27 + 2 = 2 \) → minimum local
\( f \) est croissante sur \( ]-\infty ; 1] \), décroissante sur \( [1 ; 3] \), croissante sur \( [3 ; +\infty[ \)
Maximum en \( x=1 \) : \( f(1) = 6 \) — Minimum en \( x=3 \) : \( f(3) = 2 \)
Équation de la tangente
Niveau 3 — TangenteSoit \( f(x) = x^2 – 3x + 2 \).
1. Calculer \( f'(x) \).
2. Calculer \( f'(2) \).
3. Écrire l’équation de la tangente à la courbe de \( f \) au point d’abscisse \( x = 2 \).
\( f'(x) = 2x – 3 \)
\( f'(2) = 2 \times 2 – 3 = 1 \) → c’est le coefficient directeur de la tangente
\( f(2) = 4 – 6 + 2 = 0 \) → le point de tangence est \( A(2 ; 0) \)
Équation de la tangente : \( y = f'(2)(x – 2) + f(2) \)
\( y = 1 \cdot (x-2) + 0 \)
Optimisation — problème concret
Niveau 3 — OptimisationUne entreprise modélise son bénéfice (en milliers d’euros) par la fonction \( B(x) = -x^3 + 6x^2 + 15x \) où \( x \in [0 ; 8] \) représente le nombre de produits vendus (en centaines).
1. Calculer \( B'(x) \).
2. Déterminer la valeur de \( x \) qui maximise le bénéfice.
3. Calculer le bénéfice maximum.
\( B'(x) = -3x^2 + 12x + 15 = -3(x^2 – 4x – 5) = -3(x-5)(x+1) \)
Sur \([0;8]\), \( B'(x) = 0 \) pour \( x = 5 \) (car \( x=-1 \notin [0;8] \))
Pour \( x \in ]0;5[ \) : \( B'(x) > 0 \) → \( B \) croissante
Pour \( x \in ]5;8[ \) : \( B'(x) < 0 \) → \( B \) décroissante
Le bénéfice est donc maximum en \( x = 5 \).
\( B(5) = -125 + 150 + 75 = 100 \)
Le bénéfice est maximal pour 500 produits vendus.
Le bénéfice maximum est de 100 000 €.
Exercice type bac — fonction rationnelle
Niveau 3 — Type BacSoit \( f(x) = \dfrac{x^2 – 4}{x – 1} \) définie sur \( \mathbb{R} \setminus \{1\} \).
1. Calculer \( f'(x) \) et simplifier.
2. Étudier le signe de \( f'(x) \).
3. Conclure sur les variations de \( f \).
\( u = x^2-4 \), \( v = x-1 \) → \( u’=2x \), \( v’=1 \)
\( f'(x) = \dfrac{2x(x-1) – (x^2-4) \cdot 1}{(x-1)^2} \)
\( = \dfrac{2x^2 – 2x – x^2 + 4}{(x-1)^2} = \dfrac{x^2 – 2x + 4}{(x-1)^2} \)
Discriminant du numérateur \( x^2 – 2x + 4 \) :
\( \Delta = 4 – 16 = -12 < 0 \)
Le coefficient de \( x^2 \) est \( +1 > 0 \) et \( \Delta < 0 \) →
le numérateur est toujours strictement positif.
Le dénominateur \( (x-1)^2 > 0 \) pour tout \( x \neq 1 \).
\( f'(x) > 0 \) pour tout \( x \neq 1 \).
\( f \) est strictement croissante sur \( ]-\infty ; 1[ \) et sur \( ]1 ; +\infty[ \).
Les erreurs classiques à ne surtout pas faire
- Dériver un produit terme à terme : \( (uv)’ \neq u’v’ \). La bonne formule est \( u’v + uv’ \). C’est l’erreur la plus fréquente en copie.
- Oublier la dérivée de l’intérieur : \( (e^{3x})’ \neq e^{3x} \). Il faut multiplier par la dérivée de l’intérieur : \( (e^{3x})’ = 3e^{3x} \).
- Confondre le signe du quotient : \(\left(\dfrac{u}{v}\right)’ = \dfrac{u’v – uv’}{v^2}\). Le numérateur est \( u’v \mathbf{-} uv’ \), pas \( u’v + uv’ \).
- Conclure trop vite sur les extrema : \( f'(a) = 0 \) ne suffit pas. Il faut vérifier que le signe de \( f’ \) change effectivement autour de \( a \).
- Oublier les conditions de domaine : \( \sqrt{x} \) n’est définie que pour \( x \geq 0 \), et \( \ln(x) \) pour \( x > 0 \). Toujours préciser le domaine de dérivabilité.
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