II — Modèles linéaire et exponentiel

Cours — Les modèles démographiques

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Les modèles démographiques — Enseignement Scientifique Terminale

📘 Modèles linéaire et exponentiel

Quand la variation absolue est constante → suite arithmétique → modèle linéaire (droite). Quand le taux de variation est constant → suite géométrique → modèle exponentiel (courbe). Le modèle exponentiel permet de calculer le temps de doublement d’une population.

📐 Le modèle linéaire (suite arithmétique)

Représentation graphique d'une suite arithmétique : les points (n, u(n)) sont alignés sur une droite. La raison r est constante (u(n+1) − u(n) = r). Exemple : u(0) = 3, u(n+1) = u(n) + 2 → les points forment une droite de pente 2. — *Suite arithmétique : variation absolue constante → points alignés sur une droite → modèle linéaire*

Nuage de points du nombre total d'exploitations agricoles en France métropolitaine depuis 1970 (points bleus) ajusté par un modèle linéaire (droite verte) : la variation absolue du nombre d'exploitations est quasi constante d'une décennie à l'autre (diminution régulière). Le modèle linéaire est bien adapté dans ce cas. — *Modèle linéaire : nombre d’exploitations agricoles en France métropolitaine — variation absolue quasi constante → droite*

• Suite arithmétique : u(n+1) − u(n) = r (raison = constante).
• Représentation graphique : points alignés sur une droite.
• Utilisation : ressources alimentaires, effectifs à variation absolue quasi constante.
• Limite : inadapté si la variation absolue varie fortement (ex. population mondiale).

📐 Le modèle exponentiel (suite géométrique)

Représentation graphique d'une suite géométrique : les points (n, u(n)) suivent une courbe exponentielle. Le taux de variation u(n+1)/u(n) = q est constant (raison). Exemple : u(0) = 3, u(n+1) = 2 × u(n) → courbe exponentielle de raison 2. — *Suite géométrique : taux de variation constant → points sur une courbe exponentielle → modèle exponentiel*

Nuage de points de la population subsaharienne entre 1950 et 2020 (points rouges) ajusté par un modèle exponentiel (courbe verte) : la courbe exponentielle se confond presque parfaitement avec les données démographiques réelles, confirmant que le taux de variation est quasi constant dans cette région. — *Modèle exponentiel : population subsaharienne 1950-2020 — taux de variation quasi constant → courbe exponentielle*

• Suite géométrique : u(n+1)/u(n) = q (raison = constante).
• Terme général : u(n) = u(0) × qⁿ.
• Représentation graphique : courbe exponentielle.

👉 Population subsaharienne : u(0) = 868 M (2010), q = 1,02705.
u(40) = 868 × 1,02705⁴⁰ ≈ 2 524 M en 2050.

📐 Le temps de doublement

τ = ln(2) / ln(q)

Démonstration : on cherche τ tel que u(n+τ) = 2 × u(n).
u(n+τ) = u(0) × qⁿ⁺τ = u(n) × qτ = 2 × u(n) → qτ = 2 → τ × ln(q) = ln(2) → τ = ln(2) / ln(q).

👉 Brésil : q = 1,024 → τ = ln(2)/ln(1,024) = 29 ans (population double tous les 29 ans).

💡 À retenir

• Suite arithmétique : u(n+1) − u(n) = r (constante) → droite → modèle linéaire.
• Suite géométrique : u(n+1)/u(n) = q (constante) → courbe exponentielle → modèle exponentiel.
• Terme général : u(n) = u(0) × qⁿ.
• Temps de doublement : τ = ln(2)/ln(q).

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