Étiquette : Champ Électrique

Forces Électriques et Magnétiques : Cours et Exercices Terminale Physique · Électromagnétisme · Terminale Forces Électriqueset Magnétiques :Cours Complet & Exercices Force de Coulomb, champ électrique, force de Lorentz, force magnétique — tout comprendre sur les deux grandes forces électromagnétiques, leurs différences, et maîtriser l'étude complète d'un électron dans un champ électrique uniforme. ⏱ Lecture : 18 min ⚡ Niveau : Terminale ✦ Cours + 5 Exercices Corrigés Partie 1 — La Force Électrique 1.1 — La loi de Coulomb Deux charges électriques \( q_1 \) et \( q_2 \) séparées d'une distance \( r \) exercent l'une sur l'autre une force électrostatique appelée force de Coulomb. Elle est attractive si les charges sont de signes opposés, répulsive si elles sont de même signe. Loi de Coulomb \[ F = k \cdot \frac{|q_1| \cdot |q_2|}{r^2} \] \( k = 9 \times 10^9 \ \text{N·m}^2\text{·C}^{-2} \) — constante de Coulomb \( q_1, q_2 \) — charges électriques (en coulombs, C) \( r \) — distance entre les charges (en mètres, m) \( F \) — intensité de la force (en newtons, N) 1.2 — Le champ électrique Une charge électrique crée autour d'elle un champ électrique \( \vec{E} \). Ce champ agit sur toute autre charge placée en ce point. On définit le champ électrique en un point M comme la force électrique exercée sur une charge positive unitaire placée en M. Force électrique sur une charge dans un champ \[ \vec{F}_E = q \cdot \vec{E} \] \( q \) — charge de la particule (positive ou négative, en C) \( \vec{E} \) — champ électrique (en V/m ou N/C) Si \( q > 0 \) : \( \vec{F}_E \) est dans le même sens que \( \vec{E} \) Si \( q < 0 \) (électron) : \( \vec{F}_E \) est dans le sens opposé à \( \vec{E} \) 1.3 — Champ électrique uniforme entre deux plaques Entre deux plaques conductrices parallèles séparées d'une distance \( d \) et soumises à une tension \( U \), le champ électrique est uniforme (même direction, même sens, même intensité en tout point) : Champ électrique uniforme entre deux plaques \[ E = \frac{U}{d} \] \( U \) — tension entre les plaques (en volts, V) \( d \) — distance entre les plaques (en mètres, m) \( E \) — intensité du champ (en V/m) Le champ est dirigé de la plaque \( + \) vers la plaque \( - \). + A (+) − B (−) E⃗ e⁻ F⃗_E d Champ électrique uniforme entre deux plaques — l'électron (charge négative) est repoussé vers la plaque positive, donc la force \( \vec{F}_E \) est dirigée vers le haut (sens opposé à \( \vec{E} \)). Partie 2 — La Force Magnétique 2.1 — Le champ magnétique Tout aimant ou courant électrique crée un champ magnétique \( \vec{B} \) dans l'espace environnant. Ce champ est mesuré en teslas (T). Contrairement au champ électrique, le champ magnétique n'exerce de force que sur des charges en mouvement. 2.2 — La force de Lorentz magnétique Une charge \( q \) se déplaçant avec une vitesse \( \vec{v} \) dans un champ magnétique \( \vec{B} \) subit une force magnétique appelée force de Lorentz. Force magnétique de Lorentz \[ \vec{F}_B = q \cdot \vec{v} \times \vec{B} \] \( q \) — charge de la particule (en C) \( \vec{v} \) — vecteur vitesse de la particule (en m/s) \( \vec{B} \) — champ magnétique (en teslas, T) \( \times \) — produit vectoriel (la force est perpendiculaire à \( \vec{v} \) et à \( \vec{B} \)) Intensité : \( F_B = |q| \cdot v \cdot B \cdot \sin\theta \) où \( \theta \) est l'angle entre \( \vec{v} \) et \( \vec{B} \) 🤚 Règle de la main droite (ou règle des trois doigts) Pour une charge positive : pouce = \( \vec{v} \), index = \( \vec{B} \), majeur = \( \vec{F}_B \). Pour une charge négative (électron) : on inverse la direction de la force obtenue. Partie 3 — La Force de Lorentz Totale Lorsqu'une particule chargée est soumise simultanément à un champ électrique \( \vec{E} \) et à un champ magnétique \( \vec{B} \), elle subit la force de Lorentz totale, somme des deux contributions : Force de Lorentz totale \[ \vec{F}_{\text{Lorentz}} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B}) \] \[ \vec{F}_{\text{Lorentz}} = \underbrace{q\vec{E}}_{\text{Force électrique}} + \underbrace{q\vec{v}\times\vec{B}}_{\text{Force magnétique}} \] C'est la force fondamentale de l'électromagnétisme classique. Elle gouverne le mouvement de toutes les particules chargées dans les champs électriques et magnétiques. Partie 4 — Différences clés entre force électrique et magnétique ⚡ Force Électrique \( \vec{F}_E \) Agit sur toute charge, qu'elle soit au repos ou en mouvement Direction : parallèle à \( \vec{E} \) Peut accélérer la particule (travail non nul) Peut modifier la vitesse en norme Source : champ électrique \( \vec{E} \) (en V/m) Dépend de la charge \( q \) et de \( \vec{E} \) 🧲 Force Magnétique \( \vec{F}_B \) Agit uniquement sur les charges en mouvement Direction : perpendiculaire à \( \vec{v} \) et \( \vec{B} \) Travail nul : ne modifie pas l'énergie cinétique Modifie la direction mais pas la norme de \( \vec{v} \) Source : champ magnétique \( \vec{B} \) (en teslas, T) Dépend de \( q \), \( \vec{v} \) et \( \vec{B} \) Critère Force électrique \( \vec{F}_E \) Force magnétique \( \vec{F}_B \) Formule \( q\vec{E} \) \( q\vec{v}\times\vec{B} \) Condition Charge au repos ou en mvt Charge en mouvement seulement Direction Parallèle à \( \vec{E} \) ⊥ à \( \vec{v} \) et à \( \vec{B} \) Travail Non nul → modifie \( E_c \) Nul → ne modifie pas \( E_c \) Trajectoire causée Parabolique (si ⊥ au mvt) Circulaire (si ⊥ au mvt) Unité du champ V/m ou N/C Tesla (T) Partie 5 — Étude de cas : électron dans un champ électrique uniforme C'est le cas de référence du bac. Un électron pénètre horizontalement entre deux plaques conductrices parallèles créant un champ électrique uniforme. C'est exactement le principe du canon à électrons et des anciens oscilloscopes à tube cathodique. 5.1 — Mise en place du problème A (+) B (−) e⁻ v₀ E⃗ F⃗_E O d L (longueur des plaques) Électron pénétrant horizontalement avec vitesse \( v_0 \) entre deux plaques — le champ \( \vec{E} \) est dirigé vers le bas (de + vers −), mais la force sur l'électron est vers la plaque positive (vers le haut). La trajectoire est une parabole. 5.2 — La méthode complète en 6 étapes 1 Système et référentiel Système : l'électron (masse \( m_e \), charge \( q = -e \)). Référentiel terrestre. Repère O à l'entrée des plaques, \( \vec{x} \) horizontal, \( \vec{y} \) vertical vers la plaque positive. 2 Bilan des forces On néglige le poids devant la force électrique (valable si \( eE \gg m_e g \), ce qui est toujours le cas pour un électron). Seule la force électrique agit : \( \vec{F}_E = (-e)\vec{E} \). 3 Deuxième loi de Newton \( \vec{F}_E = m_e \vec{a} \implies (-e)\vec{E} = m_e \vec{a} \implies \vec{a} = \dfrac{-e\vec{E}}{m_e} \) 4 Projection et composantes de l'accélération Si \( \vec{E} \) est dirigé vers le bas (axe \( -\vec{y} \)) : \( a_x = 0 \) (pas de force horizontale) \( a_y = +\dfrac{eE}{m_e} \) (force vers le haut, sens \( +\vec{y} \)) 5 Intégration → équations de vitesse \( v_x(t) = v_0 \) (vitesse initiale horizontale, constante) \( v_y(t) = \dfrac{eE}{m_e} \cdot t \) (nulle au départ) 6 Intégration → équations horaires \( x(t) = v_0 t \) \( y(t) = \dfrac{eE}{2m_e} t^2 \) Équations horaires de l'électron entre les plaques \[ \boxed{x(t) = v_0 \, t} \] \[ \boxed{y(t) = \frac{eE}{2m_e} \, t^2} \] En éliminant \( t = x/v_0 \), on obtient l'équation de la trajectoire : \[ y = \frac{eE}{2m_e v_0^2} \cdot x^2 \] C'est une parabole d'axe vertical — identique au mouvement d'un projectile ! ⚖️ Pourquoi on néglige le poids de l'électron ? Masse de l'électron : \( m_e = 9{,}11 \times 10^{-31} \ \text{kg} \) Charge : \( e = 1{,}6 \times 10^{-19} \ \text{C} \) Même pour un champ \( E = 100 \ \text{V/m} \) très faible : \( F_E = eE = 1{,}6 \times 10^{-17} \ \text{N} \) contre \( P = m_e g \approx 8{,}9 \times 10^{-30} \ \text{N} \) Le rapport est \( F_E / P \approx 10^{12} \) — le poids est mille milliards de fois plus faible que la force électrique. On le néglige donc toujours. Exercices Corrigés Vert — Niveau 1 Bleu — Niveau 2 Violet — Niveau 3 Rouge — Type Bac 1 Calcul du champ électrique et de la force Niveau 1 — Formules directes 📋 Énoncé Deux plaques parallèles sont séparées de \( d = 5 \ \text{cm} \) et soumises à une tension \( U = 400 \ \text{V} \). 1. Calculer le champ électrique \( E \). 2. Calculer la force exercée sur un électron entre ces plaques. 3. Calculer l'accélération de cet électron. Données U = 400 V | d = 5 cm = 0,05 m | e = 1,6×10⁻¹⁹ C | mₑ = 9,11×10⁻³¹ kg 📖 Voir le corrigé ▼ 1 \( E = \dfrac{U}{d} = \dfrac{400}{0{,}05} = \mathbf{8000 \ \text{V/m}} \) 2 \( F_E = eE = 1{,}6\times10^{-19} \times 8000 = \mathbf{1{,}28\times10^{-15} \ \text{N}} \) 3 \( a = \dfrac{F_E}{m_e} = \dfrac{1{,}28\times10^{-15}}{9{,}11\times10^{-31}} \approx \mathbf{1{,}41\times10^{15} \ \text{m/s}^2} \) Résultats \( E = 8\,000 \ \text{V/m} \quad F_E = 1{,}28\times10^{-15} \ \text{N} \quad a \approx 1{,}41\times10^{15} \ \text{m/s}^2 \) L'accélération est colossale — c'est pourquoi l'électron atteint des vitesses énormes en très peu de temps. 2 Équations horaires complètes de l'électron Niveau 2 — Démarche Newton 📋 Énoncé Un électron pénètre horizontalement entre deux plaques avec \( v_0 = 2{,}0\times10^7 \ \text{m/s} \). Les plaques sont longues de \( L = 6 \ \text{cm} \), séparées de \( d = 2 \ \text{cm} \), avec \( U = 600 \ \text{V} \). 1. Montrer que \( E = 3\times10^4 \ \text{V/m} \). 2. Écrire les équations horaires \( x(t) \) et \( y(t) \). 3. Calculer le temps de traversée \( t_L \). 4. Calculer la déviation verticale \( y_L \) à la sortie des plaques. Données v₀ = 2,0×10⁷ m/s | L = 6 cm = 0,06 m | d = 2 cm = 0,02 m | U = 600 V 📖 Voir le corrigé ▼ 1 \( E = U/d = 600/0{,}02 = 3\times10^4 \ \text{V/m} \) ✓ 2 Accélération : \( a = \dfrac{eE}{m_e} = \dfrac{1{,}6\times10^{-19}\times3\times10^4}{9{,}11\times10^{-31}} \approx 5{,}27\times10^{15} \ \text{m/s}^2 \) \[ x(t) = 2{,}0\times10^7 \cdot t \] \[ y(t) = \frac{1}{2} \times 5{,}27\times10^{15} \cdot t^2 = 2{,}63\times10^{15} \cdot t^2 \] 3 \( t_L = \dfrac{L}{v_0} = \dfrac{0{,}06}{2{,}0\times10^7} = 3{,}0\times10^{-9} \ \text{s} \) 4 \( y_L = 2{,}63\times10^{15} \times (3{,}0\times10^{-9})^2 = 2{,}63\times10^{15} \times 9\times10^{-18} \approx \mathbf{0{,}024 \ \text{m} = 2{,}4 \ \text{cm}} \) Résultats \( t_L = 3{,}0\times10^{-9} \ \text{s} \quad y_L \approx 2{,}4 \ \text{cm} \) Attention : \( y_L = 2{,}4 \ \text{cm} = d \). L'électron frôle la plaque opposée en sortant ! En pratique, \( y_L \) doit être inférieur à \( d/2 \) pour que l'électron ne percute pas la plaque. 3 Équation de la trajectoire et vitesse de sortie Niveau 3 — Trajectoire & vitesse 📋 Énoncé Un électron entre horizontalement avec \( v_0 = 4{,}0\times10^6 \ \text{m/s} \) entre deux plaques créant un champ \( E = 5\times10^3 \ \text{V/m} \). 1. Établir l'équation de la trajectoire \( y = f(x) \). 2. Calculer la vitesse de sortie \( \vec{v}_S \) après traversée sur une longueur \( L = 4 \ \text{cm} \). 3. Calculer l'angle \( \beta \) de déviation par rapport à l'horizontale. Données v₀ = 4,0×10⁶ m/s | E = 5×10³ V/m | L = 4 cm = 0,04 m 📖 Voir le corrigé ▼ 1 \( a = \dfrac{eE}{m_e} = \dfrac{1{,}6\times10^{-19}\times5\times10^3}{9{,}11\times10^{-31}} \approx 8{,}78\times10^{14} \ \text{m/s}^2 \) De \( x = v_0 t \) : \( t = \dfrac{x}{v_0} \) \( y = \dfrac{a}{2}\left(\dfrac{x}{v_0}\right)^2 = \dfrac{8{,}78\times10^{14}}{2\times(4\times10^6)^2} x^2 \) 2 \( t_L = L/v_0 = 0{,}04/(4\times10^6) = 10^{-8} \ \text{s} \) \( v_{xS} = v_0 = 4{,}0\times10^6 \ \text{m/s} \) \( v_{yS} = a \cdot t_L = 8{,}78\times10^{14}\times10^{-8} \approx 8{,}78\times10^6 \ \text{m/s} \) \( v_S = \sqrt{v_{xS}^2 + v_{yS}^2} = \sqrt{(4\times10^6)^2 + (8{,}78\times10^6)^2} \approx 9{,}64\times10^6 \ \text{m/s} \) 3 \( \tan\beta = \dfrac{v_{yS}}{v_{xS}} = \dfrac{8{,}78}{4{,}0} \approx 2{,}20 \implies \beta = \arctan(2{,}20) \approx 65{,}5° \) Résultats \( v_S \approx 9{,}64\times10^6 \ \text{m/s} \quad \beta \approx 65{,}5° \) 4 Force de Lorentz magnétique — trajectoire circulaire Niveau 3 — Force magnétique 📋 Énoncé Un électron se déplace à \( v = 3{,}0\times10^6 \ \text{m/s} \) perpendiculairement à un champ magnétique uniforme \( B = 0{,}50 \ \text{T} \). On néglige le poids. 1. Calculer la force magnétique exercée sur l'électron. 2. Montrer que la trajectoire est circulaire. 3. Calculer le rayon de la trajectoire circulaire. Données v = 3,0×10⁶ m/s | B = 0,50 T | e = 1,6×10⁻¹⁹ C | mₑ = 9,11×10⁻³¹ kg 📖 Voir le corrigé ▼ 1 \( \vec{v} \perp \vec{B} \) donc \( \sin\theta = 1 \) \( F_B = evB = 1{,}6\times10^{-19} \times 3{,}0\times10^6 \times 0{,}50 = \mathbf{2{,}4\times10^{-13} \ \text{N}} \) 2 La force magnétique est toujours perpendiculaire à \( \vec{v} \). Elle ne fait pas de travail → la norme de \( \vec{v} \) reste constante. Une force perpendiculaire à la vitesse, constante en norme, est une force centripète → le mouvement est circulaire uniforme. ✓ 3 En appliquant Newton (force centripète = force magnétique) : \( evB = \dfrac{m_e v^2}{R} \implies R = \dfrac{m_e v}{eB} \) \( R = \dfrac{9{,}11\times10^{-31}\times3{,}0\times10^6}{1{,}6\times10^{-19}\times0{,}50} = \dfrac{2{,}73\times10^{-24}}{8\times10^{-20}} \approx \mathbf{3{,}4\times10^{-5} \ \text{m} = 34 \ \mu\text{m}} \) Résultats \( F_B = 2{,}4\times10^{-13} \ \text{N} \quad R \approx 34 \ \mu\text{m} \) Formule du rayon à retenir : \( R = \dfrac{m_e v}{eB} \) — plus le champ B est fort, plus le rayon est petit. 5 Oscilloscope cathodique — Type Bac complet Type Bac — Toutes les questions 📋 Énoncé Type Bac Dans un oscilloscope à tube cathodique, des électrons sont accélérés par une tension \( U_A = 3\,000 \ \text{V} \), puis pénètrent horizontalement entre deux plaques déflectrices de longueur \( L = 5{,}0 \ \text{cm} \), séparées de \( d = 2{,}0 \ \text{cm} \), soumises à une tension \( U = 150 \ \text{V} \). L'écran est situé à \( D = 20 \ \text{cm} \) du milieu des plaques. 1. Montrer que la vitesse d'entrée est \( v_0 = \sqrt{\dfrac{2eU_A}{m_e}} \). Calculer \( v_0 \). 2. Écrire les équations horaires entre les plaques. 3. Calculer la déviation \( y_L \) à la sortie des plaques. 4. Calculer l'angle de sortie \( \beta \) par rapport à l'horizontale. 5. Calculer la déviation totale \( Y \) sur l'écran. Données UA = 3 000 V | L = 5,0 cm | d = 2,0 cm | U = 150 V | D = 20 cm | e = 1,6×10⁻¹⁹ C | mₑ = 9,11×10⁻³¹ kg 📖 Voir le corrigé type bac ▼ 1 Vitesse d'entrée : le travail de la force électrique lors de l'accélération est égal à la variation d'énergie cinétique : \( eU_A = \dfrac{1}{2}m_e v_0^2 \implies v_0 = \sqrt{\dfrac{2eU_A}{m_e}} \) \( v_0 = \sqrt{\dfrac{2\times1{,}6\times10^{-19}\times3000}{9{,}11\times10^{-31}}} = \sqrt{\dfrac{9{,}6\times10^{-16}}{9{,}11\times10^{-31}}} \approx \sqrt{1{,}054\times10^{15}} \approx \mathbf{3{,}25\times10^7 \ \text{m/s}} \) 2 \( E = U/d = 150/0{,}02 = 7\,500 \ \text{V/m} \) \( a = eE/m_e = (1{,}6\times10^{-19}\times7500)/(9{,}11\times10^{-31}) \approx 1{,}32\times10^{15} \ \text{m/s}^2 \) \[ x(t) = 3{,}25\times10^7 \cdot t \] \[ y(t) = 6{,}6\times10^{14} \cdot t^2 \] 3 \( t_L = L/v_0 = 0{,}05/(3{,}25\times10^7) = 1{,}54\times10^{-9} \ \text{s} \) \( y_L = 6{,}6\times10^{14}\times(1{,}54\times10^{-9})^2 \approx \mathbf{1{,}56\times10^{-3} \ \text{m} \approx 1{,}6 \ \text{mm}} \) 4 \( v_{yL} = a \cdot t_L = 1{,}32\times10^{15}\times1{,}54\times10^{-9} \approx 2{,}03\times10^6 \ \text{m/s} \) \( \tan\beta = v_{yL}/v_0 = 2{,}03\times10^6 / 3{,}25\times10^7 \approx 0{,}062 \implies \beta \approx \mathbf{3{,}6°} \) 5 Après les plaques, mouvement rectiligne uniforme à l'angle \( \beta \). Déviation supplémentaire sur la distance \( D \) : \( \Delta y = D \cdot \tan\beta = 0{,}20 \times 0{,}062 \approx 0{,}0124 \ \text{m} \) Déviation totale : \( Y = y_L + \Delta y \approx 0{,}0016 + 0{,}0124 \approx \mathbf{0{,}014 \ \text{m} = 1{,}4 \ \text{cm}} \) Résultats Type Bac \( v_0 \approx 3{,}25\times10^7 \ \text{m/s} \quad y_L \approx 1{,}6 \ \text{mm} \quad \beta \approx 3{,}6° \quad Y \approx 1{,}4 \ \text{cm} \) Les erreurs classiques à éviter ✕ Oublier le signe de la charge de l'électron : \( q = -e = -1{,}6\times10^{-19} \ \text{C} \). La force électrique sur l'électron est dans le sens opposé à \( \vec{E} \). Ne pas écrire \( \vec{F}_E = e\vec{E} \). ✕ Ne pas négliger le poids sans le justifier : au bac, il faut écrire la comparaison \( F_E \gg P \) et calculer le rapport. Un simple "on néglige le poids" sans justification coûte des points. ✕ Confondre force électrique et magnétique : la force magnétique ne travaille jamais — elle ne modifie pas la vitesse en norme, seulement en direction. Si tu calcules une variation d'énergie cinétique due à \( \vec{F}_B \), c'est faux. ✕ Oublier la déviation après les plaques : à la sortie des plaques, l'électron continue en ligne droite avec l'angle \( \beta \). La déviation totale sur l'écran est \( Y = y_L + D\tan\beta \), pas seulement \( y_L \). ✕ Mal orienter le repère : définir clairement où est le \( +\vec{y} \) (vers la plaque positive ou vers le bas). Le signe de \( a_y \) en dépend entièrement. Un mauvais signe fausse toutes les questions suivantes. Tout maîtriser en physique Terminale ? Cours complets, exercices corrigés, fiches méthode et annales du bac. Voir les cours → Pour aller plus loin Ces articles complètent ta maîtrise de la mécanique et de l'électromagnétisme en Terminale. 🚀 Équations Horaires d'un Projectile La même démarche Newton — le mouvement de l'électron dans un champ E est identique à un tir parabolique. ⚙️ Les Lois de Newton Maîtriser les trois lois pour ne jamais hésiter sur l'application de \( \sum\vec{F} = m\vec{a} \). 🛰 Mise en Orbite d'un Satellite Newton appliqué au mouvement circulaire — la force magnétique crée la même trajectoire. ∫ Calcul Infinitésimal Maîtriser l'intégration pour ne jamais bloquer à l'étape des équations horaires.

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