La Physique Derrière la Forme Spirale des Galaxies

La Physique Derrière la Forme Spirale des Galaxies | FreeCourse
Astrophysique · Mécanique Céleste · Terminale / Licence

La Physique Derrière
la Forme Spirale
des Galaxies

Pourquoi les galaxies forment-elles des bras spiraux ? Ce n’est pas parce que les étoiles « tournent ensemble » — c’est bien plus subtil. Les bras spiraux sont des ondes de densité, comme des embouteillages dans l’espace. Rotation différentielle, théorie de Lin-Shu, matière noire, instabilité de Jeans — le cours complet avec calculs et 5 exercices corrigés.

⏱ Lecture : 20 min 🌌 Niveau : Terminale / Licence ✦ Cours + 5 Exercices Corrigés

Partie 1 — La ménagerie des galaxies

1.1 — Classification de Hubble

En 1926, Edwin Hubble classe les galaxies selon leur morphologie apparente en une séquence de Hubble — souvent représentée en forme de diapason. Les galaxies spirales, qui nous occupent ici, représentent environ 60 % des galaxies brillantes de l’univers local.

⬭
Elliptiques (E0–E7)

Sphéroïdes à ellipticité variable. Peu de gaz froid, peu de formation stellaire. Vieilles étoiles rouges. Ex : M87.

🌀
Spirales (Sa–Sd, SBa–SBd)

Disque mince avec bras spiraux, bulbe central, halo. Gaz, poussière, formation stellaire active. Ex : Voie Lactée, M31, M51.

◆
Irrégulières (Irr)

Pas de structure définie. Souvent résultat d’une interaction gravitationnelle récente. Ex : Grand Nuage de Magellan.

1.2 — Anatomie d’une galaxie spirale

Une galaxie spirale comme la Voie Lactée se compose de plusieurs composantes imbriquées, chacune avec des propriétés physiques distinctes :

Halo de matière noire Bulbe ☀ (≈27 kpc) Bras spiraux (ondes de densité) ● Régions H II (nurseries stellaires) Voie Lactée — vue schématique (rayon disque ~15 kpc, halo ~100 kpc)
Structure schématique d’une galaxie spirale barrée comme la Voie Lactée — le disque mince (bleu) porte les bras spiraux avec leurs régions de formation stellaire (orange). Le bulbe (or) concentre les vieilles étoiles. Le halo de matière noire (violet, tirets) enveloppe l’ensemble, invisible mais dominant la masse totale.

Partie 2 — Le paradoxe de l’enroulement

2.1 — La rotation différentielle : pourquoi les bras disparaissent en théorie

La première intuition sur les bras spiraux serait que les étoiles qui les composent tournent toutes ensemble autour du centre galactique, maintenant ainsi la forme spirale. Cette idée est fausse — et la démonstration est simple.

Les mesures spectroscopiques (effet Doppler) révèlent que les galaxies spirales ne tournent pas comme un corps rigide : les étoiles à différentes distances du centre ont des vitesses angulaires différentes. C’est la rotation différentielle.

Rotation différentielle — vitesse angulaire vs rayon
\[ \Omega(R) = \frac{v_c(R)}{R} \neq \text{constante} \] \[ \text{Pour une galaxie spirale typique :} \quad v_c(R) \approx \text{constante} \approx 220 \ \text{km/s (Voie Lactée)} \implies \Omega(R) \propto \frac{1}{R} \]
\( \Omega(R) \) — vitesse angulaire à la distance \( R \) du centre galactique (rad/s)
\( v_c(R) \) — courbe de rotation (vitesse circulaire mesurée)
\( R \) — distance galactocentrique (en parsecs ou kpc)

Les étoiles proches du centre tournent plus vite (en angle/temps) que celles à grande distance. Si les bras spiraux étaient des structures matérielles (étoiles fixes dans le bras), ils s’enrouleraient de plus en plus en quelques rotations galactiques.

Le Soleil met ~225 millions d’années pour faire un tour (période galactique). En ~10 milliards d’années de vie de la Galaxie : ~44 tours → les bras auraient été enroulés ~44 fois → impossible à observer !
t = 0 — bras radial initial Après 1 rotation → bras enroulé ≫ Enroulement total en ~2 milliards d’années Impossible si les bras sont matériels !
Le paradoxe de l’enroulement — si les bras spiraux étaient des structures matérielles (les mêmes étoiles), la rotation différentielle les enroulerait totalement en quelques milliards d’années. Or les galaxies spirales ont ~10 milliards d’années et conservent leurs bras ouverts. Les bras ne sont donc pas des structures matérielles.
💡 La solution : les bras ne sont pas des structures matérielles

Les bras spiraux ne sont pas des groupes d’étoiles qui restent ensemble. Ce sont des ondes de densité — des zones où la densité de matière est temporairement plus élevée, comme des embouteillages sur une autoroute. Les étoiles entrent dans le bras, ralentissent, puis en ressortent. Le bras reste en place pendant que les étoiles le traversent. C’est la théorie de Lin et Shu (1964), la percée majeure dans la compréhension des galaxies spirales.

Partie 3 — La théorie des ondes de densité de Lin et Shu (1964)

3.1 — Les bras comme ondes quasi-stationnaires

Chia-Chiao Lin et Frank Shu proposent en 1964 que les bras spiraux sont des ondes de densité quasi-stationnaires dans le disque galactique. Ces ondes ont leur propre vitesse de pattern \( \Omega_p \) — différente de la vitesse de rotation des étoiles \( \Omega(R) \).

Théorie de Lin-Shu — onde de densité spirale
\[ \Sigma(R, \phi, t) = \Sigma_0(R) + \Sigma_1(R)\cos\!\left[m(\phi – \Omega_p t) – f(R)\right] \]
\( \Sigma(R,\phi,t) \) — densité surfacique du disque (étoiles + gaz) en kg/m²
\( \Sigma_0(R) \) — profil axisymétrique moyen
\( \Sigma_1(R) \) — amplitude de la perturbation spirale
\( m \) — nombre de bras (m=2 pour la plupart des galaxies spirales à deux bras)
\( \Omega_p \) — vitesse de rotation du pattern spiral (rad/s) — constante sur tout le disque !
\( f(R) \) — fonction de phase radiale, décrit le “serrage” de la spirale

Clé : \( \Omega_p \) est différent de \( \Omega(R) \). À une distance \( R_{\text{co}} \) appelée rayon de corotation, les étoiles ont exactement la même vitesse que le bras : \( \Omega(R_{\text{co}}) = \Omega_p \).

3.2 — L’analogie de l’embouteillage

Imaginez une autoroute (le disque galactique) avec une zone de ralentissement due à des travaux (le bras spiral). Les voitures (étoiles) arrivent, ralentissent dans la zone dense, puis repartent. La zone de travaux reste en place — c’est l’onde de densité — même si aucune voiture particulière ne reste dedans.

Dans les bras spiraux, la densité accrue de gaz déclenche une formation stellaire active. Les étoiles jeunes et massives (bleues, chaudes) illuminent le bras peu après y être nées — c’est pourquoi les bras spiraux paraissent bleus et brillants, parsemés de régions HII rougeâtres (nébuleuses ionisées).

Bras spiral (onde de densité) Étoiles vieilles → entrent dans le bras Gaz comprimé → effondrement ● Région H II (naissance étoiles) Étoiles jeunes et bleues → sortent du bras Ω_p · R — vitesse du pattern spiral (constante)
L’onde de densité en action — les étoiles vieilles (orange) et le gaz entrent dans le bras, le gaz est comprimé et forme de nouvelles étoiles massives (régions HII, rouge). Ces étoiles bleues jeunes sortent de l’autre côté. Le bras lui-même se déplace à la vitesse de pattern Ω_p, différente de celle des étoiles.

Partie 4 — L’instabilité de Jeans et la formation des étoiles dans les bras

4.1 — Pourquoi le gaz s’effondre dans les bras spiraux

Lorsque le gaz entre dans un bras spiral et se comprime, sa densité augmente. À partir d’une certaine densité (ou d’une certaine masse), la gravité l’emporte sur la pression thermique et le gaz s’effondre — c’est l’instabilité de Jeans, découverte par Sir James Jeans en 1902.

Critère d’instabilité de Jeans — longueur et masse critiques
\[ \lambda_J = c_s\sqrt{\frac{\pi}{G\rho}} \qquad M_J = \frac{4}{3}\pi\rho\left(\frac{\lambda_J}{2}\right)^3 = \frac{\pi^{5/2}c_s^3}{6G^{3/2}\rho^{1/2}} \]
\( \lambda_J \) — longueur de Jeans : si la taille du nuage \( L > \lambda_J \), il s’effondre
\( M_J \) — masse de Jeans : si la masse du nuage \( M > M_J \), il s’effondre
\( c_s = \sqrt{\gamma k_BT/(\mu m_H)} \) — vitesse du son dans le gaz (en m/s)
\( \rho \) — densité volumique du gaz (en kg/m³)
\( G = 6{,}674\times10^{-11} \ \text{N·m}^2/\text{kg}^2 \) — constante gravitationnelle

Physique : le temps de chute libre \( t_{\text{ff}} = \sqrt{3\pi/(32G\rho)} \) doit être plus court que le temps de traversée acoustique \( t_{\text{son}} = \lambda/c_s \) pour que l’effondrement se produise.
🔢 Ordres de grandeur — nuage moléculaire géant

Dans un bras spiral, les nuages moléculaires géants ont typiquement :
\( T \sim 10 \ \text{K} \), \( \rho \sim 10^{-18} \ \text{kg/m}^3 \), \( c_s \approx 200 \ \text{m/s} \)
\( \lambda_J = 200\sqrt{\pi/(6{,}674\times10^{-11}\times10^{-18})} \approx \mathbf{6{,}5 \ \text{pc}} \)
\( M_J \approx \mathbf{10^4 \ M_\odot} \) — une seule amas d’étoiles
Dans les conditions d’un bras, la densité peut être 10 fois plus élevée → \( M_J \) divisé par \( \sqrt{10} \approx 3 \) → formation d’étoiles déclenchée.

Partie 5 — Matière noire : la preuve cachée dans les courbes de rotation

5.1 — Le problème des courbes de rotation plates

Si toute la masse d’une galaxie était concentrée dans son disque visible, la vitesse orbitale des étoiles et du gaz devrait décroître au-delà du bulbe, comme les planètes dans le système solaire (loi de Képler). Or les observations révèlent quelque chose de radicalement différent.

Vitesse orbitale — prédiction képlérienne vs observation
\[ v_{\text{Kepler}}(R) = \sqrt{\frac{GM( \( M( Pour que \( v = \text{constante} \), il faut \( M(
C’est la preuve directe de la matière noire (dark matter) : un halo massif invisible entourant le disque galactique. Pour la Voie Lactée : masse visible \( \sim 6\times10^{10} M_\odot \), masse totale (avec halo DM) \( \sim 10^{12} M_\odot \) — la matière noire représente ~95 % de la masse totale.
R (kpc) v_c (km/s) 0 220 0 5 10 15 20 v ∝ 1/√R (masse visible seule) v ≈ 220 km/s (plate) (observée) Bulbe + disque Halo matière noire ☀ 8 kpc La courbe plate prouve la présence d’un halo de matière noire invisible
Courbe de rotation de la Voie Lactée — la courbe képlérienne (rouge, tirets) prédit une décroissance en 1/√R. La courbe observée (bleu) reste plate jusqu’à ~20 kpc. La décomposition montre que le halo de matière noire (violet) compense exactement la chute attendue — sa masse croît linéairement avec R.
🔭 La matière noire et les spirales — un lien profond

La matière noire n’est pas juste un “correctif” aux courbes de rotation — elle joue un rôle central dans la formation et la stabilité des galaxies spirales :
1. Stabilité du disque : sans le halo de matière noire, les disques galactiques seraient instables et se fragmenteraient rapidement. Le halo “ancre” gravitationnellement le disque.
2. Formation des spirales : les simulations N-corps montrent que les bras spiraux se forment naturellement dans les halos de matière noire, même sans perturbation externe.
3. Vitesse de pattern : la valeur de \( \Omega_p \) dépend de la distribution de masse totale — disque + halo de matière noire combinés.

Partie 6 — Le critère de Toomre : quand un disque est-il stable ?

6.1 — La stabilité gravitationnelle d’un disque galactique

Pour qu’un disque galactique puisse développer des bras spiraux (instabilité gravitationnelle) tout en ne se fragmentant pas entièrement, il doit se trouver dans un régime de stabilité intermédiaire. Alar Toomre (1964) dérive le critère de stabilité du disque.

Paramètre de Toomre — stabilité du disque galactique
\[ Q = \frac{\kappa\,c_s}{\pi G\Sigma} \quad \text{(gaz)} \qquad Q = \frac{\kappa\,\sigma_R}{3{,}36\,G\Sigma} \quad \text{(étoiles)} \]
\( Q < 1 \) — disque instable : effondrement gravitationnel, formation stellaire intense
\( Q = 1 \) — marginalement stable : condition typique dans les bras spiraux
\( Q > 1 \) — disque stable : pas de formation stellaire spontanée

\( \kappa \) — fréquence épicyclique : \( \kappa = \sqrt{2}\,\Omega\sqrt{1 + \dfrac{d\ln\Omega}{d\ln R}} \)
\( c_s \) — vitesse du son dans le gaz interstellaire
\( \sigma_R \) — dispersion de vitesse radiale des étoiles
\( \Sigma \) — densité surfacique (gaz ou étoiles, en kg/m²)

La Voie Lactée est dans un état \( Q \approx 1 \) dans la plupart de son disque — marginalement stable, ce qui permet les bras spiraux sans effondrement total.

Partie 7 — Les différents mécanismes selon les galaxies

Type de spiraleMécanisme principalExempleCaractéristique
Spirale Grand DesignOnde de densité quasi-stationnaire (Lin-Shu)M51 (Tourbillon), M81Bras réguliers, symétriques, étendus
Spirale FloculenteInstabilités locales du disque (Q ≈ 1)M33, NGC 2841Bras courts, fragmentés, irréguliers
Spirale Barrée (SB)Résonance barre + onde de densitéVoie Lactée, NGC 1300Barre centrale + bras enroulés aux extrémités
Spirale de MaréePerturbation gravitationnelle d’une galaxie procheM51 + NGC 5195Bras asymétrique, souvent un seul
Spirale AnneléeRésonance entre Ω_p et Ω(R)NGC 4736Anneaux aux rayons de résonance

Exercices Corrigés

Vert — Niveau 1
Bleu — Niveau 2
Violet — Niveau 3
Rouge — Avancé
1

Période de rotation galactique — Soleil et loi de Képler

Niveau 1 — Mécanique céleste
📋 Énoncé

Le Soleil orbite autour du centre galactique à \( R_\odot = 8 \ \text{kpc} \) avec une vitesse circulaire \( v_c = 220 \ \text{km/s} \).

1. Calculer la période de révolution galactique du Soleil \( T_\odot \) (en années).
2. Calculer la vitesse angulaire \( \Omega_\odot \) (en rad/an et en km/s/kpc).
3. En supposant la courbe de rotation plate (\( v_c = 220 \ \text{km/s} \) partout), calculer \( \Omega(R) \) à \( R = 4 \ \text{kpc} \), \( 8 \ \text{kpc} \) et \( 16 \ \text{kpc} \). Comparer les vitesses angulaires.
4. Estimer la masse de la Galaxie contenue dans \( R < R_\odot \) par la troisième loi de Képler.

Données
R_☉ = 8 kpc = 2,47×10²⁰ m  |  v_c = 220 km/s = 2,2×10⁵ m/s  |  G = 6,674×10⁻¹¹ SI  |  M_☉ = 2×10³⁰ kg  |  1 pc = 3,086×10¹⁶ m
1

\( T_\odot = \dfrac{2\pi R_\odot}{v_c} = \dfrac{2\pi\times2{,}47\times10^{20}}{2{,}2\times10^5} = \dfrac{1{,}552\times10^{21}}{2{,}2\times10^5} \approx 7{,}05\times10^{15} \ \text{s} \)
En années : \( T_\odot = 7{,}05\times10^{15}/3{,}156\times10^7 \approx \mathbf{2{,}23\times10^8 \ \text{ans} \approx 223 \ \text{Myr}} \)

2

\( \Omega_\odot = 2\pi/T_\odot = 2\pi/(2{,}23\times10^8) \approx \mathbf{2{,}82\times10^{-8} \ \text{rad/an}} \)
En km/s/kpc : \( \Omega_\odot = v_c/R_\odot = 220/8 = \mathbf{27{,}5 \ \text{km/s/kpc}} \)

3

\( \Omega(R) = v_c/R = 220/R \) (en km/s/kpc)
\( R = 4 \ \text{kpc} \) : \( \Omega = 220/4 = \mathbf{55 \ \text{km/s/kpc}} \) — tourne 2× plus vite
\( R = 8 \ \text{kpc} \) : \( \Omega = 220/8 = \mathbf{27{,}5 \ \text{km/s/kpc}} \)
\( R = 16 \ \text{kpc} \) : \( \Omega = 220/16 = \mathbf{13{,}75 \ \text{km/s/kpc}} \) — tourne 2× moins vite
La rotation différentielle est nette : \( \Omega \propto 1/R \).

4

Équilibre centripète : \( \dfrac{mv_c^2}{R} = \dfrac{GM( \( M( En masses solaires : \( M = 1{,}79\times10^{41}/(2\times10^{30}) \approx \mathbf{9\times10^{10} \ M_\odot} \)

Résultats
\( T_\odot \approx 223 \ \text{Myr} \) — \( \Omega_\odot \approx 27{,}5 \ \text{km/s/kpc} \) — \( M(<8\,\text{kpc}) \approx 9\times10^{10}\,M_\odot \)
Depuis la formation du Soleil (~4,6 Gyr), il a effectué ~20 tours de la Galaxie. La Voie Lactée elle-même a ~13,5 Gyr, soit ~60 tours depuis le Big Bang.
2

Le paradoxe de l’enroulement — quantification

Niveau 2 — Rotation différentielle
📋 Énoncé

On considère deux étoiles initialement alignées dans un bras radial, à \( R_1 = 4 \ \text{kpc} \) et \( R_2 = 8 \ \text{kpc} \), avec \( v_c = 220 \ \text{km/s} \) (courbe plate).

1. Calculer les périodes \( T_1 \) et \( T_2 \) de chaque étoile.
2. Après \( t = T_1 \) (une période de l’étoile intérieure), de combien d’angle l’étoile extérieure a-t-elle avancé ?
3. Calculer le retard angulaire \( \Delta\phi \) entre les deux étoiles après \( n = 1, 5, 10 \) rotations de l’étoile intérieure.
4. En combien de temps le bras est-il “enroulé” de 360° (la structure spirale est indistinguable) ?

1

\( T = 2\pi R/v_c \) avec \( v_c = 220 \ \text{km/s} \)
\( T_1 = 2\pi\times4\times3{,}086\times10^{19}/(2{,}2\times10^5) \approx 3{,}52\times10^{15} \ \text{s} \approx \mathbf{111 \ \text{Myr}} \)
\( T_2 = 2\pi\times8\times3{,}086\times10^{19}/(2{,}2\times10^5) \approx 7{,}04\times10^{15} \ \text{s} \approx \mathbf{223 \ \text{Myr}} \)

2

Après \( t = T_1 = 111 \ \text{Myr} \) : l’étoile à \( R_1 \) a fait un tour complet (360°).
L’étoile à \( R_2 \) a avancé de : \( \phi_2 = 360° \times (T_1/T_2) = 360° \times (111/223) = 360° \times 0{,}5 = \mathbf{180°} \)
Retard angulaire après 1 rotation de R₁ : \( \Delta\phi = 360° – 180° = \mathbf{180°} \)

3

Après \( n \) rotations de \( R_1 \) (durée \( t = nT_1 \)) :
L’étoile \( R_2 \) a avancé de \( n \times (T_1/T_2)\times360° = n\times180° \)
Retard : \( \Delta\phi = n\times360° – n\times180° = n\times180° \)
\( n=1 \) : \( \Delta\phi = 180° \) — \( n=5 \) : \( \Delta\phi = 900° = 2{,}5 \ \text{tours} \) — \( n=10 \) : \( \Delta\phi = 1800° = 5 \ \text{tours} \)

4

Le bras est indistinguable quand \( \Delta\phi = 360° \) :
\( n\times180° = 360° \implies n = 2 \)
Durée : \( t = 2T_1 = 2\times111 = \mathbf{222 \ \text{Myr}} \)
Soit environ 1 rotation galactique du Soleil. Après ~2 Gyr (10 rotations intérieures), le bras aurait été enroulé 5 fois. Impossible sur l’âge de la Galaxie → preuve du paradoxe.

Résultats
\( T_1 \approx 111 \ \text{Myr} \), \( T_2 \approx 223 \ \text{Myr} \) — Bras enroulé de 360° en ~222 Myr — 5 enroulements en ~1,1 Gyr
3

Masse de Jeans — conditions de formation stellaire

Niveau 2 — Instabilité de Jeans
📋 Énoncé

On compare la formation stellaire dans un bras spiral (gaz comprimé) et dans le milieu interstellaire diffus.

1. Calculer la masse de Jeans \( M_J \) pour un nuage moléculaire dans un bras spiral (\( T = 15 \ \text{K} \), \( n_H = 500 \ \text{cm}^{-3} \), gaz H₂ : \( \mu = 2 \), \( \gamma = 5/3 \)).
2. Calculer \( M_J \) pour le milieu interstellaire diffus (\( T = 8000 \ \text{K} \), \( n_H = 1 \ \text{cm}^{-3} \)).
3. Calculer le temps de chute libre \( t_{\text{ff}} = \sqrt{3\pi/(32G\rho)} \) pour chaque cas. Comparer avec l’âge de l’univers.
4. Expliquer pourquoi la formation stellaire a lieu dans les bras spiraux et non dans le milieu diffus.

Données
G = 6,674×10⁻¹¹ SI  |  k_B = 1,381×10⁻²³ J/K  |  m_H = 1,67×10⁻²⁷ kg  |  M_☉ = 2×10³⁰ kg  |  1 cm⁻³ = 10⁶ m⁻³
1

Bras spiral : \( T=15 \ \text{K} \), \( n_H = 500 \ \text{cm}^{-3} = 5\times10^8 \ \text{m}^{-3} \), \( \mu=2 \) (H₂)
\( \rho = \mu m_H n_H = 2\times1{,}67\times10^{-27}\times5\times10^8 = 1{,}67\times10^{-18} \ \text{kg/m}^3 \)
\( c_s = \sqrt{\gamma k_BT/(\mu m_H)} = \sqrt{5/3\times1{,}381\times10^{-23}\times15/(2\times1{,}67\times10^{-27})} \approx \sqrt{4{,}12\times10^4} \approx 203 \ \text{m/s} \)
\( M_J = \dfrac{\pi^{5/2}c_s^3}{6G^{3/2}\rho^{1/2}} = \dfrac{17{,}46\times(203)^3}{6\times(6{,}674\times10^{-11})^{3/2}\times(1{,}67\times10^{-18})^{1/2}} \)
\( = \dfrac{17{,}46\times8{,}37\times10^6}{6\times1{,}72\times10^{-16}\times1{,}29\times10^{-9}} \approx \dfrac{1{,}46\times10^8}{1{,}33\times10^{-24}} \approx 1{,}10\times10^{32} \ \text{kg} \approx \mathbf{55 \ M_\odot} \)

2

MIS diffus : \( T=8000 \ \text{K} \), \( n_H = 1 \ \text{cm}^{-3} = 10^6 \ \text{m}^{-3} \), \( \mu \approx 1 \) (H atomique)
\( \rho = 1{,}67\times10^{-27}\times10^6 = 1{,}67\times10^{-21} \ \text{kg/m}^3 \)
\( c_s \approx \sqrt{k_BT/m_H} = \sqrt{1{,}381\times10^{-23}\times8000/1{,}67\times10^{-27}} \approx \sqrt{6{,}61\times10^7} \approx 8{,}13\times10^3 \ \text{m/s} \)
\( M_J \propto c_s^3/\rho^{1/2} \propto T^{3/2}/n^{1/2} \)
Rapport : \( M_J^{\text{diff}}/M_J^{\text{bras}} = (8000/15)^{3/2}/(1/500)^{1/2} = (533)^{3/2}\times\sqrt{500} \approx 12300\times22{,}4 \approx 2{,}76\times10^5 \)
\( M_J^{\text{diff}} \approx 55\times2{,}76\times10^5 \approx \mathbf{1{,}5\times10^7 \ M_\odot} \)

3

\( t_{\text{ff}} = \sqrt{3\pi/(32G\rho)} \)
Bras : \( t_{\text{ff}} = \sqrt{3\pi/(32\times6{,}674\times10^{-11}\times1{,}67\times10^{-18})} = \sqrt{2{,}65\times10^{19}} \approx \mathbf{5{,}1\times10^9 \ \text{s} \approx 162 \ \text{Myr}} \)
Diffus : \( t_{\text{ff}} = \sqrt{3\pi/(32\times6{,}674\times10^{-11}\times1{,}67\times10^{-21})} \approx \mathbf{1{,}81\times10^{14} \ \text{s} \approx 5{,}7 \ \text{Gyr}} \)

4

Dans le bras spiral : \( M_J \approx 55 \ M_\odot \) — des nuages de quelques dizaines de \( M_\odot \) sont instables et s’effondrent. Le temps de chute libre de 162 Myr est court → formation stellaire active.
Dans le MIS diffus : \( M_J \approx 1{,}5\times10^7 \ M_\odot \) — seules des structures quasi-galactiques seraient instables ! Aucun nuage ordinaire ne peut s’effondrer. De plus \( t_{\text{ff}} \approx 5{,}7 \ \text{Gyr} \) — comparable à l’âge de la Galaxie → impossible en pratique.
La compression du gaz dans les bras est le déclencheur essentiel de la formation stellaire.

Résultats
\( M_J^{\text{bras}} \approx 55 \ M_\odot \) (t_ff ≈ 162 Myr) — \( M_J^{\text{diffus}} \approx 1{,}5\times10^7 \ M_\odot \) (t_ff ≈ 5,7 Gyr)
4

Matière noire — masse du halo galactique

Niveau 3 — Courbe de rotation
📋 Énoncé

On modélise le halo de matière noire de la Voie Lactée par un profil isotherme sphérique : \( \rho_{\text{DM}}(r) = \dfrac{\rho_0}{1+(r/r_c)^2} \) avec \( r_c = 5 \ \text{kpc} \) et \( \rho_0 \) à déterminer.

1. En supposant que le halo de matière noire produit seul la courbe de rotation plate \( v_c = 220 \ \text{km/s} \), montrer que la densité du halo doit vérifier \( M_{\text{DM}}( 2. À partir de la formule de profil isotherme, calculer \( M_{\text{DM}}( 3. Calculer \( \rho_0 \) numériquement.
4. Calculer la masse du halo contenue dans un rayon de 50 kpc et 200 kpc. Comparer à la masse visible (\( M_{\text{vis}} \approx 6\times10^{10} \ M_\odot \)).

1

Équilibre centripète pour une particule test à distance \( r \) :
\( \dfrac{v_c^2}{r} = \dfrac{G M_{\text{DM}}( Pour que \( v_c = \text{constante} \), la masse augmente linéairement avec \( r \) — impossible si la densité tombe à zéro à grande distance.

2

\( M_{\text{DM}}( Pour \( r \gg r_c \) :
\( M_{\text{DM}}( En comparant à \( M_{\text{DM}} = v_c^2 r/G \) :
\( 4\pi\rho_0 r_c^2 = v_c^2/G \implies \rho_0 = \dfrac{v_c^2}{4\pi G r_c^2} \)

3

\( r_c = 5 \ \text{kpc} = 5\times3{,}086\times10^{19} = 1{,}543\times10^{20} \ \text{m} \)
\( \rho_0 = \dfrac{(2{,}2\times10^5)^2}{4\pi\times6{,}674\times10^{-11}\times(1{,}543\times10^{20})^2} \)
\( = \dfrac{4{,}84\times10^{10}}{4\pi\times6{,}674\times10^{-11}\times2{,}38\times10^{40}} \)
\( = \dfrac{4{,}84\times10^{10}}{1{,}995\times10^{31}} \approx \mathbf{2{,}43\times10^{-21} \ \text{kg/m}^3} \approx 1{,}46 \ m_H/\text{cm}^3 \)

4

\( M_{\text{DM}}( À \( r = 50 \ \text{kpc} \) : \( M = \dfrac{(2{,}2\times10^5)^2\times1{,}543\times10^{21}}{6{,}674\times10^{-11}} \approx \mathbf{1{,}12\times10^{42} \ \text{kg} \approx 5{,}6\times10^{11} \ M_\odot} \)
À \( r = 200 \ \text{kpc} \) : \( M \approx 4\times M_{50} \approx \mathbf{2{,}2\times10^{12} \ M_\odot} \)
Rapport : \( M_{\text{DM}}(200)/M_{\text{vis}} \approx 2{,}2\times10^{12}/6\times10^{10} \approx \mathbf{37} \) — le halo est 37 fois plus massif que tout ce qu’on voit !

Résultats
\( \rho_0 \approx 2{,}4\times10^{-21} \ \text{kg/m}^3 \) — \( M(50 \text{ kpc}) \approx 5{,}6\times10^{11} M_\odot \) — \( M(200 \text{ kpc}) \approx 2{,}2\times10^{12} M_\odot \approx 37\,M_{\text{vis}} \)
5

Rayon de corotation et résonances orbitales

Avancé — Théorie Lin-Shu
📋 Énoncé Avancé

Dans la théorie de Lin-Shu, la vitesse de pattern \( \Omega_p \approx 13{,}5 \ \text{km/s/kpc} \) pour la Voie Lactée. La courbe de rotation est plate à \( v_c = 220 \ \text{km/s} \), donc \( \Omega(R) = 220/R \ \text{(en km/s/kpc)} \).

1. Trouver le rayon de corotation \( R_{\text{co}} \) tel que \( \Omega(R_{\text{co}}) = \Omega_p \).
2. La fréquence épicyclique est \( \kappa = \sqrt{2}\,\Omega \) pour une courbe plate. Calculer \( \kappa(R) \).
3. Les résonances de Lindblad intérieure (ILR) et extérieure (OLR) sont définies par \( \Omega \pm \kappa/2 = \Omega_p \). Trouver les rayons \( R_{\text{ILR}} \) et \( R_{\text{OLR}} \).
4. Placer le Soleil (à 8 kpc) par rapport à ces résonances. Le Soleil est-il à l’intérieur ou à l’extérieur de la corotation ?

1

\( \Omega(R_{\text{co}}) = \Omega_p \implies \dfrac{220}{R_{\text{co}}} = 13{,}5 \implies R_{\text{co}} = \dfrac{220}{13{,}5} \approx \mathbf{16{,}3 \ \text{kpc}} \)

2

Pour une courbe de rotation plate (\( v_c = \text{constante} \)) :
\( \Omega(R) = v_c/R \implies \dfrac{d\Omega}{dR} = -v_c/R^2 = -\Omega/R \)
\( \kappa = \sqrt{2}\,\Omega\sqrt{1 + \dfrac{R}{\Omega}\dfrac{d\Omega}{dR}} = \sqrt{2}\,\Omega\sqrt{1-1} = \sqrt{2}\times\sqrt{2}\,\Omega = \ldots \)
Correction : \( \kappa^2 = R\dfrac{d\Omega^2}{dR} + 4\Omega^2 = 4\Omega^2 – 2\Omega^2 = 2\Omega^2 \)
\( \kappa = \sqrt{2}\,\Omega = \dfrac{\sqrt{2}\times220}{R} = \dfrac{311}{R} \ \text{km/s/kpc} \)

3

ILR (résonance de Lindblad intérieure) : \( \Omega – \kappa/2 = \Omega_p \)
\( \dfrac{220}{R} – \dfrac{311}{2R} = 13{,}5 \implies \dfrac{220-155{,}5}{R} = 13{,}5 \implies \dfrac{64{,}5}{R} = 13{,}5 \implies R_{\text{ILR}} = \dfrac{64{,}5}{13{,}5} \approx \mathbf{4{,}8 \ \text{kpc}} \)
OLR (résonance de Lindblad extérieure) : \( \Omega + \kappa/2 = \Omega_p \)
\( \dfrac{220}{R} + \dfrac{155{,}5}{R} = 13{,}5 \implies \dfrac{375{,}5}{R} = 13{,}5 \implies R_{\text{OLR}} = \dfrac{375{,}5}{13{,}5} \approx \mathbf{27{,}8 \ \text{kpc}} \)

4

Résumé des positions clés :
\( R_{\text{ILR}} \approx 4{,}8 \ \text{kpc} \) → \( R_\odot = 8 \ \text{kpc} \) → \( R_{\text{co}} \approx 16{,}3 \ \text{kpc} \) → \( R_{\text{OLR}} \approx 27{,}8 \ \text{kpc} \)
Le Soleil se trouve entre l’ILR et la corotation, à environ mi-chemin. À cette position, les étoiles tournent plus vite que le pattern spiral (\( \Omega_\odot = 27{,}5 > \Omega_p = 13{,}5 \)) : les étoiles entrent dans le bras par le côté intérieur et en sortent par l’extérieur. Le Soleil traverse un bras spiral environ tous les 100 Myr — coïncidant peut-être avec les extinctions de masse observées dans l’histoire géologique.

Résultats
\( R_{\text{ILR}} \approx 4{,}8 \ \text{kpc} \) — \( R_{\text{co}} \approx 16{,}3 \ \text{kpc} \) — \( R_{\text{OLR}} \approx 27{,}8 \ \text{kpc} \) — Soleil (8 kpc) entre ILR et corotation
Les résonances de Lindblad délimitent les zones où les ondes de densité peuvent exister. Entre ILR et OLR, l’onde se propage sans amortissement — c’est la “zone d’amplification” des bras spiraux dans la théorie de Lin-Shu.

Les idées reçues à déconstruire

  • ✕
    “Les bras spiraux sont des structures permanentes d’étoiles qui tournent ensemble” : c’est exactement le paradoxe de l’enroulement — si les mêmes étoiles formaient les bras, ceux-ci seraient enroulés en quelques milliards d’années. Les bras sont des ondes de densité quasi-stationnaires : les étoiles les traversent, comme les voitures traversent un embouteillage. Seule la zone dense reste en place.
  • ✕
    “Les galaxies spirales tournent comme des corps rigides (comme une roue)” : c’est faux. Elles présentent une rotation différentielle — les étoiles proches du centre tournent plus vite (en rad/s) que celles périphériques. C’est précisément cette propriété qui rend le paradoxe de l’enroulement si aigu et qui nécessite la théorie des ondes de densité.
  • ✕
    “La matière noire n’est nécessaire que pour les galaxies lointaines” : la matière noire est prouvée dans notre propre Galaxie par la courbe de rotation plate mesurée dès les années 1970. La Voie Lactée contient ~37 fois plus de matière noire que de matière visible. C’est l’une des preuves observationnelles les plus robustes de la matière noire.
  • ✕
    “Toutes les galaxies spirales ont le même mécanisme de formation de bras” : il existe au moins cinq mécanismes différents (Lin-Shu pour les Grand Design, instabilités locales pour les floculentes, barre centrale pour les barrées, marées pour les spirales asymétriques, résonances pour les annelées). La morphologie galactique reflète l’histoire dynamique de chaque système.

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Pour aller plus loin

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Les Trois Lois de Kepler

La mécanique képlérienne appliquée à l’échelle galactique — la base des courbes de rotation.
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Loi de Gravitation Universelle

La gravitation newtonienne — l’outil principal pour comprendre la dynamique galactique.
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Datation Radiométrique

L’âge des étoiles et des galaxies — les outils nucléaires qui calibrent l’histoire galactique.
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L’Espace-Temps

La relativité générale à grande échelle — pertinente pour la cosmologie et la formation des grandes structures.