Étiquette : Équation de Klein-Gordon

L'Équation de Dirac — Pourquoi pas Klein-Gordon ? | FreeCourse Physique Quantique Relativiste · Licence / Master L'Équation de Dirac :Pourquoi pasKlein-Gordon ? En 1928, Paul Dirac résout un problème fondamental : comment décrire un électron qui respecte à la fois la mécanique quantique et la relativité restreinte ? L'équation de Klein-Gordon échoue — Dirac invente une équation du premier ordre qui prédit le spin, l'antimatière et la structure fine de l'atome d'hydrogène en une seule formule. ⏱ Lecture : 22 min ⚡ Niveau : Licence 3 / Master ✦ Cours + 5 Exercices Corrigés Partie 1 — Le problème : rendre la mécanique quantique relativiste 1.1 — La relation énergie-impulsion relativiste En relativité restreinte, l'énergie d'une particule libre de masse \( m \) et d'impulsion \( \vec p \) est donnée par la relation de dispersion : Relation énergie-impulsion relativiste \[ E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2 \implies E = \pm\sqrt{p^2c^2 + m^2c^4} \] En mécanique quantique, on remplace \( E \to i\hbar\partial_t \) et \( \vec p \to -i\hbar\nabla \) : \( E^2\psi = (p^2c^2 + m^2c^4)\psi \implies -\hbar^2\partial_t^2\psi = (-\hbar^2c^2\nabla^2 + m^2c^4)\psi \) Ce remplacement direct donne l'équation de Klein-Gordon — mais elle pose des problèmes profonds, comme nous allons le voir. 1.2 — Rappel : l'équation de Schrödinger et ses limites relativistes L'équation de Schrödinger standard \( i\hbar\partial_t\psi = (-\hbar^2\nabla^2/2m + V)\psi \) n'est pas invariante de Lorentz : elle traite le temps et l'espace de façon asymétrique (premier ordre en temps, second ordre en espace). Elle ne peut pas décrire un électron se déplaçant à une vitesse comparable à \( c \). 🎯 Le cahier des charges d'une équation relativiste Une équation d'onde relativiste correcte pour un électron doit : ① Être invariante sous les transformations de Lorentz ② Donner une densité de probabilité positive et conservée ③ Reproduire l'équation de Schrödinger dans la limite non-relativiste ④ Être linéaire en \( \partial_t \) (pour une interprétation probabiliste directe) ⑤ Prédire le spin \( 1/2 \) et le magnétisme de l'électron L'équation de Klein-Gordon échoue aux critères ② et ④. L'équation de Dirac les satisfait tous. Partie 2 — L'équation de Klein-Gordon et ses problèmes fondamentaux 2.1 — L'équation de Klein-Gordon Équation de Klein-Gordon (1926) \[ \left(\Box + \frac{m^2c^2}{\hbar^2}\right)\psi = 0 \quad \text{où} \quad \Box = \frac{1}{c^2}\partial_t^2 - \nabla^2 \] \[ \text{Ou en notation 4-vectorielle :} \quad \left(\partial_\mu\partial^\mu + \frac{m^2c^2}{\hbar^2}\right)\psi = 0 \] \( \Box \) — opérateur d'alembertien (ou dalembertien) \( \partial_\mu\partial^\mu = \partial_t^2/c^2 - \nabla^2 \) en signature (+,−,−,−) Solutions planes : \( \psi \propto e^{i(\vec k\cdot\vec r - \omega t)} \) avec \( \hbar^2\omega^2/c^2 = \hbar^2k^2 + m^2c^2 \) Énergie : \( E = \pm\hbar\omega = \pm\sqrt{\hbar^2k^2c^2 + m^2c^4} \) — deux signes ! 2.2 — Les trois problèmes rédhibitoires de Klein-Gordon ① Densité de probabilité négative Pour l'équation de Schrödinger, \( \rho = |\psi|^2 \geq 0 \). Pour Klein-Gordon, la densité de courant 4-conservée est \( j^\mu = \dfrac{i\hbar}{2m}(\psi^*\partial^\mu\psi - \psi\partial^\mu\psi^*) \), donnant une densité temporelle \( j^0 = \dfrac{i\hbar}{2mc^2}(\psi^*\partial_t\psi - \psi\partial_t\psi^*) \) qui peut être négative pour certaines solutions. Inacceptable pour une probabilité. ② Énergies négatives non contrôlées L'équation admet des solutions d'énergie \( E < -mc^2 \) dont l'interprétation est problématique. L'électron devrait tomber dans des états d'énergie de plus en plus négative — l'atome serait instable. Il n'existe pas de vide stable. ③ Équation du second ordre en temps L'équation de Klein-Gordon est du second ordre en \( \partial_t \). Elle nécessite deux conditions initiales : \( \psi(t=0) \) et \( \partial_t\psi(t=0) \). Cela empêche l'interprétation probabiliste directe et rend le formalisme difficile à lier à celui de Schrödinger. ✅ Réhabilitation partielle de Klein-Gordon Ces problèmes sont fatals pour une particule de spin 1/2 comme l'électron. Mais Klein-Gordon décrit correctement les bosons scalaires (spin 0) : le pion π, le boson de Higgs. Dans ce cas, la "densité négative" est réinterprétée comme une densité de charge (positive pour particule, négative pour antiparticule) — une idée qui, rétrospectivement, préfigure l'antimatière. Partie 3 — L'idée de génie de Dirac : linéariser la relation énergie-impulsion 3.1 — La stratégie de Dirac (1928) Dirac remarque que tous les problèmes de Klein-Gordon viennent du fait que l'équation est du second ordre en temps. La solution : trouver un opérateur \( \hat{D} \) du premier ordre en \( \partial_t \) et en \( \nabla \) tel que \( \hat{D}^2 = \Box + m^2c^2/\hbar^2 \). On écrit : L'ansatz de Dirac — linéarisation \[ \hat{D} = i\gamma^\mu\partial_\mu - \frac{mc}{\hbar} = i\left(\gamma^0\frac{\partial}{c\,\partial t} + \gamma^1\frac{\partial}{\partial x} + \gamma^2\frac{\partial}{\partial y} + \gamma^3\frac{\partial}{\partial z}\right) - \frac{mc}{\hbar} \] On demande que \( \hat{D}\hat{D} = \Box + m^2c^2/\hbar^2 \). En développant \( (i\gamma^\mu\partial_\mu)^2 = -\gamma^\mu\gamma^\nu\partial_\mu\partial_\nu \), on a besoin que \( -\gamma^\mu\gamma^\nu\partial_\mu\partial_\nu = \partial^\mu\partial_\mu = \Box \). Puisque \( \partial_\mu\partial_\nu \) est symétrique : \( -(\gamma^\mu\gamma^\nu + \gamma^\nu\gamma^\mu)\partial_\mu\partial_\nu/2 = \eta^{\mu\nu}\partial_\mu\partial_\nu \) Ce qui impose la relation d'anticommutation cruciale entre les \( \gamma^\mu \). Algèbre de Clifford — relation fondamentale des matrices gamma \[ \{\gamma^\mu, \gamma^\nu\} \equiv \gamma^\mu\gamma^\nu + \gamma^\nu\gamma^\mu = 2\eta^{\mu\nu}\mathbf{1} \] \( \eta^{\mu\nu} = \text{diag}(+1,-1,-1,-1) \) — tenseur de Minkowski (signature +−−−) \( \mathbf{1} \) — matrice identité de taille \( N\times N \) En particulier : \( (\gamma^0)^2 = +\mathbf{1} \qquad (\gamma^i)^2 = -\mathbf{1} \quad (i=1,2,3) \) \( \gamma^\mu\gamma^\nu = -\gamma^\nu\gamma^\mu \quad \text{pour } \mu\neq\nu \) Conclusion cruciale : les \( \gamma^\mu \) ne peuvent pas être des scalaires — ce sont nécessairement des matrices. En 4D, la représentation irréductible minimale est en dimension 4×4. La fonction d'onde \( \psi \) est donc un vecteur à 4 composantes — un spineur de Dirac. Partie 4 — L'équation de Dirac 4.1 — L'équation dans toute sa gloire Équation de Dirac — la plus belle équation de la physique ? \[ \left(i\gamma^\mu\partial_\mu - \frac{mc}{\hbar}\right)\psi = 0 \] \[ \text{Ou encore :} \quad i\hbar\gamma^\mu\partial_\mu\psi = mc\psi \] \( \psi \) — spineur de Dirac à 4 composantes : \( \psi = (\psi_1, \psi_2, \psi_3, \psi_4)^T \) \( \gamma^\mu \) — matrices \( 4\times4 \) de Dirac satisfaisant l'algèbre de Clifford Notation de Feynman : \( \slashed{\partial} = \gamma^\mu\partial_\mu \), donc \( (i\slashed{\partial} - mc/\hbar)\psi = 0 \) Propriétés fondamentales : • Équation du premier ordre en espace et en temps — problème ① résolu • Covariance de Lorentz : invariante sous les transformations de Lorentz • Chaque composante satisfait l'équation de Klein-Gordon (appliquer \( i\gamma^\nu\partial_\nu + mc/\hbar \)) 4.2 — Les matrices gamma en représentation de Dirac-Pauli Matrices gamma en représentation de Dirac-Pauli \[ \gamma^0 = \begin{pmatrix}\mathbf{1} & \mathbf{0}\\ \mathbf{0} & -\mathbf{1}\end{pmatrix} \qquad \gamma^i = \begin{pmatrix}\mathbf{0} & \sigma^i\\ -\sigma^i & \mathbf{0}\end{pmatrix} \quad (i=1,2,3) \] \( \mathbf{1} = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} \), \( \mathbf{0} = \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix} \) — matrices \( 2\times2 \) \( \sigma^1 = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\quad \sigma^2 = \begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix},\quad \sigma^3 = \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} \) — matrices de Pauli Vérification : \( (\gamma^0)^2 = \mathbf{1}_4 \) ✓, \( \gamma^0\gamma^1 + \gamma^1\gamma^0 = 0 \) ✓ Spineur de Dirac ψ ψ₁ (spin ↑ particule) ψ₂ (spin ↓ particule) Grande composante / Petite composante ψ₃ (spin ↑ antipart.) ψ₄ (spin ↓ antipart.) } Grande composante ∝ 1 (non-relativiste) } Petite composante ∝ v/c (relativiste) Spin prédit automatiquement sans postulat supplémentaire Matrice γ⁰ (4×4) : 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1 Bloc +1 : particules Bloc −1 : antiparticules Structure du spineur de Dirac — 4 composantes organisées en deux paires : la "grande composante" (ψ₁, ψ₂) décrit les états de particules avec spin ↑ et ↓ ; la "petite composante" (ψ₃, ψ₄) décrit les antiparticules. Dans la limite non-relativiste (v ≪ c), la petite composante est d'ordre v/c et devient négligeable. Partie 5 — Les prédictions extraordinaires de l'équation de Dirac 5.1 — Le spin 1/2 émerge automatiquement L'une des plus grandes surprises de l'équation de Dirac est que le spin 1/2 de l'électron n'a pas besoin d'être postulé : il émerge naturellement de la structure à 4 composantes. En couplant l'équation de Dirac à un champ électromagnétique et en prenant la limite non-relativiste, on obtient l'équation de Pauli : Limite non-relativiste — équation de Pauli avec moment magnétique de Dirac \[ i\hbar\frac{\partial\phi}{\partial t} = \left[\frac{(\vec p - e\vec A)^2}{2m} - e\varphi - \frac{e\hbar}{2m}\vec\sigma\cdot\vec B + \ldots\right]\phi \] \( \phi = (\psi_1, \psi_2)^T \) — grande composante (2 composantes de spin) \( \vec A, \varphi \) — potentiels électromagnétique et scalaire \( \vec\sigma = (\sigma^1, \sigma^2, \sigma^3) \) — matrices de Pauli Le terme \( -\dfrac{e\hbar}{2m}\vec\sigma\cdot\vec B \) est le terme de Zeeman de Dirac : \( \vec\mu = -\dfrac{e\hbar}{2m}\vec\sigma = -g_e\mu_B\vec S/\hbar \) avec \( g_e = 2 \) (facteur de Landé) L'équation de Dirac prédit automatiquement \( g_e = 2 \) — expérimentalement mesuré à \( g_e \approx 2{,}00232 \) (la différence de 0,12% est due aux corrections QED, accord spectaculaire). 5.2 — La prédiction de l'antimatière L'équation de Dirac admet deux types de solutions d'énergie : \( E = +\sqrt{p^2c^2 + m^2c^4} > 0 \) (électron) et \( E = -\sqrt{p^2c^2+m^2c^4} < 0 \) (problème !). Dirac propose alors une interprétation audacieuse : ⚡ La mer de Dirac et la prédiction du positron (1930–1931) Dirac postule que tous les états d'énergie négative sont déjà occupés par des électrons (principe d'exclusion de Pauli pour les fermions) — formant la "mer de Dirac". Un "trou" dans la mer de Dirac (un état d'énergie négative inoccupé) se comporte comme une particule d'énergie positive, de charge opposée à l'électron et de même masse. Dirac prédit ainsi l'existence du positron (antiélectron) en 1931. Carl Anderson le découvre expérimentalement en 1932 dans les rayons cosmiques — exactement comme prédit. C'est la première découverte d'une antiparticule. Interprétation moderne (théorie quantique des champs) : la mer de Dirac est remplacée par le formalisme des champs quantiques : les solutions d'énergie négative correspondent aux modes d'antiparticules, et la seconde quantification donne une image cohérente sans "mer" infinie. 5.3 — La structure fine de l'hydrogène La solution exacte de l'équation de Dirac pour l'atome d'hydrogène (proton fixe) donne les niveaux d'énergie avec corrections relativistes incluses : Niveaux d'énergie de Dirac pour l'atome d'hydrogène \[ E_{nj} = m_ec^2\left[1 + \left(\frac{\alpha}{n - (j+\tfrac12) + \sqrt{(j+\tfrac12)^2 - \alpha^2}}\right)^2\right]^{-1/2} - m_ec^2 \] \( \alpha = e^2/(4\pi\varepsilon_0\hbar c) \approx 1/137 \) — constante de structure fine \( j = \ell \pm 1/2 \) — nombre quantique de moment cinétique total \( n \) — nombre quantique principal En développant en série de \( \alpha \ll 1 \) : \( E_{nj} \approx -\dfrac{13{,}6 \ \text{eV}}{n^2}\left[1 + \dfrac{\alpha^2}{n^2}\left(\dfrac{n}{j+1/2} - \dfrac{3}{4}\right)\right] \) La correction en \( \alpha^2 \approx 5{,}3\times10^{-5} \) lève la dégénérescence entre états de même \( n \) mais \( j \) différents — c'est la structure fine, mesurée expérimentalement à \( \Delta E_{2p_{1/2}-2s_{1/2}} \approx 45 \mu\text{eV} \). Partie 6 — Bilan comparatif complet ❌ Klein-Gordon Équation du second ordre en temps Densité de probabilité peut être négative Deux conditions initiales requises Spin non inclus (scalaire) Problème des énergies négatives non résolu Correcte pour bosons scalaires (pion, Higgs) Ne prédit pas \( g_e = 2 \) ✅ Dirac Équation du premier ordre en espace et temps Densité de probabilité toujours positive Une seule condition initiale (comme Schrödinger) Spin 1/2 émergent naturellement Prédit l'antimatière (positron, 1932) Correcte pour fermions de spin 1/2 (e, µ, quarks) Prédit \( g_e = 2 \) exactement (corrections QED : 2,002…) PropriétéSchrödingerKlein-GordonDirac Ordre en ∂_t1er2ème1er Invariance de LorentzNonOuiOui Densité ρ ≥ 0OuiNon (en général)Oui SpinPostuléAbsent (spin 0)Spin 1/2 automatique AntiparticulesNonImpliciteNaturellement Nombre composantes ψ1 (scalaire)1 (scalaire)4 (spineur) Particules décritesNon-relativisteBosons scalairesFermions spin 1/2 Exercices Corrigés Vert — Niveau 1 Bleu — Niveau 2 Violet — Niveau 3 Rouge — Avancé 1 Solutions planes de Klein-Gordon — dispersion relativiste Niveau 1 — Relations de dispersion 📋 Énoncé On cherche les solutions en ondes planes de l'équation de Klein-Gordon : \( \psi = \psi_0\,e^{i(k^\mu x_\mu)} = \psi_0\,e^{i(\vec k\cdot\vec r - \omega t)} \). 1. Substituer dans \( (\Box + m^2c^2/\hbar^2)\psi = 0 \) et trouver la relation de dispersion \( \omega(k) \). 2. Identifier les deux familles de solutions (\( \omega > 0 \) et \( \omega < 0 \)) et calculer leur énergie. 3. Calculer la vitesse de groupe \( v_g = d\omega/dk \) et montrer qu'elle est toujours \( < c \). 4. Pour un pion (\( m_\pi c^2 = 135 \ \text{MeV} \)) avec \( p = m_\pi c \), calculer \( E \), \( \omega \), et \( v_g/c \). Données m_π c² = 135 MeV | ħ = 1,055×10⁻³⁴ J·s | c = 3×10⁸ m/s 📖 Voir le corrigé ▼ 1 \( \Box\psi = \dfrac{1}{c^2}\partial_t^2\psi - \nabla^2\psi = \dfrac{(-i\omega)^2}{c^2}\psi - (i\vec k)^2\psi = \left(-\dfrac{\omega^2}{c^2} + k^2\right)\psi \) En substituant dans KG : \( \left(-\dfrac{\omega^2}{c^2} + k^2 + \dfrac{m^2c^2}{\hbar^2}\right)\psi = 0 \) Relation de dispersion : \( \boxed{\omega^2 = k^2c^2 + \dfrac{m^2c^4}{\hbar^2}} \) 2 \( \omega = \pm\dfrac{1}{\hbar}\sqrt{\hbar^2k^2c^2 + m^2c^4} = \pm\dfrac{E_k}{\hbar} \) Famille \( \omega > 0 \) : \( E = +\sqrt{p^2c^2 + m^2c^4} > 0 \) — solutions particules Famille \( \omega < 0 \) : \( E = -\sqrt{p^2c^2 + m^2c^4} p^2c^2 \), on a \( E > pc \), donc \( v_g = pc^2/E < c \) ✓ 4 \( p = m_\pi c \), \( m_\pi c^2 = 135 \ \text{MeV} \) \( E = \sqrt{p^2c^2 + m_\pi^2c^4} = \sqrt{(m_\pi c\cdot c)^2 + (m_\pi c^2)^2} = m_\pi c^2\sqrt{2} \approx \mathbf{191 \ \text{MeV}} \) \( v_g = pc^2/E = m_\pi c\cdot c^2/(m_\pi c^2\sqrt{2}) = c/\sqrt{2} \approx \mathbf{0{,}707c} \) Résultats \( \omega^2 = k^2c^2 + m^2c^4/\hbar^2 \) — \( v_g = pc^2/E < c \) — Pion : \( E = 191 \ \text{MeV} \), \( v_g = c/\sqrt{2} \) 2 Vérification de l'algèbre de Clifford Niveau 2 — Matrices gamma 📋 Énoncé On utilise la représentation de Dirac-Pauli avec \( \gamma^0 = \text{diag}(1,1,-1,-1) \) et \( \gamma^1 \) donné par les matrices de Pauli. 1. Vérifier explicitement que \( (\gamma^0)^2 = \mathbf{1}_4 \). 2. Calculer le commutateur \( [\gamma^0, \gamma^1] = \gamma^0\gamma^1 - \gamma^1\gamma^0 \) et montrer que \( \{\gamma^0,\gamma^1\} = 0 \). 3. Montrer que \( (\gamma^1)^2 = -\mathbf{1}_4 \) (en utilisant \( \sigma^1\sigma^1 = \mathbf{1}_2 \)). 4. Conclure sur la forme générale de l'algèbre de Clifford. 📖 Voir le corrigé ▼ 1 \( \gamma^0 = \begin{pmatrix}\mathbf{1}&\mathbf{0}\\\mathbf{0}&-\mathbf{1}\end{pmatrix} \) \( (\gamma^0)^2 = \begin{pmatrix}\mathbf{1}&\mathbf{0}\\\mathbf{0}&-\mathbf{1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\mathbf{1}&\mathbf{0}\\\mathbf{0}&-\mathbf{1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\mathbf{1}\cdot\mathbf{1}&0\\0&(-\mathbf{1})(-\mathbf{1})\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\mathbf{1}&0\\0&\mathbf{1}\end{pmatrix} = \mathbf{1}_4 \) ✓ 2 \( \gamma^1 = \begin{pmatrix}\mathbf{0}&\sigma^1\\-\sigma^1&\mathbf{0}\end{pmatrix} \) \( \gamma^0\gamma^1 = \begin{pmatrix}\mathbf{1}&0\\0&-\mathbf{1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\mathbf{0}&\sigma^1\\-\sigma^1&\mathbf{0}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\mathbf{0}&\sigma^1\\\sigma^1&\mathbf{0}\end{pmatrix} \) \( \gamma^1\gamma^0 = \begin{pmatrix}\mathbf{0}&\sigma^1\\-\sigma^1&\mathbf{0}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\mathbf{1}&0\\0&-\mathbf{1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\mathbf{0}&-\sigma^1\\-\sigma^1&\mathbf{0}\end{pmatrix} \) \( \{\gamma^0,\gamma^1\} = \gamma^0\gamma^1 + \gamma^1\gamma^0 = \begin{pmatrix}0&\sigma^1-\sigma^1\\\sigma^1-\sigma^1&0\end{pmatrix} = \mathbf{0} \) ✓ Conforme à \( 2\eta^{01} = 2\times0 = 0 \). 3 \( (\gamma^1)^2 = \begin{pmatrix}\mathbf{0}&\sigma^1\\-\sigma^1&\mathbf{0}\end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix}(\mathbf{0})(\mathbf{0})+\sigma^1(-\sigma^1) & 0\\ 0 & (-\sigma^1)(\sigma^1)+0\end{pmatrix} \) \( = \begin{pmatrix}-(\sigma^1)^2 & 0\\ 0 & -(\sigma^1)^2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\mathbf{1}_2&0\\0&-\mathbf{1}_2\end{pmatrix} = -\mathbf{1}_4 \) ✓ Conforme à \( 2\eta^{11}/2 = -1 \), soit \( \{\gamma^1,\gamma^1\} = 2(\gamma^1)^2 = -2\mathbf{1}_4 \). 4 En général : \( \{\gamma^\mu,\gamma^\nu\} = 2\eta^{\mu\nu}\mathbf{1}_4 \) Pour \( \mu=\nu=0 \) : \( 2(\gamma^0)^2 = 2\eta^{00} = +2 \implies (\gamma^0)^2 = +\mathbf{1} \) ✓ Pour \( \mu=\nu=i \) (spatial) : \( 2(\gamma^i)^2 = 2\eta^{ii} = -2 \implies (\gamma^i)^2 = -\mathbf{1} \) ✓ Pour \( \mu\neq\nu \) : \( \gamma^\mu\gamma^\nu = -\gamma^\nu\gamma^\mu \) (anticommutation pure) Résultats \( (\gamma^0)^2 = +\mathbf{1}_4 \) ✓ — \( \{\gamma^0,\gamma^1\} = \mathbf{0} \) ✓ — \( (\gamma^1)^2 = -\mathbf{1}_4 \) ✓ — Algèbre de Clifford vérifiée 3 Solutions planes de Dirac — spineurs de particule et antiparticule Niveau 2 — Spineurs de Dirac 📋 Énoncé On cherche des solutions en ondes planes de l'équation de Dirac : \( \psi = u(\vec p)\,e^{i(\vec p\cdot\vec r - Et)/\hbar} \) (énergie positive, particule). 1. Substituer dans l'équation de Dirac et obtenir l'équation algébrique pour le spineur \( u(\vec p) \). 2. Pour une particule au repos (\( \vec p = 0 \)), trouver les deux spineurs indépendants de spin ↑ et ↓. 3. Montrer que pour \( \vec p = 0 \), les composantes ψ₃ et ψ₄ (antiparticules) sont nulles. 4. Pour une solution d'énergie négative \( \psi = v(\vec p)e^{-i(\vec p\cdot\vec r - |E|t)/\hbar} \), interpréter physiquement \( v \). 📖 Voir le corrigé ▼ 1 Substitution \( \partial_t \to -iE/\hbar \), \( \nabla \to i\vec p/\hbar \) dans \( (i\gamma^\mu\partial_\mu - mc/\hbar)\psi = 0 \) : \( \left(\gamma^0\dfrac{E}{c} - \vec\gamma\cdot\vec p - mc\right)u(\vec p) = 0 \) ou en notation slash : \( (\slashed{p} - mc)u = 0 \) avec \( \slashed{p} = \gamma^\mu p_\mu = \gamma^0 E/c - \vec\gamma\cdot\vec p \) 2 À \( \vec p = 0 \) : \( (\gamma^0 E/c - mc)u = 0 \implies (E/c-mc)u_{\text{haut}} = 0 \) et \( (-E/c-mc)u_{\text{bas}} = 0 \) Solutions d'énergie positive (\( E = +mc^2 \)) : \( u^{(1)} = N\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix} \) (spin ↑) et \( u^{(2)} = N\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix} \) (spin ↓) avec \( N \) facteur de normalisation. 3 Pour \( u^{(1)} \) et \( u^{(2)} \) ci-dessus, les composantes 3 et 4 sont nulles. Physiquement : à \( \vec p = 0 \) et \( E = +mc^2 \), l'électron est au repos et dans un état pur de particule — aucune composante d'antiparticule (petite composante nulle). En régime relativiste (\( p \gg mc \)), la petite composante devient comparable à la grande. 4 Les spineurs \( v(\vec p) \) des solutions d'énergie négative décrivent les modes d'antiparticules. Interprétation moderne (TQC) : le champ de Dirac se développe en : \( \psi(x) = \sum_{s}\int\dfrac{d^3p}{(2\pi)^3}\left[b_s(\vec p)\,u^s(\vec p)\,e^{ipx} + d_s^\dagger(\vec p)\,v^s(\vec p)\,e^{-ipx}\right] \) où \( b_s \) annihile un électron et \( d_s^\dagger \) crée un positron — le spineur \( v \) est la fonction d'onde du positron (charge opposée, même masse). Résultats \( (\slashed{p}-mc)u=0 \) — Au repos : \( u^{(1)}=(1,0,0,0)^T \), \( u^{(2)}=(0,1,0,0)^T \) — \( v \) : spineur du positron 4 Limite non-relativiste — équation de Pauli et spin Niveau 3 — Émergence du spin 📋 Énoncé On écrit le spineur de Dirac en deux composantes à 2 éléments : \( \psi = \begin{pmatrix}\phi\\\chi\end{pmatrix} \) où \( \phi \) est la grande composante et \( \chi \) la petite. On couple à un champ EM via \( \partial_\mu \to \partial_\mu - ieA_\mu/(\hbar c) \). 1. Écrire les deux équations couplées en \( \phi \) et \( \chi \) dans la représentation de Dirac-Pauli. 2. Dans la limite non-relativiste \( E \approx mc^2 + \varepsilon \) avec \( \varepsilon \ll mc^2 \), montrer que \( \chi \approx \dfrac{\vec\sigma\cdot(\vec p - e\vec A)}{2mc}\phi \) (petite composante). 3. Substituer dans l'équation de \( \phi \) et utiliser l'identité de Pauli \( (\vec\sigma\cdot\vec a)(\vec\sigma\cdot\vec b) = \vec a\cdot\vec b + i\vec\sigma\cdot(\vec a\times\vec b) \) pour obtenir l'équation de Pauli. 4. Identifier le terme de Zeeman et montrer que \( g_e = 2 \) émerge naturellement. 📖 Voir le corrigé ▼ 1 L'équation de Dirac couplée \( [i\gamma^\mu(\partial_\mu - ieA_\mu/\hbar c) - mc/\hbar]\psi = 0 \) donne, en décomposant : \( (E-mc^2-e\varphi)\phi = c\vec\sigma\cdot(\vec p - e\vec A/c)\chi \) \( (E+mc^2-e\varphi)\chi = c\vec\sigma\cdot(\vec p - e\vec A/c)\phi \) 2 Posons \( E = mc^2 + \varepsilon \). Dans l'approximation non-relativiste, \( \varepsilon \ll mc^2 \) et \( e\varphi \ll mc^2 \) : De l'équation pour \( \chi \) : \( (E+mc^2-e\varphi)\chi \approx 2mc^2\chi \) \( \chi \approx \dfrac{c\vec\sigma\cdot(\vec p - e\vec A/c)}{2mc^2}\phi = \dfrac{\vec\sigma\cdot(\vec p - e\vec A/c)}{2mc}\phi \) La petite composante est bien \( \sim (v/c)\phi \) ✓ 3 En substituant \( \chi \) dans l'équation pour \( \phi \) : \( \varepsilon\phi = \dfrac{1}{2m}\left[\vec\sigma\cdot\left(\vec p - \dfrac{e\vec A}{c}\right)\right]^2\phi + e\varphi\phi \) Identité de Pauli : \( \left[\vec\sigma\cdot\vec\pi\right]^2 = \pi^2 + i\vec\sigma\cdot(\vec\pi\times\vec\pi) \) où \( \vec\pi = \vec p - e\vec A/c \) Or \( \vec\pi\times\vec\pi = -\dfrac{ie}{c}(\nabla\times\vec A) = -\dfrac{ie}{c}\vec B \) \( \varepsilon\phi = \dfrac{(\vec p - e\vec A)^2}{2m}\phi - \dfrac{e\hbar}{2mc}\vec\sigma\cdot\vec B\,\phi + e\varphi\phi \) 4 Le terme de Zeeman est \( -\dfrac{e\hbar}{2mc}\vec\sigma\cdot\vec B = -\dfrac{e\hbar}{mc}\vec S/\hbar\cdot\vec B \) où \( \vec S = \hbar\vec\sigma/2 \) \( H_{\text{Zeeman}} = -\dfrac{e}{mc}\vec S\cdot\vec B = -g_e\dfrac{e}{2mc}\vec S\cdot\vec B \) avec \( \mathbf{g_e = 2} \) Le facteur gyromagnétique \( g_e = 2 \) sort naturellement de l'équation de Dirac, sans aucun paramètre libre. La valeur expérimentale est \( g_e = 2{,}002319 \) — la correction de 0,1% vient des boucles quantiques (QED). Résultats \( \chi \approx \dfrac{\vec\sigma\cdot\vec\pi}{2mc}\phi \) — Équation de Pauli avec \( g_e = 2 \) émergent naturellement — pas de postulat sur le spin ! 5 Courant de Dirac et conservation — réponse au problème de Klein-Gordon Avancé — Conservation du courant 📋 Énoncé Avancé On définit le spineur adjoint de Dirac \( \bar\psi = \psi^\dagger\gamma^0 \) et le courant \( j^\mu = c\bar\psi\gamma^\mu\psi \). 1. Montrer que si \( \psi \) satisfait l'équation de Dirac, alors \( \partial_\mu j^\mu = 0 \) (conservation du courant 4D). 2. Montrer que la densité temporelle \( j^0 = c\psi^\dagger\psi = c\sum_{a=1}^4|\psi_a|^2 \) est toujours positive — contrairement à Klein-Gordon. 3. Comparer avec le courant de Klein-Gordon \( j_{\text{KG}}^\mu = \dfrac{i\hbar}{2m}(\psi^*\partial^\mu\psi - \psi\partial^\mu\psi^*) \) et montrer que sa composante temporelle peut être négative. 4. Quel est le lien entre la conservation de \( j^\mu \) de Dirac et la symétrie de jauge U(1) via le théorème de Noether ? 📖 Voir le corrigé avancé ▼ 1 L'équation de Dirac : \( i\hbar\gamma^\mu\partial_\mu\psi = mc\psi \) Son hermitien conjugué (en utilisant \( (\gamma^0)^\dagger = \gamma^0 \), \( (\gamma^i)^\dagger = -\gamma^i \), soit \( (\gamma^\mu)^\dagger = \gamma^0\gamma^\mu\gamma^0 \)) : \( -i\hbar(\partial_\mu\bar\psi)\gamma^\mu = mc\bar\psi \) Calculons \( \partial_\mu j^\mu = c\partial_\mu(\bar\psi\gamma^\mu\psi) = c[(\partial_\mu\bar\psi)\gamma^\mu\psi + \bar\psi\gamma^\mu(\partial_\mu\psi)] \) \( = c\left[\dfrac{imc}{\hbar}\bar\psi\psi + \bar\psi\dfrac{(-imc)}{\hbar}\psi\right] = 0 \) ✓ 2 \( j^0 = c\bar\psi\gamma^0\psi = c\psi^\dagger(\gamma^0)^\dagger\gamma^0\psi = c\psi^\dagger(\gamma^0)^2\psi = c\psi^\dagger\psi \) (car \( (\gamma^0)^2 = \mathbf{1} \)) \( j^0 = c\sum_{a=1}^4\psi_a^*\psi_a = c\sum_{a=1}^4|\psi_a|^2 \geq 0 \) — toujours positif ✓ C'est une somme de carrés — jamais négative, quelle que soit la solution. 3 Pour une solution KG de la forme \( \psi = Ae^{i(kx-\omega t)} \) : \( j^0_{\text{KG}} = \dfrac{i\hbar}{2m}(\psi^*\partial_t\psi - \psi\partial_t\psi^*) = \dfrac{i\hbar}{2m}[A^*(-i\omega)A - A(i\omega)A^*] = \dfrac{\hbar\omega}{m}|A|^2 \) Si \( \omega < 0 \) (solutions d'énergie négative) : \( j^0_{\text{KG}} < 0 \) ! C'est le problème fondamental de Klein-Gordon — la densité peut être négative. 4 La densité lagrangienne de Dirac : \( \mathcal{L} = \bar\psi(i\hbar\gamma^\mu\partial_\mu - mc)\psi \) est invariante sous la symétrie de jauge globale U(1) : \( \psi \to e^{i\alpha}\psi \), \( \bar\psi \to e^{-i\alpha}\bar\psi \) avec paramètre continu \( \alpha \in \mathbb{R} \) constant. Par le théorème de Noether, cette symétrie implique la conservation du courant : \( j^\mu = \dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\psi)}\cdot i\psi + \text{c.c.} = i(i\hbar\bar\psi\gamma^\mu)\cdot i\psi = \hbar c\bar\psi\gamma^\mu\psi \) \( \partial_\mu j^\mu = 0 \) — conservation de la charge électrique ✓ La charge conservée \( Q = \int j^0 d^3x/c = \hbar\int\psi^\dagger\psi\,d^3x \) est la charge totale de l'électron — toujours positive pour une particule seule. Résultats \( \partial_\mu j^\mu = 0 \) — \( j^0 = c\psi^\dagger\psi \geq 0 \) toujours — KG : \( j^0_{\text{KG}} < 0 \) si \( \omega < 0 \) — Symétrie U(1) → conservation de charge (Noether) Les pièges classiques à éviter ✕ "L'équation de Klein-Gordon est fausse" : elle est correcte pour les bosons scalaires (spin 0) — le pion, le boson de Higgs. Le problème de la densité négative est réinterprété comme une densité de charge dans la théorie des champs : positive pour la particule, négative pour l'antiparticule. Klein-Gordon n'est pas fausse, elle est mal adaptée aux fermions de spin 1/2. ✕ "La mer de Dirac est la description moderne correcte" : la mer de Dirac est une interprétation historique utile mais remplacée par la théorie quantique des champs (TQC). En TQC, les solutions d'énergie négative sont réinterprétées via la seconde quantification — les opérateurs de création de positrons — sans nécessiter de "mer" infinie d'électrons virtuels. ✕ "Les 4 composantes du spineur de Dirac correspondent aux 4 directions de l'espace" : les 4 composantes encodent 2 états de spin (↑ et ↓) × 2 types de particules (électron et positron). Ce n'est pas lié aux 4 dimensions de l'espace-temps — c'est la structure interne de la particule. ✕ "Dirac a postulé le spin 1/2 de l'électron" : c'est l'inverse — c'est un résultat. Dirac a postulé uniquement la linéarité en \( \partial_t \) et l'invariance de Lorentz. Le spin 1/2, le moment magnétique \( g_e = 2 \) et l'antimatière sont tous des prédictions non anticipées, qui émergent de la structure mathématique de l'équation. Maîtriser la physique quantique relativiste ? Cours complets sur la théorie quantique des champs, les symétries de jauge, le Modèle Standard et la QED. Voir les cours → Pour aller plus loin Ces articles complètent ta compréhension de la physique quantique relativiste. ⚛️ Électron dans l'Atome d'Hydrogène L'équation de Schrödinger — le point de départ dont Dirac est la généralisation relativiste. 📐 Principe de Moindre Action L'action de Dirac \( \mathcal{L} = \bar\psi(i\hbar\gamma^\mu\partial_\mu - mc)\psi \) est le fondement variationnel de tout. 🌌 L'Espace-Temps et le Vide La mer de Dirac et les fluctuations du vide quantique — liées à l'énergie du point zéro. 🔬 Le Modèle Standard Tous les fermions du Modèle Standard obéissent à une généralisation de l'équation de Dirac.

Étiquette : Équation de Klein-Gordon

L’Équation de Dirac — Pourquoi pas Klein-Gordon ?

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