📘 Médiane, écart-type
La médiane est la valeur qui partage une série ordonnée en deux moitiés égales. L’écart-type σ mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne : plus il est élevé, plus les données sont dispersées. Ces deux indicateurs sont complémentaires à la moyenne pour analyser une distribution statistique.
📐 I — La médiane
• Médiane : valeur statistique qui partage en deux parties égales une série de données classées par ordre croissant. Il y a autant de données inférieures que supérieures à la médiane.
Méthode 1 — Série simple (effectif = 1 par valeur) :
Classer les valeurs par ordre croissant → la médiane est la valeur centrale.
👉 Application : Salaires de 5 médecins : 2 500 €, 3 000 €, 3 200 €, 3 800 €, 4 000 €.
5 valeurs → médiane = valeur du 3e médecin = 3 200 €
✅ Vérification : 2 médecins gagnent moins de 3 200 € et 2 gagnent plus.
Méthode 2 — Série avec effectifs groupés (effectifs cumulés) :
1️⃣ Calculer l’effectif total N.
2️⃣ Trouver le rang de la valeur médiane = N / 2.
3️⃣ Cumuler les effectifs jusqu’à atteindre ce rang.
👉 Application :
| Salaire | Effectif | Effectif cumulé |
|---|---|---|
| 1 000 € | 30 | 30 |
| 1 200 € | 80 | 110 |
| 2 000 € | 30 | 140 |
| 3 000 € | 2 | 142 |
N = 142 → rang médian = 71e salarié.
• 30 salariés gagnent 1 000 € → le 71e gagne plus de 1 000 €.
• 30 + 80 = 110 salariés gagnent ≤ 1 200 € → le 71e gagne 1 200 €.
→ Médiane = 1 200 €
✅ Autant de salariés gagnent moins de 1 200 € que plus.
📐 II — L’écart-type (σ)
• Écart-type : outil statistique qui mesure la dispersion des valeurs par rapport à la moyenne.
• Même unité que les données (€, €, habitants…).
• Plus σ est élevé → données très dispersées autour de la moyenne.
• Plus σ est faible → données regroupées près de la moyenne.
σ = √[(1/N) × Σxᵢ² − x̄²]
Équivalent développé :
σ = √[(1/N) × (x₁² + x₂² + … + xₙ²) − x̄²]
👉 Application : Entreprise de 4 salariés avec salaires : 1 500 €, 1 700 €, 1 800 €, 2 000 €.
Moyenne x̄ = (1 500 + 1 700 + 1 800 + 2 000) / 4 = 7 000 / 4 = 1 750 €
σ = √[(1/4)(1 500² + 1 700² + 1 800² + 2 000²) − 1 750²]
= √[(1/4)(2 250 000 + 2 890 000 + 3 240 000 + 4 000 000) − 3 062 500]
= √[(1/4)(12 380 000) − 3 062 500]
= √[3 095 000 − 3 062 500]
= √32 500
≈ 180,28 €
Interprétation :
→ « L’écart-type des salaires pour cette entreprise est de 180,28 euros. Les salaires ne sont pas très dispersés par rapport à la moyenne de 1 750 € (salaires compris entre 1 500 € et 2 000 €). »
📐 Comparaison médiane / moyenne / écart-type
| Indicateur | Ce qu’il mesure | Avantage | Limite |
|---|---|---|---|
| Moyenne | Valeur centrale pondérée | Facile à calculer, usuel | Très sensible aux valeurs extrêmes |
| Médiane | Valeur centrale (50 % de chaque côté) | Peu sensible aux extrêmes → représentative des inégalités | Ne tient pas compte de toutes les valeurs |
| Écart-type σ | Dispersion des valeurs autour de la moyenne | Indique si les données sont homogènes ou dispersées | Sensible aux valeurs extrêmes (comme la moyenne) |
💡 À retenir
• Médiane : valeur du milieu de la série ordonnée → utiliser les effectifs cumulés pour les séries groupées.
• Écart-type σ : √[(1/N) × Σxᵢ² − x̄²] → mesure la dispersion autour de la moyenne.
• σ élevé → forte dispersion ; σ faible → faible dispersion.
• Unité de σ = unité des données (€, habitants…).
• Médiane préférable à la moyenne pour mesurer les inégalités (moins sensible aux extrêmes).