Étiquette : sens de variation

Comment Étudier le Sens de Variation d'une Suite Numérique ? Maths · Suites Numériques Étudier le Sens de Variation d'une Suite Numérique Comment savoir si une suite est croissante, décroissante ou constante ? Découvrez les deux méthodes essentielles à maîtriser pour répondre à cette question. ⏱ Lecture : 5 min 📐 Niveau : Première ✦ Méthodes & Exemples Qu'est-ce que le sens de variation d'une suite ? Étudier le sens de variation d'une suite \( (u_n) \), c'est déterminer comment ses termes se comportent les uns par rapport aux autres lorsque l'indice n augmente. En d'autres termes, on cherche à savoir si la suite "monte", "descend" ou "stagne". Il y a trois cas possibles : Croissante : Chaque terme est plus grand ou égal au précédent ( \( u_{n+1} \geq u_n \) ). Décroissante : Chaque terme est plus petit ou égal au précédent ( \( u_{n+1} \leq u_n \) ). Constante : Tous les termes sont égaux ( \( u_{n+1} = u_n \) ). Pour le prouver, on ne peut pas se contenter de calculer les premiers termes. Il faut une méthode rigoureuse. Méthode 1 : Étudier le signe de la différence (la plus courante) C'est la méthode la plus universelle. Elle fonctionne pour toutes les suites. L'idée est de comparer \( u_{n+1} \) et \( u_n \) en étudiant le signe de leur différence. Principe de la méthode On calcule la différence \( D = u_{n+1} - u_n \). Ensuite : Si \( D \geq 0 \) pour tout n, la suite est croissante. Si \( D \leq 0 \) pour tout n, la suite est décroissante. Si \( D = 0 \) pour tout n, la suite est constante. Exemple Soit la suite \( u_n = n^2 - 3n \). 1. On exprime \( u_{n+1} \) : \( u_{n+1} = (n+1)^2 - 3(n+1) = (n^2 + 2n + 1) - (3n + 3) = n^2 - n - 2 \). 2. On calcule la différence : \( u_{n+1} - u_n = (n^2 - n - 2) - (n^2 - 3n) = n^2 - n - 2 - n^2 + 3n = 2n - 2 \). 3. On étudie le signe du résultat : \( 2n - 2 \geq 0 \) si \( 2n \geq 2 \), soit \( n \geq 1 \). Conclusion : La suite est décroissante pour n=0 (car \( 2(0)-2 = -2 0) On calcule le rapport \( Q = \frac{u_{n+1}}{u_n} \). Ensuite : Si \( Q \geq 1 \) pour tout n, la suite est croissante. Si \( Q \leq 1 \) pour tout n, la suite est décroissante. Si \( Q = 1 \) pour tout n, la suite est constante. Exemple Soit la suite \( u_n = \frac{3^n}{n+1} \) pour \( n \geq 1 \). Les termes sont bien positifs. 1. On exprime \( u_{n+1} \) : \( u_{n+1} = \frac{3^{n+1}}{n+2} \). 2. On calcule le rapport : \[ \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{\frac{3^{n+1}}{n+2}}{\frac{3^n}{n+1}} = \frac{3^{n+1}}{n+2} \times \frac{n+1}{3^n} = \frac{3 \cdot 3^n}{3^n} \times \frac{n+1}{n+2} = 3 \cdot \frac{n+1}{n+2} \] 3. On compare le résultat à 1 : Pour \( n \geq 1 \), on a \( n+1 n+2 \Leftrightarrow 3n+3 > n+2 \Leftrightarrow 2n > -1 \), ce qui est toujours vrai pour \( n \geq 1 \). Donc \( \frac{u_{n+1}}{u_n} > 1 \). Conclusion : La suite est strictement croissante. Récapitulatif : Quelle méthode choisir ? 1Par défaut, toujours utiliser la différence \( u_{n+1} - u_n \). C'est la méthode la plus sûre et la plus universelle. 2Si la suite contient des puissances ou des factorielles, ET que vous êtes certain que ses termes sont strictement positifs, la méthode du rapport \( \frac{u_{n+1}}{u_n} \) est souvent plus simple. !Ne jamais conclure à partir de quelques termes calculés. Une preuve doit être littérale et valable pour tout n. Prêt à maîtriser les suites ? Accède au cours complet avec exercices corrigés et fiches méthode. Voir le cours sur les suites → Pour aller plus loin Maintenant que vous savez étudier le sens de variation, approfondissez d'autres aspects des suites. ➕ Démontrer qu'une suite est arithmétique La méthode infaillible avec le calcul de la différence uₙ₊₁ - uₙ. ✖️ Démontrer qu'une suite est géométrique La méthode rigoureuse avec le calcul du rapport uₙ₊₁ / uₙ. uₙ=? Trouver le terme général d'une suite Comment passer de la formule de récurrence à la formule explicite. ⚗️ Les suites arithmético-géométriques L'astuce de la suite auxiliaire pour résoudre ce problème type bac.

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