L’Équation de Dirac :
Pourquoi pas
Klein-Gordon ?
En 1928, Paul Dirac résout un problème fondamental : comment décrire un électron qui respecte à la fois la mécanique quantique et la relativité restreinte ? L’équation de Klein-Gordon échoue — Dirac invente une équation du premier ordre qui prédit le spin, l’antimatière et la structure fine de l’atome d’hydrogène en une seule formule.
Partie 1 — Le problème : rendre la mécanique quantique relativiste
1.1 — La relation énergie-impulsion relativiste
En relativité restreinte, l’énergie d’une particule libre de masse \( m \) et d’impulsion \( \vec p \) est donnée par la relation de dispersion :
\( E^2\psi = (p^2c^2 + m^2c^4)\psi \implies -\hbar^2\partial_t^2\psi = (-\hbar^2c^2\nabla^2 + m^2c^4)\psi \)
Ce remplacement direct donne l’équation de Klein-Gordon — mais elle pose des problèmes profonds, comme nous allons le voir.
1.2 — Rappel : l’équation de Schrödinger et ses limites relativistes
L’équation de Schrödinger standard \( i\hbar\partial_t\psi = (-\hbar^2\nabla^2/2m + V)\psi \) n’est pas invariante de Lorentz : elle traite le temps et l’espace de façon asymétrique (premier ordre en temps, second ordre en espace). Elle ne peut pas décrire un électron se déplaçant à une vitesse comparable à \( c \).
Une équation d’onde relativiste correcte pour un électron doit :
① Être invariante sous les transformations de Lorentz
② Donner une densité de probabilité positive et conservée
③ Reproduire l’équation de Schrödinger dans la limite non-relativiste
④ Être linéaire en \( \partial_t \) (pour une interprétation probabiliste directe)
⑤ Prédire le spin \( 1/2 \) et le magnétisme de l’électron
L’équation de Klein-Gordon échoue aux critères ② et ④. L’équation de Dirac les satisfait tous.
Partie 2 — L’équation de Klein-Gordon et ses problèmes fondamentaux
2.1 — L’équation de Klein-Gordon
\( \partial_\mu\partial^\mu = \partial_t^2/c^2 – \nabla^2 \) en signature (+,−,−,−)
Solutions planes : \( \psi \propto e^{i(\vec k\cdot\vec r – \omega t)} \) avec \( \hbar^2\omega^2/c^2 = \hbar^2k^2 + m^2c^2 \)
Énergie : \( E = \pm\hbar\omega = \pm\sqrt{\hbar^2k^2c^2 + m^2c^4} \) — deux signes !
2.2 — Les trois problèmes rédhibitoires de Klein-Gordon
Densité de probabilité négative
Pour l’équation de Schrödinger, \( \rho = |\psi|^2 \geq 0 \). Pour Klein-Gordon, la densité de courant 4-conservée est \( j^\mu = \dfrac{i\hbar}{2m}(\psi^*\partial^\mu\psi – \psi\partial^\mu\psi^*) \), donnant une densité temporelle \( j^0 = \dfrac{i\hbar}{2mc^2}(\psi^*\partial_t\psi – \psi\partial_t\psi^*) \) qui peut être négative pour certaines solutions. Inacceptable pour une probabilité.
Énergies négatives non contrôlées
L’équation admet des solutions d’énergie \( E < -mc^2 \) dont l'interprétation est problématique. L'électron devrait tomber dans des états d'énergie de plus en plus négative — l'atome serait instable. Il n'existe pas de vide stable.
Équation du second ordre en temps
L’équation de Klein-Gordon est du second ordre en \( \partial_t \). Elle nécessite deux conditions initiales : \( \psi(t=0) \) et \( \partial_t\psi(t=0) \). Cela empêche l’interprétation probabiliste directe et rend le formalisme difficile à lier à celui de Schrödinger.
Ces problèmes sont fatals pour une particule de spin 1/2 comme l’électron. Mais Klein-Gordon décrit correctement les bosons scalaires (spin 0) : le pion π, le boson de Higgs. Dans ce cas, la “densité négative” est réinterprétée comme une densité de charge (positive pour particule, négative pour antiparticule) — une idée qui, rétrospectivement, préfigure l’antimatière.
Partie 3 — L’idée de génie de Dirac : linéariser la relation énergie-impulsion
3.1 — La stratégie de Dirac (1928)
Dirac remarque que tous les problèmes de Klein-Gordon viennent du fait que l’équation est du second ordre en temps. La solution : trouver un opérateur \( \hat{D} \) du premier ordre en \( \partial_t \) et en \( \nabla \) tel que \( \hat{D}^2 = \Box + m^2c^2/\hbar^2 \). On écrit :
En développant \( (i\gamma^\mu\partial_\mu)^2 = -\gamma^\mu\gamma^\nu\partial_\mu\partial_\nu \), on a besoin que \( -\gamma^\mu\gamma^\nu\partial_\mu\partial_\nu = \partial^\mu\partial_\mu = \Box \).
Puisque \( \partial_\mu\partial_\nu \) est symétrique : \( -(\gamma^\mu\gamma^\nu + \gamma^\nu\gamma^\mu)\partial_\mu\partial_\nu/2 = \eta^{\mu\nu}\partial_\mu\partial_\nu \)
Ce qui impose la relation d’anticommutation cruciale entre les \( \gamma^\mu \).
\( \mathbf{1} \) — matrice identité de taille \( N\times N \)
En particulier :
\( (\gamma^0)^2 = +\mathbf{1} \qquad (\gamma^i)^2 = -\mathbf{1} \quad (i=1,2,3) \)
\( \gamma^\mu\gamma^\nu = -\gamma^\nu\gamma^\mu \quad \text{pour } \mu\neq\nu \)
Conclusion cruciale : les \( \gamma^\mu \) ne peuvent pas être des scalaires — ce sont nécessairement des matrices. En 4D, la représentation irréductible minimale est en dimension 4×4. La fonction d’onde \( \psi \) est donc un vecteur à 4 composantes — un spineur de Dirac.
Partie 4 — L’équation de Dirac
4.1 — L’équation dans toute sa gloire
\( \gamma^\mu \) — matrices \( 4\times4 \) de Dirac satisfaisant l’algèbre de Clifford
Notation de Feynman : \( \slashed{\partial} = \gamma^\mu\partial_\mu \), donc \( (i\slashed{\partial} – mc/\hbar)\psi = 0 \)
Propriétés fondamentales :
• Équation du premier ordre en espace et en temps — problème ① résolu
• Covariance de Lorentz : invariante sous les transformations de Lorentz
• Chaque composante satisfait l’équation de Klein-Gordon (appliquer \( i\gamma^\nu\partial_\nu + mc/\hbar \))
4.2 — Les matrices gamma en représentation de Dirac-Pauli
\( \sigma^1 = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\quad \sigma^2 = \begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix},\quad \sigma^3 = \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} \) — matrices de Pauli
Vérification : \( (\gamma^0)^2 = \mathbf{1}_4 \) ✓, \( \gamma^0\gamma^1 + \gamma^1\gamma^0 = 0 \) ✓
Partie 5 — Les prédictions extraordinaires de l’équation de Dirac
5.1 — Le spin 1/2 émerge automatiquement
L’une des plus grandes surprises de l’équation de Dirac est que le spin 1/2 de l’électron n’a pas besoin d’être postulé : il émerge naturellement de la structure à 4 composantes. En couplant l’équation de Dirac à un champ électromagnétique et en prenant la limite non-relativiste, on obtient l’équation de Pauli :
\( \vec A, \varphi \) — potentiels électromagnétique et scalaire
\( \vec\sigma = (\sigma^1, \sigma^2, \sigma^3) \) — matrices de Pauli
Le terme \( -\dfrac{e\hbar}{2m}\vec\sigma\cdot\vec B \) est le terme de Zeeman de Dirac :
\( \vec\mu = -\dfrac{e\hbar}{2m}\vec\sigma = -g_e\mu_B\vec S/\hbar \) avec \( g_e = 2 \) (facteur de Landé)
L’équation de Dirac prédit automatiquement \( g_e = 2 \) — expérimentalement mesuré à \( g_e \approx 2{,}00232 \) (la différence de 0,12% est due aux corrections QED, accord spectaculaire).
5.2 — La prédiction de l’antimatière
L’équation de Dirac admet deux types de solutions d’énergie : \( E = +\sqrt{p^2c^2 + m^2c^4} > 0 \) (électron) et \( E = -\sqrt{p^2c^2+m^2c^4} < 0 \) (problème !). Dirac propose alors une interprétation audacieuse :
Dirac postule que tous les états d’énergie négative sont déjà occupés
par des électrons (principe d’exclusion de Pauli pour les fermions) —
formant la “mer de Dirac”.
Un “trou” dans la mer de Dirac (un état d’énergie négative inoccupé)
se comporte comme une particule d’énergie positive, de charge opposée à l’électron
et de même masse.
Dirac prédit ainsi l’existence du positron (antiélectron) en 1931.
Carl Anderson le découvre expérimentalement en 1932 dans les rayons cosmiques
— exactement comme prédit. C’est la première découverte d’une antiparticule.
Interprétation moderne (théorie quantique des champs) :
la mer de Dirac est remplacée par le formalisme des champs quantiques :
les solutions d’énergie négative correspondent aux modes d’antiparticules,
et la seconde quantification donne une image cohérente sans “mer” infinie.
5.3 — La structure fine de l’hydrogène
La solution exacte de l’équation de Dirac pour l’atome d’hydrogène (proton fixe) donne les niveaux d’énergie avec corrections relativistes incluses :
\( j = \ell \pm 1/2 \) — nombre quantique de moment cinétique total
\( n \) — nombre quantique principal
En développant en série de \( \alpha \ll 1 \) :
\( E_{nj} \approx -\dfrac{13{,}6 \ \text{eV}}{n^2}\left[1 + \dfrac{\alpha^2}{n^2}\left(\dfrac{n}{j+1/2} – \dfrac{3}{4}\right)\right] \)
La correction en \( \alpha^2 \approx 5{,}3\times10^{-5} \) lève la dégénérescence entre états de même \( n \) mais \( j \) différents — c’est la structure fine, mesurée expérimentalement à \( \Delta E_{2p_{1/2}-2s_{1/2}} \approx 45 \mu\text{eV} \).
Partie 6 — Bilan comparatif complet
❌ Klein-Gordon
- Équation du second ordre en temps
- Densité de probabilité peut être négative
- Deux conditions initiales requises
- Spin non inclus (scalaire)
- Problème des énergies négatives non résolu
- Correcte pour bosons scalaires (pion, Higgs)
- Ne prédit pas \( g_e = 2 \)
✅ Dirac
- Équation du premier ordre en espace et temps
- Densité de probabilité toujours positive
- Une seule condition initiale (comme Schrödinger)
- Spin 1/2 émergent naturellement
- Prédit l’antimatière (positron, 1932)
- Correcte pour fermions de spin 1/2 (e, µ, quarks)
- Prédit \( g_e = 2 \) exactement (corrections QED : 2,002…)
| Propriété | Schrödinger | Klein-Gordon | Dirac |
|---|---|---|---|
| Ordre en ∂_t | 1er | 2ème | 1er |
| Invariance de Lorentz | Non | Oui | Oui |
| Densité ρ ≥ 0 | Oui | Non (en général) | Oui |
| Spin | Postulé | Absent (spin 0) | Spin 1/2 automatique |
| Antiparticules | Non | Implicite | Naturellement |
| Nombre composantes ψ | 1 (scalaire) | 1 (scalaire) | 4 (spineur) |
| Particules décrites | Non-relativiste | Bosons scalaires | Fermions spin 1/2 |
Exercices Corrigés
Solutions planes de Klein-Gordon — dispersion relativiste
Niveau 1 — Relations de dispersionOn cherche les solutions en ondes planes de l’équation de Klein-Gordon : \( \psi = \psi_0\,e^{i(k^\mu x_\mu)} = \psi_0\,e^{i(\vec k\cdot\vec r – \omega t)} \).
1. Substituer dans \( (\Box + m^2c^2/\hbar^2)\psi = 0 \) et trouver la relation de dispersion \( \omega(k) \).
2. Identifier les deux familles de solutions (\( \omega > 0 \) et \( \omega < 0 \)) et calculer leur énergie.
3. Calculer la vitesse de groupe \( v_g = d\omega/dk \) et montrer qu’elle est toujours \( < c \).
4. Pour un pion (\( m_\pi c^2 = 135 \ \text{MeV} \)) avec \( p = m_\pi c \), calculer \( E \), \( \omega \), et \( v_g/c \).
\( \Box\psi = \dfrac{1}{c^2}\partial_t^2\psi – \nabla^2\psi = \dfrac{(-i\omega)^2}{c^2}\psi – (i\vec k)^2\psi = \left(-\dfrac{\omega^2}{c^2} + k^2\right)\psi \)
En substituant dans KG :
\( \left(-\dfrac{\omega^2}{c^2} + k^2 + \dfrac{m^2c^2}{\hbar^2}\right)\psi = 0 \)
Relation de dispersion : \( \boxed{\omega^2 = k^2c^2 + \dfrac{m^2c^4}{\hbar^2}} \)
\( \omega = \pm\dfrac{1}{\hbar}\sqrt{\hbar^2k^2c^2 + m^2c^4} = \pm\dfrac{E_k}{\hbar} \)
Famille \( \omega > 0 \) : \( E = +\sqrt{p^2c^2 + m^2c^4} > 0 \) — solutions particules
Famille \( \omega < 0 \) : \( E = -\sqrt{p^2c^2 + m^2c^4} < 0 \) — solutions problématiques (antiparticules)
\( v_g = \dfrac{d\omega}{dk} = \dfrac{kc^2}{\sqrt{k^2c^2 + m^2c^4/\hbar^2}} = \dfrac{pc^2}{E} = \dfrac{pc^2}{\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}} \)
Puisque \( E^2 = p^2c^2 + m^2c^4 > p^2c^2 \), on a \( E > pc \), donc \( v_g = pc^2/E < c \) ✓
\( p = m_\pi c \), \( m_\pi c^2 = 135 \ \text{MeV} \)
\( E = \sqrt{p^2c^2 + m_\pi^2c^4} = \sqrt{(m_\pi c\cdot c)^2 + (m_\pi c^2)^2} = m_\pi c^2\sqrt{2} \approx \mathbf{191 \ \text{MeV}} \)
\( v_g = pc^2/E = m_\pi c\cdot c^2/(m_\pi c^2\sqrt{2}) = c/\sqrt{2} \approx \mathbf{0{,}707c} \)
Vérification de l’algèbre de Clifford
Niveau 2 — Matrices gammaOn utilise la représentation de Dirac-Pauli avec \( \gamma^0 = \text{diag}(1,1,-1,-1) \) et \( \gamma^1 \) donné par les matrices de Pauli.
1. Vérifier explicitement que \( (\gamma^0)^2 = \mathbf{1}_4 \).
2. Calculer le commutateur \( [\gamma^0, \gamma^1] = \gamma^0\gamma^1 – \gamma^1\gamma^0 \) et montrer que \( \{\gamma^0,\gamma^1\} = 0 \).
3. Montrer que \( (\gamma^1)^2 = -\mathbf{1}_4 \) (en utilisant \( \sigma^1\sigma^1 = \mathbf{1}_2 \)).
4. Conclure sur la forme générale de l’algèbre de Clifford.
\( \gamma^0 = \begin{pmatrix}\mathbf{1}&\mathbf{0}\\\mathbf{0}&-\mathbf{1}\end{pmatrix} \)
\( (\gamma^0)^2 = \begin{pmatrix}\mathbf{1}&\mathbf{0}\\\mathbf{0}&-\mathbf{1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\mathbf{1}&\mathbf{0}\\\mathbf{0}&-\mathbf{1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\mathbf{1}\cdot\mathbf{1}&0\\0&(-\mathbf{1})(-\mathbf{1})\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\mathbf{1}&0\\0&\mathbf{1}\end{pmatrix} = \mathbf{1}_4 \) ✓
\( \gamma^1 = \begin{pmatrix}\mathbf{0}&\sigma^1\\-\sigma^1&\mathbf{0}\end{pmatrix} \)
\( \gamma^0\gamma^1 = \begin{pmatrix}\mathbf{1}&0\\0&-\mathbf{1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\mathbf{0}&\sigma^1\\-\sigma^1&\mathbf{0}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\mathbf{0}&\sigma^1\\\sigma^1&\mathbf{0}\end{pmatrix} \)
\( \gamma^1\gamma^0 = \begin{pmatrix}\mathbf{0}&\sigma^1\\-\sigma^1&\mathbf{0}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\mathbf{1}&0\\0&-\mathbf{1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\mathbf{0}&-\sigma^1\\-\sigma^1&\mathbf{0}\end{pmatrix} \)
\( \{\gamma^0,\gamma^1\} = \gamma^0\gamma^1 + \gamma^1\gamma^0 = \begin{pmatrix}0&\sigma^1-\sigma^1\\\sigma^1-\sigma^1&0\end{pmatrix} = \mathbf{0} \) ✓
Conforme à \( 2\eta^{01} = 2\times0 = 0 \).
\( (\gamma^1)^2 = \begin{pmatrix}\mathbf{0}&\sigma^1\\-\sigma^1&\mathbf{0}\end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix}(\mathbf{0})(\mathbf{0})+\sigma^1(-\sigma^1) & 0\\ 0 & (-\sigma^1)(\sigma^1)+0\end{pmatrix} \)
\( = \begin{pmatrix}-(\sigma^1)^2 & 0\\ 0 & -(\sigma^1)^2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\mathbf{1}_2&0\\0&-\mathbf{1}_2\end{pmatrix} = -\mathbf{1}_4 \) ✓
Conforme à \( 2\eta^{11}/2 = -1 \), soit \( \{\gamma^1,\gamma^1\} = 2(\gamma^1)^2 = -2\mathbf{1}_4 \).
En général : \( \{\gamma^\mu,\gamma^\nu\} = 2\eta^{\mu\nu}\mathbf{1}_4 \)
Pour \( \mu=\nu=0 \) : \( 2(\gamma^0)^2 = 2\eta^{00} = +2 \implies (\gamma^0)^2 = +\mathbf{1} \) ✓
Pour \( \mu=\nu=i \) (spatial) : \( 2(\gamma^i)^2 = 2\eta^{ii} = -2 \implies (\gamma^i)^2 = -\mathbf{1} \) ✓
Pour \( \mu\neq\nu \) : \( \gamma^\mu\gamma^\nu = -\gamma^\nu\gamma^\mu \) (anticommutation pure)
Solutions planes de Dirac — spineurs de particule et antiparticule
Niveau 2 — Spineurs de DiracOn cherche des solutions en ondes planes de l’équation de Dirac : \( \psi = u(\vec p)\,e^{i(\vec p\cdot\vec r – Et)/\hbar} \) (énergie positive, particule).
1. Substituer dans l’équation de Dirac et obtenir l’équation algébrique pour le spineur \( u(\vec p) \).
2. Pour une particule au repos (\( \vec p = 0 \)), trouver les deux spineurs indépendants de spin ↑ et ↓.
3. Montrer que pour \( \vec p = 0 \), les composantes ψ₃ et ψ₄ (antiparticules) sont nulles.
4. Pour une solution d’énergie négative \( \psi = v(\vec p)e^{-i(\vec p\cdot\vec r – |E|t)/\hbar} \), interpréter physiquement \( v \).
Substitution \( \partial_t \to -iE/\hbar \), \( \nabla \to i\vec p/\hbar \) dans \( (i\gamma^\mu\partial_\mu – mc/\hbar)\psi = 0 \) :
\( \left(\gamma^0\dfrac{E}{c} – \vec\gamma\cdot\vec p – mc\right)u(\vec p) = 0 \)
ou en notation slash : \( (\slashed{p} – mc)u = 0 \) avec \( \slashed{p} = \gamma^\mu p_\mu = \gamma^0 E/c – \vec\gamma\cdot\vec p \)
À \( \vec p = 0 \) : \( (\gamma^0 E/c – mc)u = 0 \implies (E/c-mc)u_{\text{haut}} = 0 \) et \( (-E/c-mc)u_{\text{bas}} = 0 \)
Solutions d’énergie positive (\( E = +mc^2 \)) :
\( u^{(1)} = N\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix} \) (spin ↑) et
\( u^{(2)} = N\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix} \) (spin ↓)
avec \( N \) facteur de normalisation.
Pour \( u^{(1)} \) et \( u^{(2)} \) ci-dessus, les composantes 3 et 4 sont nulles.
Physiquement : à \( \vec p = 0 \) et \( E = +mc^2 \), l’électron est au repos et dans un état pur de particule — aucune composante d’antiparticule (petite composante nulle).
En régime relativiste (\( p \gg mc \)), la petite composante devient comparable à la grande.
Les spineurs \( v(\vec p) \) des solutions d’énergie négative décrivent les modes d’antiparticules.
Interprétation moderne (TQC) : le champ de Dirac se développe en :
\( \psi(x) = \sum_{s}\int\dfrac{d^3p}{(2\pi)^3}\left[b_s(\vec p)\,u^s(\vec p)\,e^{ipx} + d_s^\dagger(\vec p)\,v^s(\vec p)\,e^{-ipx}\right] \)
où \( b_s \) annihile un électron et \( d_s^\dagger \) crée un positron —
le spineur \( v \) est la fonction d’onde du positron (charge opposée, même masse).
Limite non-relativiste — équation de Pauli et spin
Niveau 3 — Émergence du spinOn écrit le spineur de Dirac en deux composantes à 2 éléments : \( \psi = \begin{pmatrix}\phi\\\chi\end{pmatrix} \) où \( \phi \) est la grande composante et \( \chi \) la petite. On couple à un champ EM via \( \partial_\mu \to \partial_\mu – ieA_\mu/(\hbar c) \).
1. Écrire les deux équations couplées en \( \phi \) et \( \chi \) dans la représentation de Dirac-Pauli.
2. Dans la limite non-relativiste \( E \approx mc^2 + \varepsilon \) avec \( \varepsilon \ll mc^2 \), montrer que \( \chi \approx \dfrac{\vec\sigma\cdot(\vec p – e\vec A)}{2mc}\phi \) (petite composante).
3. Substituer dans l’équation de \( \phi \) et utiliser l’identité de Pauli \( (\vec\sigma\cdot\vec a)(\vec\sigma\cdot\vec b) = \vec a\cdot\vec b + i\vec\sigma\cdot(\vec a\times\vec b) \) pour obtenir l’équation de Pauli.
4. Identifier le terme de Zeeman et montrer que \( g_e = 2 \) émerge naturellement.
L’équation de Dirac couplée \( [i\gamma^\mu(\partial_\mu – ieA_\mu/\hbar c) – mc/\hbar]\psi = 0 \) donne, en décomposant :
\( (E-mc^2-e\varphi)\phi = c\vec\sigma\cdot(\vec p – e\vec A/c)\chi \)
\( (E+mc^2-e\varphi)\chi = c\vec\sigma\cdot(\vec p – e\vec A/c)\phi \)
Posons \( E = mc^2 + \varepsilon \). Dans l’approximation non-relativiste, \( \varepsilon \ll mc^2 \) et \( e\varphi \ll mc^2 \) :
De l’équation pour \( \chi \) : \( (E+mc^2-e\varphi)\chi \approx 2mc^2\chi \)
\( \chi \approx \dfrac{c\vec\sigma\cdot(\vec p – e\vec A/c)}{2mc^2}\phi = \dfrac{\vec\sigma\cdot(\vec p – e\vec A/c)}{2mc}\phi \)
La petite composante est bien \( \sim (v/c)\phi \) ✓
En substituant \( \chi \) dans l’équation pour \( \phi \) :
\( \varepsilon\phi = \dfrac{1}{2m}\left[\vec\sigma\cdot\left(\vec p – \dfrac{e\vec A}{c}\right)\right]^2\phi + e\varphi\phi \)
Identité de Pauli : \( \left[\vec\sigma\cdot\vec\pi\right]^2 = \pi^2 + i\vec\sigma\cdot(\vec\pi\times\vec\pi) \) où \( \vec\pi = \vec p – e\vec A/c \)
Or \( \vec\pi\times\vec\pi = -\dfrac{ie}{c}(\nabla\times\vec A) = -\dfrac{ie}{c}\vec B \)
\( \varepsilon\phi = \dfrac{(\vec p – e\vec A)^2}{2m}\phi – \dfrac{e\hbar}{2mc}\vec\sigma\cdot\vec B\,\phi + e\varphi\phi \)
Le terme de Zeeman est \( -\dfrac{e\hbar}{2mc}\vec\sigma\cdot\vec B = -\dfrac{e\hbar}{mc}\vec S/\hbar\cdot\vec B \) où \( \vec S = \hbar\vec\sigma/2 \)
\( H_{\text{Zeeman}} = -\dfrac{e}{mc}\vec S\cdot\vec B = -g_e\dfrac{e}{2mc}\vec S\cdot\vec B \) avec \( \mathbf{g_e = 2} \)
Le facteur gyromagnétique \( g_e = 2 \) sort naturellement de l’équation de Dirac, sans aucun paramètre libre. La valeur expérimentale est \( g_e = 2{,}002319 \) — la correction de 0,1% vient des boucles quantiques (QED).
Courant de Dirac et conservation — réponse au problème de Klein-Gordon
Avancé — Conservation du courantOn définit le spineur adjoint de Dirac \( \bar\psi = \psi^\dagger\gamma^0 \) et le courant \( j^\mu = c\bar\psi\gamma^\mu\psi \).
1. Montrer que si \( \psi \) satisfait l’équation de Dirac, alors \( \partial_\mu j^\mu = 0 \) (conservation du courant 4D).
2. Montrer que la densité temporelle \( j^0 = c\psi^\dagger\psi = c\sum_{a=1}^4|\psi_a|^2 \) est toujours positive — contrairement à Klein-Gordon.
3. Comparer avec le courant de Klein-Gordon \( j_{\text{KG}}^\mu = \dfrac{i\hbar}{2m}(\psi^*\partial^\mu\psi – \psi\partial^\mu\psi^*) \) et montrer que sa composante temporelle peut être négative.
4. Quel est le lien entre la conservation de \( j^\mu \) de Dirac et la symétrie de jauge U(1) via le théorème de Noether ?
L’équation de Dirac : \( i\hbar\gamma^\mu\partial_\mu\psi = mc\psi \)
Son hermitien conjugué (en utilisant \( (\gamma^0)^\dagger = \gamma^0 \), \( (\gamma^i)^\dagger = -\gamma^i \), soit \( (\gamma^\mu)^\dagger = \gamma^0\gamma^\mu\gamma^0 \)) :
\( -i\hbar(\partial_\mu\bar\psi)\gamma^\mu = mc\bar\psi \)
Calculons \( \partial_\mu j^\mu = c\partial_\mu(\bar\psi\gamma^\mu\psi) = c[(\partial_\mu\bar\psi)\gamma^\mu\psi + \bar\psi\gamma^\mu(\partial_\mu\psi)] \)
\( = c\left[\dfrac{imc}{\hbar}\bar\psi\psi + \bar\psi\dfrac{(-imc)}{\hbar}\psi\right] = 0 \) ✓
\( j^0 = c\bar\psi\gamma^0\psi = c\psi^\dagger(\gamma^0)^\dagger\gamma^0\psi = c\psi^\dagger(\gamma^0)^2\psi = c\psi^\dagger\psi \)
(car \( (\gamma^0)^2 = \mathbf{1} \))
\( j^0 = c\sum_{a=1}^4\psi_a^*\psi_a = c\sum_{a=1}^4|\psi_a|^2 \geq 0 \) — toujours positif ✓
C’est une somme de carrés — jamais négative, quelle que soit la solution.
Pour une solution KG de la forme \( \psi = Ae^{i(kx-\omega t)} \) :
\( j^0_{\text{KG}} = \dfrac{i\hbar}{2m}(\psi^*\partial_t\psi – \psi\partial_t\psi^*) = \dfrac{i\hbar}{2m}[A^*(-i\omega)A – A(i\omega)A^*] = \dfrac{\hbar\omega}{m}|A|^2 \)
Si \( \omega < 0 \) (solutions d'énergie négative) : \( j^0_{\text{KG}} < 0 \) !
C’est le problème fondamental de Klein-Gordon — la densité peut être négative.
La densité lagrangienne de Dirac : \( \mathcal{L} = \bar\psi(i\hbar\gamma^\mu\partial_\mu – mc)\psi \)
est invariante sous la symétrie de jauge globale U(1) : \( \psi \to e^{i\alpha}\psi \), \( \bar\psi \to e^{-i\alpha}\bar\psi \)
avec paramètre continu \( \alpha \in \mathbb{R} \) constant.
Par le théorème de Noether, cette symétrie implique la conservation du courant :
\( j^\mu = \dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\psi)}\cdot i\psi + \text{c.c.} = i(i\hbar\bar\psi\gamma^\mu)\cdot i\psi = \hbar c\bar\psi\gamma^\mu\psi \)
\( \partial_\mu j^\mu = 0 \) — conservation de la charge électrique ✓
La charge conservée \( Q = \int j^0 d^3x/c = \hbar\int\psi^\dagger\psi\,d^3x \) est la charge totale de l’électron — toujours positive pour une particule seule.
Les pièges classiques à éviter
- “L’équation de Klein-Gordon est fausse” : elle est correcte pour les bosons scalaires (spin 0) — le pion, le boson de Higgs. Le problème de la densité négative est réinterprété comme une densité de charge dans la théorie des champs : positive pour la particule, négative pour l’antiparticule. Klein-Gordon n’est pas fausse, elle est mal adaptée aux fermions de spin 1/2.
- “La mer de Dirac est la description moderne correcte” : la mer de Dirac est une interprétation historique utile mais remplacée par la théorie quantique des champs (TQC). En TQC, les solutions d’énergie négative sont réinterprétées via la seconde quantification — les opérateurs de création de positrons — sans nécessiter de “mer” infinie d’électrons virtuels.
- “Les 4 composantes du spineur de Dirac correspondent aux 4 directions de l’espace” : les 4 composantes encodent 2 états de spin (↑ et ↓) × 2 types de particules (électron et positron). Ce n’est pas lié aux 4 dimensions de l’espace-temps — c’est la structure interne de la particule.
- “Dirac a postulé le spin 1/2 de l’électron” : c’est l’inverse — c’est un résultat. Dirac a postulé uniquement la linéarité en \( \partial_t \) et l’invariance de Lorentz. Le spin 1/2, le moment magnétique \( g_e = 2 \) et l’antimatière sont tous des prédictions non anticipées, qui émergent de la structure mathématique de l’équation.
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