Étudier le Sens de Variation d’une Suite Numérique
Comment savoir si une suite est croissante, décroissante ou constante ? Découvrez les deux méthodes essentielles à maîtriser pour répondre à cette question.
Qu’est-ce que le sens de variation d’une suite ?
Étudier le sens de variation d’une suite \( (u_n) \), c’est déterminer comment ses termes se comportent les uns par rapport aux autres lorsque l’indice n augmente. En d’autres termes, on cherche à savoir si la suite “monte”, “descend” ou “stagne”.
Il y a trois cas possibles :
- Croissante : Chaque terme est plus grand ou égal au précédent ( \( u_{n+1} \geq u_n \) ).
- Décroissante : Chaque terme est plus petit ou égal au précédent ( \( u_{n+1} \leq u_n \) ).
- Constante : Tous les termes sont égaux ( \( u_{n+1} = u_n \) ).
Pour le prouver, on ne peut pas se contenter de calculer les premiers termes. Il faut une méthode rigoureuse.
Méthode 1 : Étudier le signe de la différence (la plus courante)
C’est la méthode la plus universelle. Elle fonctionne pour toutes les suites. L’idée est de comparer \( u_{n+1} \) et \( u_n \) en étudiant le signe de leur différence.
On calcule la différence \( D = u_{n+1} – u_n \). Ensuite :
- Si \( D \geq 0 \) pour tout n, la suite est croissante.
- Si \( D \leq 0 \) pour tout n, la suite est décroissante.
- Si \( D = 0 \) pour tout n, la suite est constante.
Soit la suite \( u_n = n^2 – 3n \). 1. On exprime \( u_{n+1} \) : \( u_{n+1} = (n+1)^2 – 3(n+1) = (n^2 + 2n + 1) – (3n + 3) = n^2 – n – 2 \). 2. On calcule la différence : \( u_{n+1} – u_n = (n^2 – n – 2) – (n^2 – 3n) = n^2 – n – 2 – n^2 + 3n = 2n – 2 \). 3. On étudie le signe du résultat : \( 2n – 2 \geq 0 \) si \( 2n \geq 2 \), soit \( n \geq 1 \). Conclusion : La suite est décroissante pour n=0 (car \( 2(0)-2 = -2 < 0 \)) puis croissante à partir du rang 1.
Méthode 2 : Comparer le rapport à 1 (pour les suites à termes positifs)
Cette méthode est très efficace, mais uniquement pour les suites dont on sait que tous les termes sont strictement positifs. L’idée est de comparer \( u_{n+1} \) et \( u_n \) en étudiant leur rapport.
On calcule le rapport \( Q = \frac{u_{n+1}}{u_n} \). Ensuite :
- Si \( Q \geq 1 \) pour tout n, la suite est croissante.
- Si \( Q \leq 1 \) pour tout n, la suite est décroissante.
- Si \( Q = 1 \) pour tout n, la suite est constante.
Soit la suite \( u_n = \frac{3^n}{n+1} \) pour \( n \geq 1 \). Les termes sont bien positifs. 1. On exprime \( u_{n+1} \) : \( u_{n+1} = \frac{3^{n+1}}{n+2} \). 2. On calcule le rapport : \[ \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{\frac{3^{n+1}}{n+2}}{\frac{3^n}{n+1}} = \frac{3^{n+1}}{n+2} \times \frac{n+1}{3^n} = \frac{3 \cdot 3^n}{3^n} \times \frac{n+1}{n+2} = 3 \cdot \frac{n+1}{n+2} \] 3. On compare le résultat à 1 : Pour \( n \geq 1 \), on a \( n+1 < n+2 \), donc \( \frac{n+1}{n+2} < 1 \). Mais \( 3 \cdot \frac{n+1}{n+2} \) est-il plus grand que 1 ? \( 3(n+1) > n+2 \Leftrightarrow 3n+3 > n+2 \Leftrightarrow 2n > -1 \), ce qui est toujours vrai pour \( n \geq 1 \). Donc \( \frac{u_{n+1}}{u_n} > 1 \). Conclusion : La suite est strictement croissante.
Récapitulatif : Quelle méthode choisir ?
- Par défaut, toujours utiliser la différence \( u_{n+1} – u_n \). C’est la méthode la plus sûre et la plus universelle.
- Si la suite contient des puissances ou des factorielles, ET que vous êtes certain que ses termes sont strictement positifs, la méthode du rapport \( \frac{u_{n+1}}{u_n} \) est souvent plus simple.
- Ne jamais conclure à partir de quelques termes calculés. Une preuve doit être littérale et valable pour tout n.
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Pour aller plus loin
Maintenant que vous savez étudier le sens de variation, approfondissez d’autres aspects des suites.