📘 Le modèle de Malthus
À la fin du XVIIIe siècle, l’économiste Thomas Malthus développe un modèle démographique exponentiel intégrant les taux de natalité et de mortalité. Ce modèle prédit que si la natalité dépasse la mortalité, la population croît vers l’infini. Il présente cependant des limites importantes en situation réelle (croissance illimitée impossible, taux variables).
📐 Le modèle de Malthus
• Principe : le taux de variation de l’effectif est proportionnel à l’effectif courant, via les taux de natalité (a) et de mortalité (b) supposés constants.
• Formule :
u(n+1) / u(n) = a × u(n) − b × u(n)
Taux de variation = taux de natalité (a) − taux de mortalité (b)
→ Ce modèle est une suite géométrique de raison q = 1 + (a − b) = 1 + taux d’accroissement naturel.
📐 Conditions de convergence
| Condition | Comportement de la population |
|---|---|
| Natalité < mortalité (a < b → taux d’accroissement < 0) | Effectif décroît vers 0 (extinction) |
| Natalité = mortalité (a = b → taux d’accroissement = 0) | Effectif stable |
| Natalité > mortalité (a > b → taux d’accroissement > 0) | Effectif croît vers +∞ |
📌 Malthus note que la croissance géométrique de la population (doublement tous les 25 ans) est bien plus rapide que la croissance arithmétique des ressources alimentaires → risque de surpopulation → régulation par guerres, épidémies ou famine.
📐 Limites du modèle en situation réelle
1️⃣ Croissance illimitée impossible : si taux d’accroissement > 0, effectif → +∞. Or la Terre a une capacité alimentaire limitée.
2️⃣ Taux non constants : Malthus suppose natalité et mortalité constantes. En réalité, ces taux ont fortement baissé en Europe depuis le XVIIIe siècle (transition démographique).
3️⃣ Le modèle est correct sur courte période mais diverge à long terme.
💡 À retenir
• Modèle de Malthus : u(n+1)/u(n) = 1 + (a − b) = suite géométrique.
• Si a > b → population → +∞ ; si a < b → population → 0 ; si a = b → stable.
• Limite 1 : croissance illimitée impossible (ressources finies).
• Limite 2 : taux de natalité et mortalité non constants dans la réalité.
• Pertinent à court terme, inexact à long terme.