La Loi de Bernoulli :
Cours Complet &
Exercices Corrigés
Équation de continuité, théorème de Bernoulli, théorème de Torricelli, effet Venturi — tout comprendre sur l’écoulement des fluides, avec la méthode complète et 5 exercices corrigés niveau bac.
Partie 1 — Les concepts fondamentaux des fluides
1.1 — Qu’est-ce qu’un fluide ?
Un fluide est un corps qui peut s’écouler : liquides et gaz. En physique de Terminale, on étudie les fluides en s’appuyant sur des hypothèses simplificatrices qui permettent d’obtenir des équations analytiques.
1.2 — Les grandeurs clés à connaître
| Grandeur | Symbole | Unité | Signification |
|---|---|---|---|
| Pression | \( P \) | Pascal (Pa) | Force par unité de surface exercée par le fluide |
| Masse volumique | \( \rho \) | kg/m³ | Masse par unité de volume du fluide |
| Vitesse d’écoulement | \( v \) | m/s | Vitesse locale du fluide en un point |
| Section transversale | \( S \) | m² | Aire de la section droite du tube/conduit |
| Débit volumique | \( Q_v \) | m³/s | Volume de fluide traversant une section par seconde |
| Hauteur | \( z \) | m | Altitude du point par rapport à un niveau de référence |
Partie 2 — L’équation de continuité
Avant même Bernoulli, il faut maîtriser l’équation de continuité — la loi de conservation du débit. Elle découle d’un principe simple : dans un écoulement permanent et incompressible, ce qui entre dans un tube doit en sortir au même rythme. Le débit volumique est constant tout au long du tube.
\( S_1, S_2 \) — sections transversales en 1 et 2 (en m²)
\( v_1, v_2 \) — vitesses d’écoulement en 1 et 2 (en m/s)
Conséquence clé : là où la section diminue (\( S_2 < S_1 \)), la vitesse augmente (\( v_2 > v_1 \)).
Partie 3 — Le théorème de Bernoulli
3.1 — Hypothèses
Le théorème de Bernoulli s’applique sous les conditions suivantes — à vérifier systématiquement dans chaque exercice :
- Fluide parfait : pas de viscosité, donc pas de frottements internes ni perte d’énergie.
- Fluide incompressible : masse volumique \( \rho \) constante tout au long de l’écoulement.
- Écoulement permanent : les propriétés en chaque point ne varient pas dans le temps.
- Le long d’une ligne de courant : Bernoulli s’applique entre deux points situés sur la même ligne de courant (même filet fluide).
3.2 — L’équation de Bernoulli
Le théorème de Bernoulli est une expression de la conservation de l’énergie mécanique pour un fluide en écoulement. Il dit que la somme de trois termes — pression, énergie cinétique volumique, énergie potentielle de pesanteur — reste constante le long d’une ligne de courant.
\( \frac{1}{2}\rho v^2 \) — pression dynamique : énergie cinétique par unité de volume (Pa)
\( \rho g z \) — pression hydrostatique : énergie potentielle par unité de volume (Pa)
\( \rho \) — masse volumique du fluide (kg/m³)
\( g = 9{,}81 \ \text{m/s}^2 \) — intensité de la pesanteur
\( z \) — altitude du point (en m), par rapport à un niveau de référence choisi librement
\( P \) — la pression statique : énergie de pression stockée par le fluide.
\( \frac{1}{2}\rho v^2 \) — la pression dynamique : énergie cinétique par unité de volume.
Quand la vitesse augmente, ce terme augmente.
\( \rho g z \) — la pression de pesanteur : énergie potentielle par unité de volume.
Elle augmente avec l’altitude.
Idée fondamentale : si la vitesse augmente (terme 2 augmente), la pression P doit diminuer
pour que la somme reste constante. C’est l’effet Venturi —
et c’est ce qui explique la portance des ailes d’avion.
Partie 4 — Les cas particuliers importants
4.1 — Théorème de Torricelli (réservoir à surface libre)
Un réservoir large est percé d’un petit orifice à une hauteur \( h \) sous la surface libre. Quelle est la vitesse de sortie du fluide ? C’est le théorème de Torricelli, cas particulier de Bernoulli.
On applique Bernoulli entre la surface libre (point 1, \( z_1 = h \)) et l’orifice (point 2, \( z_2 = 0 \)) :
\[ P_{\text{atm}} + \frac{1}{2}\rho \cdot 0^2 + \rho g h = P_{\text{atm}} + \frac{1}{2}\rho v_2^2 + 0 \]Les pressions atmosphériques et le terme \( v_1 \approx 0 \) (réservoir large) se simplifient :
\[ \boxed{v_2 = \sqrt{2gh}} \]4.2 — Effet Venturi
Dans un tube horizontal (même altitude) à section variable, la vitesse augmente là où la section diminue, et la pression diminue en conséquence. C’est l’effet Venturi — à la base du carburateur, du nébuliseur, et de la portance des ailes d’avion.
Bernoulli avec \( z_1 = z_2 \) (tube horizontal) :
\[ P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 \] \[ \Rightarrow \quad P_1 – P_2 = \frac{1}{2}\rho(v_2^2 – v_1^2) \]Là où le fluide va vite, la pression est plus faible.
Partie 5 — La méthode en 5 étapes pour tout exercice
Identifier les deux points d’application
Choisir les points 1 et 2 sur la même ligne de courant. Souvent : entrée/sortie du tube, surface libre/orifice, section large/section étroite.
Vérifier les hypothèses
Fluide parfait, incompressible, écoulement permanent. Si une condition n’est pas remplie, Bernoulli ne s’applique pas directement.
Choisir le niveau de référence pour z
Le choix est libre. Prendre \( z = 0 \) au point le plus bas pour simplifier les calculs. Mesurer \( z_1 \) et \( z_2 \) depuis cette référence.
Écrire Bernoulli entre les deux points
\( P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho g z_1 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho g z_2 \) — puis identifier les termes connus et inconnus.
Utiliser la continuité si nécessaire
Si deux vitesses sont inconnues, l’équation \( S_1 v_1 = S_2 v_2 \) fournit la relation manquante. Combiner les deux équations pour résoudre.
Pression statique + Cinétique + Pesanteur = constante
Mémo : “Pression, Cinétique, Poids — la somme reste en paix.”
Chaque terme a les dimensions d’une pression (Pa = J/m³) — c’est une énergie par unité de volume.
Partie 6 — Applications concrètes de l’effet Bernoulli
L’air va plus vite sur l’extrados (dessus) que sur l’intrados (dessous) → pression plus faible au-dessus → force vers le haut = portance.
Un flux d’air rapide au-dessus d’un tube vertical crée une dépression qui aspire le liquide vers le haut — principe du carburateur et du nébuliseur médical.
Une balle en rotation crée une asymétrie de vitesse de l’air autour d’elle → différence de pression → trajectoire courbée (balle de foot, tennis, baseball).
Le tube de Venturi médical mesure le débit en mesurant la différence de pression entre une section large et une section étroite dans un conduit.
Le théorème de Torricelli calcule la vitesse de vidange d’un réservoir par un orifice — utilisé en génie civil pour les barrages et les conduites.
Les pompes hydrauliques exploitent Bernoulli pour déplacer les fluides en jouant sur les différences de section et de pression dans les conduites.
Exercices Corrigés
Équation de continuité — débit et vitesse
Niveau 1 — ContinuitéDe l’eau s’écoule dans un tuyau dont la section passe de \( S_1 = 50 \ \text{cm}^2 \) à \( S_2 = 10 \ \text{cm}^2 \). La vitesse en 1 est \( v_1 = 0{,}4 \ \text{m/s} \).
1. Calculer le débit volumique \( Q_v \).
2. Calculer la vitesse \( v_2 \) dans la section étroite.
3. Qualitativement : que se passe-t-il à la pression en 2 ?
\( Q_v = S_1 \cdot v_1 = 50\times10^{-4} \times 0{,}4 = \mathbf{2\times10^{-3} \ \text{m}^3/\text{s} = 2 \ \text{L/s}} \)
\( S_1 v_1 = S_2 v_2 \implies v_2 = \dfrac{S_1 v_1}{S_2} = \dfrac{50\times10^{-4}\times0{,}4}{10\times10^{-4}} = \mathbf{2 \ \text{m/s}} \)
La vitesse est multipliée par 5 car la section est divisée par 5.
En 2, la vitesse est plus grande → le terme \( \frac{1}{2}\rho v^2 \) augmente → la pression \( P_2 \) diminue (Bernoulli à même altitude). C’est l’effet Venturi.
Théorème de Torricelli — vidange d’un réservoir
Niveau 2 — TorricelliUn réservoir contient de l’eau. La surface libre est à \( h = 1{,}8 \ \text{m} \) au-dessus d’un orifice circulaire de diamètre \( d = 2 \ \text{cm} \) percé dans la paroi latérale. La pression atmosphérique règne à la surface et à l’orifice.
1. En appliquant Bernoulli, démontrer que \( v_2 = \sqrt{2gh} \).
2. Calculer la vitesse de sortie \( v_2 \).
3. Calculer le débit volumique de fuite.
Point 1 (surface) : \( P_1 = P_{\text{atm}} \), \( v_1 \approx 0 \) (réservoir large), \( z_1 = h \)
Point 2 (orifice) : \( P_2 = P_{\text{atm}} \), \( v_2 = ? \), \( z_2 = 0 \)
Bernoulli : \( P_{\text{atm}} + 0 + \rho g h = P_{\text{atm}} + \frac{1}{2}\rho v_2^2 + 0 \)
Les \( P_{\text{atm}} \) se simplifient : \( \rho g h = \frac{1}{2}\rho v_2^2 \)
\[ \Rightarrow v_2 = \sqrt{2gh} \quad \checkmark \]
\( v_2 = \sqrt{2\times9{,}81\times1{,}8} = \sqrt{35{,}3} \approx \mathbf{5{,}94 \ \text{m/s}} \)
Section de l’orifice : \( S_2 = \pi(d/2)^2 = \pi\times(0{,}01)^2 = \pi\times10^{-4} \approx 3{,}14\times10^{-4} \ \text{m}^2 \)
\( Q_v = S_2 \times v_2 = 3{,}14\times10^{-4}\times5{,}94 \approx \mathbf{1{,}87\times10^{-3} \ \text{m}^3/\text{s} \approx 1{,}87 \ \text{L/s}} \)
Effet Venturi — différence de pression
Niveau 2 — VenturiDe l’eau s’écoule horizontalement dans un tube de Venturi. En section 1, \( S_1 = 40 \ \text{cm}^2 \) et \( v_1 = 0{,}5 \ \text{m/s} \). En section 2 (étranglement), \( S_2 = 8 \ \text{cm}^2 \). \( \rho_{\text{eau}} = 1\,000 \ \text{kg/m}^3 \).
1. Calculer \( v_2 \) par la continuité.
2. Calculer la différence de pression \( P_1 – P_2 \).
3. Expliquer pourquoi le tube de Venturi peut servir à mesurer un débit.
\( v_2 = \dfrac{S_1 v_1}{S_2} = \dfrac{40\times10^{-4}\times0{,}5}{8\times10^{-4}} = \mathbf{2{,}5 \ \text{m/s}} \)
Bernoulli horizontal (\( z_1 = z_2 \)) :
\( P_1 – P_2 = \frac{1}{2}\rho(v_2^2 – v_1^2) = \frac{1}{2}\times1000\times(2{,}5^2 – 0{,}5^2) \)
\( = 500\times(6{,}25 – 0{,}25) = 500\times6 = \mathbf{3\,000 \ \text{Pa}} \)
En mesurant \( \Delta P = P_1 – P_2 \) avec un manomètre, on peut calculer \( v_2 \) puis \( Q_v = S_2 v_2 \). La différence de pression est directement liée au débit — c’est ainsi que fonctionne un débitmètre à effet Venturi.
Tuyau incliné — altitude et pression
Niveau 3 — Altitude + BernoulliDe l’eau circule dans un tuyau horizontal de section \( S_1 = 20 \ \text{cm}^2 \) à la pression \( P_1 = 2\times10^5 \ \text{Pa} \) et à la vitesse \( v_1 = 1 \ \text{m/s} \). Le tuyau monte ensuite jusqu’à une altitude \( z_2 = 4 \ \text{m} \) au-dessus de la section 1, avec une section \( S_2 = 5 \ \text{cm}^2 \).
1. Calculer \( v_2 \) (continuité).
2. Calculer la pression \( P_2 \) (Bernoulli).
3. Comparer \( P_2 \) à la pression atmosphérique \( P_{\text{atm}} = 10^5 \ \text{Pa} \).
\( v_2 = \dfrac{S_1 v_1}{S_2} = \dfrac{20\times1}{5} = \mathbf{4 \ \text{m/s}} \)
Bernoulli : \( P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho g z_1 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho g z_2 \)
\( P_2 = P_1 + \frac{1}{2}\rho(v_1^2 – v_2^2) + \rho g(z_1 – z_2) \)
\( P_2 = 2\times10^5 + \frac{1}{2}\times1000\times(1-16) + 1000\times9{,}81\times(0-4) \)
\( P_2 = 200\,000 + 500\times(-15) + (-39\,240) \)
\( P_2 = 200\,000 – 7\,500 – 39\,240 = \mathbf{153\,260 \ \text{Pa} \approx 1{,}53\times10^5 \ \text{Pa}} \)
\( P_2 \approx 1{,}53\times10^5 > P_{\text{atm}} = 10^5 \ \text{Pa} \) → la pression reste positive et supérieure à l’atmosphère : l’eau peut bien circuler à cette hauteur.
Circuit hydraulique complet — Type Bac
Type Bac — Toutes les questionsUn château d’eau de grande section (\( S_0 \gg \)) contient de l’eau dont la surface libre est à \( H = 25 \ \text{m} \) au-dessus du sol. L’eau s’écoule dans une conduite principale de section \( S_1 = 80 \ \text{cm}^2 \) à \( z_1 = 0 \), puis passe dans un rétrécissement de section \( S_2 = 20 \ \text{cm}^2 \) toujours au sol, avant de monter vers un appartement à \( z_3 = 10 \ \text{m} \) dans un tuyau de section \( S_3 = 10 \ \text{cm}^2 \). \( P_{\text{atm}} = 10^5 \ \text{Pa} \), \( \rho = 1\,000 \ \text{kg/m}^3 \), \( g = 9{,}81 \ \text{m/s}^2 \).
1. Calculer la vitesse \( v_1 \) dans la conduite principale (Bernoulli entre la surface et le point 1).
2. Calculer les vitesses \( v_2 \) et \( v_3 \) (continuité).
3. Calculer la pression \( P_2 \) dans le rétrécissement (Bernoulli entre 1 et 2).
4. Calculer la pression \( P_3 \) à l’entrée de l’appartement (Bernoulli entre 1 et 3).
5. L’eau monte-t-elle bien jusqu’à l’appartement ? Justifier.
Vitesse v₁ : Bernoulli entre surface (S, \( P_{\text{atm}} \), \( v_S\approx0 \), \( z_S=25 \)) et point 1 (\( P_1 \), \( v_1 \), \( z_1=0 \)) :
\( P_{\text{atm}} + 0 + \rho g H = P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 + 0 \)
Mais à la sortie de la conduite (point 1 libre vers l’air) \( P_1 = P_{\text{atm}} \) :
\( \rho g H = \frac{1}{2}\rho v_1^2 \implies v_1 = \sqrt{2gH} = \sqrt{2\times9{,}81\times25} = \sqrt{490{,}5} \approx \mathbf{22{,}2 \ \text{m/s}} \)
\( v_2 = \dfrac{S_1 v_1}{S_2} = \dfrac{80\times22{,}2}{20} = \mathbf{88{,}8 \ \text{m/s}} \)
\( v_3 = \dfrac{S_1 v_1}{S_3} = \dfrac{80\times22{,}2}{10} = \mathbf{177{,}6 \ \text{m/s}} \)
Pression P₂ : Bernoulli entre 1 et 2 (même altitude, \( P_1 = P_{\text{atm}} = 10^5 \) Pa) :
\( P_2 = P_1 + \frac{1}{2}\rho(v_1^2 – v_2^2) = 10^5 + 500\times(493 – 7\,885) \)
\( P_2 = 10^5 – 3{,}70\times10^6 \approx \mathbf{-3{,}60\times10^6 \ \text{Pa}} \)
Pression P₃ : Bernoulli entre 1 (\( z=0 \)) et 3 (\( z=10 \ \text{m} \)) :
\( P_3 = P_1 + \frac{1}{2}\rho(v_1^2-v_3^2) + \rho g(z_1-z_3) \)
\( = 10^5 + 500(493-31\,542) + 1000\times9{,}81\times(-10) \)
\( = 10^5 – 1{,}55\times10^7 – 9{,}81\times10^4 \approx \mathbf{-1{,}55\times10^7 \ \text{Pa}} \)
Les pressions \( P_2 \) et \( P_3 \) sont négatives — ce qui est physiquement impossible pour un liquide (pression absolue minimale = 0). Cela signifie que dans la réalité, la cavitation se produirait (formation de bulles de vapeur) et le modèle de fluide parfait serait mis en défaut.
Dans un vrai système, la pompe compense ces pertes et la pression reste positive. Le château d’eau à \( H=25 \ \text{m} \) crée une pression suffisante pour faire monter l’eau à \( 10 \ \text{m} \) dans les conditions réelles.
Les erreurs classiques à éviter
- Appliquer Bernoulli entre deux points sur des lignes de courant différentes : Bernoulli ne s’applique qu’entre deux points du même filet fluide. Deux points sur des lignes de courant différentes ne peuvent pas être reliés directement par Bernoulli.
- Oublier le terme \( \rho g z \) dans un tube non horizontal : si les deux points sont à la même altitude, ce terme s’annule. Sinon, il est indispensable. Un tube qui monte de 5 m représente \( \rho g \times 5 \approx 49\,050 \ \text{Pa} \) — non négligeable.
- Confondre vitesse nulle et vitesse négligeable : pour un grand réservoir, \( v_1 \approx 0 \) est une approximation valable car \( S_1 \gg S_2 \), donc \( v_1 = v_2 S_2/S_1 \ll v_2 \). Il faut le justifier par la continuité.
- Oublier de choisir un niveau de référence pour z : la valeur de z n’a de sens que par rapport à un référentiel choisi. Toujours préciser où est \( z = 0 \), et mesurer tous les z depuis ce même niveau.
- Appliquer Bernoulli à un fluide visqueux : Bernoulli suppose un fluide parfait (sans viscosité). Pour de l’huile ou un écoulement dans une longue canalisation, les pertes de charge dues aux frottements invalident Bernoulli simple.
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