Forces Électriques
et Magnétiques :
Cours Complet & Exercices
Force de Coulomb, champ électrique, force de Lorentz, force magnétique — tout comprendre sur les deux grandes forces électromagnétiques, leurs différences, et maîtriser l’étude complète d’un électron dans un champ électrique uniforme.
Partie 1 — La Force Électrique
1.1 — La loi de Coulomb
Deux charges électriques \( q_1 \) et \( q_2 \) séparées d’une distance \( r \) exercent l’une sur l’autre une force électrostatique appelée force de Coulomb. Elle est attractive si les charges sont de signes opposés, répulsive si elles sont de même signe.
\( q_1, q_2 \) — charges électriques (en coulombs, C)
\( r \) — distance entre les charges (en mètres, m)
\( F \) — intensité de la force (en newtons, N)
1.2 — Le champ électrique
Une charge électrique crée autour d’elle un champ électrique \( \vec{E} \). Ce champ agit sur toute autre charge placée en ce point. On définit le champ électrique en un point M comme la force électrique exercée sur une charge positive unitaire placée en M.
\( \vec{E} \) — champ électrique (en V/m ou N/C)
Si \( q > 0 \) : \( \vec{F}_E \) est dans le même sens que \( \vec{E} \)
Si \( q < 0 \) (électron) : \( \vec{F}_E \) est dans le sens opposé à \( \vec{E} \)
1.3 — Champ électrique uniforme entre deux plaques
Entre deux plaques conductrices parallèles séparées d’une distance \( d \) et soumises à une tension \( U \), le champ électrique est uniforme (même direction, même sens, même intensité en tout point) :
\( d \) — distance entre les plaques (en mètres, m)
\( E \) — intensité du champ (en V/m)
Le champ est dirigé de la plaque \( + \) vers la plaque \( – \).
Partie 2 — La Force Magnétique
2.1 — Le champ magnétique
Tout aimant ou courant électrique crée un champ magnétique \( \vec{B} \) dans l’espace environnant. Ce champ est mesuré en teslas (T). Contrairement au champ électrique, le champ magnétique n’exerce de force que sur des charges en mouvement.
2.2 — La force de Lorentz magnétique
Une charge \( q \) se déplaçant avec une vitesse \( \vec{v} \) dans un champ magnétique \( \vec{B} \) subit une force magnétique appelée force de Lorentz.
\( \vec{v} \) — vecteur vitesse de la particule (en m/s)
\( \vec{B} \) — champ magnétique (en teslas, T)
\( \times \) — produit vectoriel (la force est perpendiculaire à \( \vec{v} \) et à \( \vec{B} \))
Intensité : \( F_B = |q| \cdot v \cdot B \cdot \sin\theta \) où \( \theta \) est l’angle entre \( \vec{v} \) et \( \vec{B} \)
Pour une charge positive : pouce = \( \vec{v} \), index = \( \vec{B} \),
majeur = \( \vec{F}_B \).
Pour une charge négative (électron) : on inverse la direction de la force obtenue.
Partie 3 — La Force de Lorentz Totale
Lorsqu’une particule chargée est soumise simultanément à un champ électrique \( \vec{E} \) et à un champ magnétique \( \vec{B} \), elle subit la force de Lorentz totale, somme des deux contributions :
Partie 4 — Différences clés entre force électrique et magnétique
⚡ Force Électrique \( \vec{F}_E \)
- Agit sur toute charge, qu’elle soit au repos ou en mouvement
- Direction : parallèle à \( \vec{E} \)
- Peut accélérer la particule (travail non nul)
- Peut modifier la vitesse en norme
- Source : champ électrique \( \vec{E} \) (en V/m)
- Dépend de la charge \( q \) et de \( \vec{E} \)
🧲 Force Magnétique \( \vec{F}_B \)
- Agit uniquement sur les charges en mouvement
- Direction : perpendiculaire à \( \vec{v} \) et \( \vec{B} \)
- Travail nul : ne modifie pas l’énergie cinétique
- Modifie la direction mais pas la norme de \( \vec{v} \)
- Source : champ magnétique \( \vec{B} \) (en teslas, T)
- Dépend de \( q \), \( \vec{v} \) et \( \vec{B} \)
| Critère | Force électrique \( \vec{F}_E \) | Force magnétique \( \vec{F}_B \) |
|---|---|---|
| Formule | \( q\vec{E} \) | \( q\vec{v}\times\vec{B} \) |
| Condition | Charge au repos ou en mvt | Charge en mouvement seulement |
| Direction | Parallèle à \( \vec{E} \) | ⊥ à \( \vec{v} \) et à \( \vec{B} \) |
| Travail | Non nul → modifie \( E_c \) | Nul → ne modifie pas \( E_c \) |
| Trajectoire causée | Parabolique (si ⊥ au mvt) | Circulaire (si ⊥ au mvt) |
| Unité du champ | V/m ou N/C | Tesla (T) |
Partie 5 — Étude de cas : électron dans un champ électrique uniforme
C’est le cas de référence du bac. Un électron pénètre horizontalement entre deux plaques conductrices parallèles créant un champ électrique uniforme. C’est exactement le principe du canon à électrons et des anciens oscilloscopes à tube cathodique.
5.1 — Mise en place du problème
5.2 — La méthode complète en 6 étapes
Système et référentiel
Système : l’électron (masse \( m_e \), charge \( q = -e \)). Référentiel terrestre. Repère O à l’entrée des plaques, \( \vec{x} \) horizontal, \( \vec{y} \) vertical vers la plaque positive.
Bilan des forces
On néglige le poids devant la force électrique (valable si \( eE \gg m_e g \), ce qui est toujours le cas pour un électron). Seule la force électrique agit : \( \vec{F}_E = (-e)\vec{E} \).
Deuxième loi de Newton
\( \vec{F}_E = m_e \vec{a} \implies (-e)\vec{E} = m_e \vec{a} \implies \vec{a} = \dfrac{-e\vec{E}}{m_e} \)
Projection et composantes de l’accélération
Si \( \vec{E} \) est dirigé vers le bas (axe \( -\vec{y} \)) :
\( a_x = 0 \) (pas de force horizontale)
\( a_y = +\dfrac{eE}{m_e} \) (force vers le haut, sens \( +\vec{y} \))
Intégration → équations de vitesse
\( v_x(t) = v_0 \) (vitesse initiale horizontale, constante)
\( v_y(t) = \dfrac{eE}{m_e} \cdot t \) (nulle au départ)
Intégration → équations horaires
\( x(t) = v_0 t \)
\( y(t) = \dfrac{eE}{2m_e} t^2 \)
Masse de l’électron : \( m_e = 9{,}11 \times 10^{-31} \ \text{kg} \)
Charge : \( e = 1{,}6 \times 10^{-19} \ \text{C} \)
Même pour un champ \( E = 100 \ \text{V/m} \) très faible :
\( F_E = eE = 1{,}6 \times 10^{-17} \ \text{N} \) contre \( P = m_e g \approx 8{,}9 \times 10^{-30} \ \text{N} \)
Le rapport est \( F_E / P \approx 10^{12} \) — le poids est
mille milliards de fois plus faible que la force électrique.
On le néglige donc toujours.
Exercices Corrigés
Calcul du champ électrique et de la force
Niveau 1 — Formules directesDeux plaques parallèles sont séparées de \( d = 5 \ \text{cm} \) et soumises à une tension \( U = 400 \ \text{V} \).
1. Calculer le champ électrique \( E \).
2. Calculer la force exercée sur un électron entre ces plaques.
3. Calculer l’accélération de cet électron.
\( E = \dfrac{U}{d} = \dfrac{400}{0{,}05} = \mathbf{8000 \ \text{V/m}} \)
\( F_E = eE = 1{,}6\times10^{-19} \times 8000 = \mathbf{1{,}28\times10^{-15} \ \text{N}} \)
\( a = \dfrac{F_E}{m_e} = \dfrac{1{,}28\times10^{-15}}{9{,}11\times10^{-31}} \approx \mathbf{1{,}41\times10^{15} \ \text{m/s}^2} \)
Équations horaires complètes de l’électron
Niveau 2 — Démarche NewtonUn électron pénètre horizontalement entre deux plaques avec \( v_0 = 2{,}0\times10^7 \ \text{m/s} \). Les plaques sont longues de \( L = 6 \ \text{cm} \), séparées de \( d = 2 \ \text{cm} \), avec \( U = 600 \ \text{V} \).
1. Montrer que \( E = 3\times10^4 \ \text{V/m} \).
2. Écrire les équations horaires \( x(t) \) et \( y(t) \).
3. Calculer le temps de traversée \( t_L \).
4. Calculer la déviation verticale \( y_L \) à la sortie des plaques.
\( E = U/d = 600/0{,}02 = 3\times10^4 \ \text{V/m} \) ✓
Accélération : \( a = \dfrac{eE}{m_e} = \dfrac{1{,}6\times10^{-19}\times3\times10^4}{9{,}11\times10^{-31}} \approx 5{,}27\times10^{15} \ \text{m/s}^2 \) \[ x(t) = 2{,}0\times10^7 \cdot t \] \[ y(t) = \frac{1}{2} \times 5{,}27\times10^{15} \cdot t^2 = 2{,}63\times10^{15} \cdot t^2 \]
\( t_L = \dfrac{L}{v_0} = \dfrac{0{,}06}{2{,}0\times10^7} = 3{,}0\times10^{-9} \ \text{s} \)
\( y_L = 2{,}63\times10^{15} \times (3{,}0\times10^{-9})^2 = 2{,}63\times10^{15} \times 9\times10^{-18} \approx \mathbf{0{,}024 \ \text{m} = 2{,}4 \ \text{cm}} \)
Équation de la trajectoire et vitesse de sortie
Niveau 3 — Trajectoire & vitesseUn électron entre horizontalement avec \( v_0 = 4{,}0\times10^6 \ \text{m/s} \) entre deux plaques créant un champ \( E = 5\times10^3 \ \text{V/m} \).
1. Établir l’équation de la trajectoire \( y = f(x) \).
2. Calculer la vitesse de sortie \( \vec{v}_S \) après traversée sur une longueur \( L = 4 \ \text{cm} \).
3. Calculer l’angle \( \beta \) de déviation par rapport à l’horizontale.
\( a = \dfrac{eE}{m_e} = \dfrac{1{,}6\times10^{-19}\times5\times10^3}{9{,}11\times10^{-31}} \approx 8{,}78\times10^{14} \ \text{m/s}^2 \)
De \( x = v_0 t \) : \( t = \dfrac{x}{v_0} \)
\( y = \dfrac{a}{2}\left(\dfrac{x}{v_0}\right)^2 = \dfrac{8{,}78\times10^{14}}{2\times(4\times10^6)^2} x^2 \)
\( t_L = L/v_0 = 0{,}04/(4\times10^6) = 10^{-8} \ \text{s} \)
\( v_{xS} = v_0 = 4{,}0\times10^6 \ \text{m/s} \)
\( v_{yS} = a \cdot t_L = 8{,}78\times10^{14}\times10^{-8} \approx 8{,}78\times10^6 \ \text{m/s} \)
\( v_S = \sqrt{v_{xS}^2 + v_{yS}^2} = \sqrt{(4\times10^6)^2 + (8{,}78\times10^6)^2} \approx 9{,}64\times10^6 \ \text{m/s} \)
\( \tan\beta = \dfrac{v_{yS}}{v_{xS}} = \dfrac{8{,}78}{4{,}0} \approx 2{,}20 \implies \beta = \arctan(2{,}20) \approx 65{,}5° \)
Force de Lorentz magnétique — trajectoire circulaire
Niveau 3 — Force magnétiqueUn électron se déplace à \( v = 3{,}0\times10^6 \ \text{m/s} \) perpendiculairement à un champ magnétique uniforme \( B = 0{,}50 \ \text{T} \). On néglige le poids.
1. Calculer la force magnétique exercée sur l’électron.
2. Montrer que la trajectoire est circulaire.
3. Calculer le rayon de la trajectoire circulaire.
\( \vec{v} \perp \vec{B} \) donc \( \sin\theta = 1 \)
\( F_B = evB = 1{,}6\times10^{-19} \times 3{,}0\times10^6 \times 0{,}50 = \mathbf{2{,}4\times10^{-13} \ \text{N}} \)
La force magnétique est toujours perpendiculaire à \( \vec{v} \).
Elle ne fait pas de travail → la norme de \( \vec{v} \) reste constante.
Une force perpendiculaire à la vitesse, constante en norme, est une force centripète
→ le mouvement est circulaire uniforme. ✓
En appliquant Newton (force centripète = force magnétique) :
\( evB = \dfrac{m_e v^2}{R} \implies R = \dfrac{m_e v}{eB} \)
\( R = \dfrac{9{,}11\times10^{-31}\times3{,}0\times10^6}{1{,}6\times10^{-19}\times0{,}50} = \dfrac{2{,}73\times10^{-24}}{8\times10^{-20}} \approx \mathbf{3{,}4\times10^{-5} \ \text{m} = 34 \ \mu\text{m}} \)
Oscilloscope cathodique — Type Bac complet
Type Bac — Toutes les questionsDans un oscilloscope à tube cathodique, des électrons sont accélérés par une tension \( U_A = 3\,000 \ \text{V} \), puis pénètrent horizontalement entre deux plaques déflectrices de longueur \( L = 5{,}0 \ \text{cm} \), séparées de \( d = 2{,}0 \ \text{cm} \), soumises à une tension \( U = 150 \ \text{V} \). L’écran est situé à \( D = 20 \ \text{cm} \) du milieu des plaques.
1. Montrer que la vitesse d’entrée est \( v_0 = \sqrt{\dfrac{2eU_A}{m_e}} \).
Calculer \( v_0 \).
2. Écrire les équations horaires entre les plaques.
3. Calculer la déviation \( y_L \) à la sortie des plaques.
4. Calculer l’angle de sortie \( \beta \) par rapport à l’horizontale.
5. Calculer la déviation totale \( Y \) sur l’écran.
Vitesse d’entrée : le travail de la force électrique lors de l’accélération est égal à la variation d’énergie cinétique :
\( eU_A = \dfrac{1}{2}m_e v_0^2 \implies v_0 = \sqrt{\dfrac{2eU_A}{m_e}} \)
\( v_0 = \sqrt{\dfrac{2\times1{,}6\times10^{-19}\times3000}{9{,}11\times10^{-31}}} = \sqrt{\dfrac{9{,}6\times10^{-16}}{9{,}11\times10^{-31}}} \approx \sqrt{1{,}054\times10^{15}} \approx \mathbf{3{,}25\times10^7 \ \text{m/s}} \)
\( E = U/d = 150/0{,}02 = 7\,500 \ \text{V/m} \)
\( a = eE/m_e = (1{,}6\times10^{-19}\times7500)/(9{,}11\times10^{-31}) \approx 1{,}32\times10^{15} \ \text{m/s}^2 \)
\[ x(t) = 3{,}25\times10^7 \cdot t \]
\[ y(t) = 6{,}6\times10^{14} \cdot t^2 \]
\( t_L = L/v_0 = 0{,}05/(3{,}25\times10^7) = 1{,}54\times10^{-9} \ \text{s} \)
\( y_L = 6{,}6\times10^{14}\times(1{,}54\times10^{-9})^2 \approx \mathbf{1{,}56\times10^{-3} \ \text{m} \approx 1{,}6 \ \text{mm}} \)
\( v_{yL} = a \cdot t_L = 1{,}32\times10^{15}\times1{,}54\times10^{-9} \approx 2{,}03\times10^6 \ \text{m/s} \)
\( \tan\beta = v_{yL}/v_0 = 2{,}03\times10^6 / 3{,}25\times10^7 \approx 0{,}062 \implies \beta \approx \mathbf{3{,}6°} \)
Après les plaques, mouvement rectiligne uniforme à l’angle \( \beta \).
Déviation supplémentaire sur la distance \( D \) :
\( \Delta y = D \cdot \tan\beta = 0{,}20 \times 0{,}062 \approx 0{,}0124 \ \text{m} \)
Déviation totale : \( Y = y_L + \Delta y \approx 0{,}0016 + 0{,}0124 \approx \mathbf{0{,}014 \ \text{m} = 1{,}4 \ \text{cm}} \)
Les erreurs classiques à éviter
- Oublier le signe de la charge de l’électron : \( q = -e = -1{,}6\times10^{-19} \ \text{C} \). La force électrique sur l’électron est dans le sens opposé à \( \vec{E} \). Ne pas écrire \( \vec{F}_E = e\vec{E} \).
- Ne pas négliger le poids sans le justifier : au bac, il faut écrire la comparaison \( F_E \gg P \) et calculer le rapport. Un simple “on néglige le poids” sans justification coûte des points.
- Confondre force électrique et magnétique : la force magnétique ne travaille jamais — elle ne modifie pas la vitesse en norme, seulement en direction. Si tu calcules une variation d’énergie cinétique due à \( \vec{F}_B \), c’est faux.
- Oublier la déviation après les plaques : à la sortie des plaques, l’électron continue en ligne droite avec l’angle \( \beta \). La déviation totale sur l’écran est \( Y = y_L + D\tan\beta \), pas seulement \( y_L \).
- Mal orienter le repère : définir clairement où est le \( +\vec{y} \) (vers la plaque positive ou vers le bas). Le signe de \( a_y \) en dépend entièrement. Un mauvais signe fausse toutes les questions suivantes.
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