Étiquette : Ecoulement des fluides

Loi de Bernoulli : Cours Complet et Exercices Terminale Physique · Mécanique des Fluides · Terminale La Loi de Bernoulli :Cours Complet &Exercices Corrigés Équation de continuité, théorème de Bernoulli, théorème de Torricelli, effet Venturi — tout comprendre sur l'écoulement des fluides, avec la méthode complète et 5 exercices corrigés niveau bac. ⏱ Lecture : 18 min 💧 Niveau : Terminale ✦ Cours + 5 Exercices Corrigés Partie 1 — Les concepts fondamentaux des fluides 1.1 — Qu'est-ce qu'un fluide ? Un fluide est un corps qui peut s'écouler : liquides et gaz. En physique de Terminale, on étudie les fluides en s'appuyant sur des hypothèses simplificatrices qui permettent d'obtenir des équations analytiques. 💧 Fluide parfait Sans viscosité (pas de frottements internes). L'eau et l'air à faible vitesse s'en approchent. 📦 Fluide incompressible Masse volumique \( \rho \) constante. Valable pour les liquides. L'eau : \( \rho = 1000 \ \text{kg/m}^3 \). ➡️ Écoulement permanent Les propriétés en chaque point ne changent pas au cours du temps. Les lignes de courant sont fixes. 1.2 — Les grandeurs clés à connaître GrandeurSymboleUnitéSignification Pression\( P \)Pascal (Pa)Force par unité de surface exercée par le fluide Masse volumique\( \rho \)kg/m³Masse par unité de volume du fluide Vitesse d'écoulement\( v \)m/sVitesse locale du fluide en un point Section transversale\( S \)m²Aire de la section droite du tube/conduit Débit volumique\( Q_v \)m³/sVolume de fluide traversant une section par seconde Hauteur\( z \)mAltitude du point par rapport à un niveau de référence Partie 2 — L'équation de continuité Avant même Bernoulli, il faut maîtriser l'équation de continuité — la loi de conservation du débit. Elle découle d'un principe simple : dans un écoulement permanent et incompressible, ce qui entre dans un tube doit en sortir au même rythme. Le débit volumique est constant tout au long du tube. Débit volumique et équation de continuité \[ Q_v = S \cdot v = \text{constante} \] \[ \Rightarrow \quad S_1 v_1 = S_2 v_2 \] \( Q_v \) — débit volumique (en m³/s) \( S_1, S_2 \) — sections transversales en 1 et 2 (en m²) \( v_1, v_2 \) — vitesses d'écoulement en 1 et 2 (en m/s) Conséquence clé : là où la section diminue (\( S_2 v_1 \)). v₁ (lente) v₂ (rapide) Section S₁ (grande) Section S₂ (petite) S₁·v₁ = S₂·v₂ = Qᵥ = constante Équation de continuité : la vitesse augmente quand la section rétrécit — comme l'eau qui accélère au goulot d'une bouteille. Partie 3 — Le théorème de Bernoulli 3.1 — Hypothèses Le théorème de Bernoulli s'applique sous les conditions suivantes — à vérifier systématiquement dans chaque exercice : 1Fluide parfait : pas de viscosité, donc pas de frottements internes ni perte d'énergie. 2Fluide incompressible : masse volumique \( \rho \) constante tout au long de l'écoulement. 3Écoulement permanent : les propriétés en chaque point ne varient pas dans le temps. 4Le long d'une ligne de courant : Bernoulli s'applique entre deux points situés sur la même ligne de courant (même filet fluide). 3.2 — L'équation de Bernoulli Le théorème de Bernoulli est une expression de la conservation de l'énergie mécanique pour un fluide en écoulement. Il dit que la somme de trois termes — pression, énergie cinétique volumique, énergie potentielle de pesanteur — reste constante le long d'une ligne de courant. Théorème de Bernoulli — La formule fondamentale \[ \boxed{P + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g z = \text{constante}} \] \[ \Leftrightarrow \quad P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho g z_1 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho g z_2 \] \( P \) — pression du fluide en Pascal (Pa) \( \frac{1}{2}\rho v^2 \) — pression dynamique : énergie cinétique par unité de volume (Pa) \( \rho g z \) — pression hydrostatique : énergie potentielle par unité de volume (Pa) \( \rho \) — masse volumique du fluide (kg/m³) \( g = 9{,}81 \ \text{m/s}^2 \) — intensité de la pesanteur \( z \) — altitude du point (en m), par rapport à un niveau de référence choisi librement z = 0 (référence) Point 1 P₁, v₁, z₁ z₁ Point 2 P₂, v₂, z₂ z₂ P₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = P₂ + ½ρv₂² + ρgz₂ Bernoulli le long d'une ligne de courant — la somme des trois termes reste constante entre le point 1 et le point 2. 💡 L'interprétation physique de chaque terme \( P \) — la pression statique : énergie de pression stockée par le fluide. \( \frac{1}{2}\rho v^2 \) — la pression dynamique : énergie cinétique par unité de volume. Quand la vitesse augmente, ce terme augmente. \( \rho g z \) — la pression de pesanteur : énergie potentielle par unité de volume. Elle augmente avec l'altitude. Idée fondamentale : si la vitesse augmente (terme 2 augmente), la pression P doit diminuer pour que la somme reste constante. C'est l'effet Venturi — et c'est ce qui explique la portance des ailes d'avion. Partie 4 — Les cas particuliers importants 4.1 — Théorème de Torricelli (réservoir à surface libre) Un réservoir large est percé d'un petit orifice à une hauteur \( h \) sous la surface libre. Quelle est la vitesse de sortie du fluide ? C'est le théorème de Torricelli, cas particulier de Bernoulli. Point 1 (surface) P₁=Patm, v₁≈0 Point 2 (orifice) P₂=Patm, v₂=? v₂ h v₂ = √(2gh) Théorème de Torricelli : la vitesse de sortie est identique à celle d'un objet tombant de la hauteur h en chute libre. Théorème de Torricelli — Démonstration On applique Bernoulli entre la surface libre (point 1, \( z_1 = h \)) et l'orifice (point 2, \( z_2 = 0 \)) : \[ P_{\text{atm}} + \frac{1}{2}\rho \cdot 0^2 + \rho g h = P_{\text{atm}} + \frac{1}{2}\rho v_2^2 + 0 \] Les pressions atmosphériques et le terme \( v_1 \approx 0 \) (réservoir large) se simplifient : \[ \boxed{v_2 = \sqrt{2gh}} \] Remarque remarquable : c'est exactement la vitesse d'un objet en chute libre depuis une hauteur \( h \). La gravité agit identiquement sur le fluide et sur un solide en chute. 4.2 — Effet Venturi Dans un tube horizontal (même altitude) à section variable, la vitesse augmente là où la section diminue, et la pression diminue en conséquence. C'est l'effet Venturi — à la base du carburateur, du nébuliseur, et de la portance des ailes d'avion. Effet Venturi — Tube horizontal (z₁ = z₂) Bernoulli avec \( z_1 = z_2 \) (tube horizontal) : \[ P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 \] \[ \Rightarrow \quad P_1 - P_2 = \frac{1}{2}\rho(v_2^2 - v_1^2) \] Si \( S_2 v_1 \) (continuité) → \( P_2 < P_1 \) Là où le fluide va vite, la pression est plus faible. Partie 5 — La méthode en 5 étapes pour tout exercice 1 Identifier les deux points d'application Choisir les points 1 et 2 sur la même ligne de courant. Souvent : entrée/sortie du tube, surface libre/orifice, section large/section étroite. 2 Vérifier les hypothèses Fluide parfait, incompressible, écoulement permanent. Si une condition n'est pas remplie, Bernoulli ne s'applique pas directement. 3 Choisir le niveau de référence pour z Le choix est libre. Prendre \( z = 0 \) au point le plus bas pour simplifier les calculs. Mesurer \( z_1 \) et \( z_2 \) depuis cette référence. 4 Écrire Bernoulli entre les deux points \( P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho g z_1 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho g z_2 \) — puis identifier les termes connus et inconnus. 5 Utiliser la continuité si nécessaire Si deux vitesses sont inconnues, l'équation \( S_1 v_1 = S_2 v_2 \) fournit la relation manquante. Combiner les deux équations pour résoudre. 💡 Astuce mémorisation — Les trois termes de Bernoulli Pression statique + Cinétique + Pesanteur = constante Mémo : "Pression, Cinétique, Poids — la somme reste en paix." Chaque terme a les dimensions d'une pression (Pa = J/m³) — c'est une énergie par unité de volume. Partie 6 — Applications concrètes de l'effet Bernoulli ✈️ Portance des ailes d'avion L'air va plus vite sur l'extrados (dessus) que sur l'intrados (dessous) → pression plus faible au-dessus → force vers le haut = portance. 🚿 Douchette et atomiseur Un flux d'air rapide au-dessus d'un tube vertical crée une dépression qui aspire le liquide vers le haut — principe du carburateur et du nébuliseur médical. ⚽ Effet Magnus (balle courbée) Une balle en rotation crée une asymétrie de vitesse de l'air autour d'elle → différence de pression → trajectoire courbée (balle de foot, tennis, baseball). 🩺 Mesure du débit sanguin Le tube de Venturi médical mesure le débit en mesurant la différence de pression entre une section large et une section étroite dans un conduit. 🏊 Vidange d'un réservoir Le théorème de Torricelli calcule la vitesse de vidange d'un réservoir par un orifice — utilisé en génie civil pour les barrages et les conduites. 🌊 Filtre de piscine / pompe Les pompes hydrauliques exploitent Bernoulli pour déplacer les fluides en jouant sur les différences de section et de pression dans les conduites. Exercices Corrigés Vert — Niveau 1 : formules directes Bleu — Niveau 2 : combinaison Violet — Niveau 3 : raisonnement Rouge — Type Bac 1 Équation de continuité — débit et vitesse Niveau 1 — Continuité 📋 Énoncé De l'eau s'écoule dans un tuyau dont la section passe de \( S_1 = 50 \ \text{cm}^2 \) à \( S_2 = 10 \ \text{cm}^2 \). La vitesse en 1 est \( v_1 = 0{,}4 \ \text{m/s} \). 1. Calculer le débit volumique \( Q_v \). 2. Calculer la vitesse \( v_2 \) dans la section étroite. 3. Qualitativement : que se passe-t-il à la pression en 2 ? Données S₁ = 50 cm² = 50×10⁻⁴ m² | S₂ = 10 cm² = 10×10⁻⁴ m² | v₁ = 0,4 m/s 📖 Voir le corrigé ▼ 1 \( Q_v = S_1 \cdot v_1 = 50\times10^{-4} \times 0{,}4 = \mathbf{2\times10^{-3} \ \text{m}^3/\text{s} = 2 \ \text{L/s}} \) 2 \( S_1 v_1 = S_2 v_2 \implies v_2 = \dfrac{S_1 v_1}{S_2} = \dfrac{50\times10^{-4}\times0{,}4}{10\times10^{-4}} = \mathbf{2 \ \text{m/s}} \) La vitesse est multipliée par 5 car la section est divisée par 5. 3 En 2, la vitesse est plus grande → le terme \( \frac{1}{2}\rho v^2 \) augmente → la pression \( P_2 \) diminue (Bernoulli à même altitude). C'est l'effet Venturi. Résultats \( Q_v = 2\times10^{-3} \ \text{m}^3/\text{s} \quad v_2 = 2 \ \text{m/s} \quad P_2 < P_1 \) 2 Théorème de Torricelli — vidange d'un réservoir Niveau 2 — Torricelli 📋 Énoncé Un réservoir contient de l'eau. La surface libre est à \( h = 1{,}8 \ \text{m} \) au-dessus d'un orifice circulaire de diamètre \( d = 2 \ \text{cm} \) percé dans la paroi latérale. La pression atmosphérique règne à la surface et à l'orifice. 1. En appliquant Bernoulli, démontrer que \( v_2 = \sqrt{2gh} \). 2. Calculer la vitesse de sortie \( v_2 \). 3. Calculer le débit volumique de fuite. Données h = 1,8 m | d = 2 cm = 0,02 m | g = 9,81 m/s² | ρ = 1 000 kg/m³ 📖 Voir le corrigé ▼ 1 Point 1 (surface) : \( P_1 = P_{\text{atm}} \), \( v_1 \approx 0 \) (réservoir large), \( z_1 = h \) Point 2 (orifice) : \( P_2 = P_{\text{atm}} \), \( v_2 = ? \), \( z_2 = 0 \) Bernoulli : \( P_{\text{atm}} + 0 + \rho g h = P_{\text{atm}} + \frac{1}{2}\rho v_2^2 + 0 \) Les \( P_{\text{atm}} \) se simplifient : \( \rho g h = \frac{1}{2}\rho v_2^2 \) \[ \Rightarrow v_2 = \sqrt{2gh} \quad \checkmark \] 2 \( v_2 = \sqrt{2\times9{,}81\times1{,}8} = \sqrt{35{,}3} \approx \mathbf{5{,}94 \ \text{m/s}} \) 3 Section de l'orifice : \( S_2 = \pi(d/2)^2 = \pi\times(0{,}01)^2 = \pi\times10^{-4} \approx 3{,}14\times10^{-4} \ \text{m}^2 \) \( Q_v = S_2 \times v_2 = 3{,}14\times10^{-4}\times5{,}94 \approx \mathbf{1{,}87\times10^{-3} \ \text{m}^3/\text{s} \approx 1{,}87 \ \text{L/s}} \) Résultats \( v_2 \approx 5{,}94 \ \text{m/s} \quad Q_v \approx 1{,}87 \ \text{L/s} \) 3 Effet Venturi — différence de pression Niveau 2 — Venturi 📋 Énoncé De l'eau s'écoule horizontalement dans un tube de Venturi. En section 1, \( S_1 = 40 \ \text{cm}^2 \) et \( v_1 = 0{,}5 \ \text{m/s} \). En section 2 (étranglement), \( S_2 = 8 \ \text{cm}^2 \). \( \rho_{\text{eau}} = 1\,000 \ \text{kg/m}^3 \). 1. Calculer \( v_2 \) par la continuité. 2. Calculer la différence de pression \( P_1 - P_2 \). 3. Expliquer pourquoi le tube de Venturi peut servir à mesurer un débit. Données S₁ = 40 cm² = 40×10⁻⁴ m² | S₂ = 8 cm² = 8×10⁻⁴ m² | v₁ = 0,5 m/s 📖 Voir le corrigé ▼ 1 \( v_2 = \dfrac{S_1 v_1}{S_2} = \dfrac{40\times10^{-4}\times0{,}5}{8\times10^{-4}} = \mathbf{2{,}5 \ \text{m/s}} \) 2 Bernoulli horizontal (\( z_1 = z_2 \)) : \( P_1 - P_2 = \frac{1}{2}\rho(v_2^2 - v_1^2) = \frac{1}{2}\times1000\times(2{,}5^2 - 0{,}5^2) \) \( = 500\times(6{,}25 - 0{,}25) = 500\times6 = \mathbf{3\,000 \ \text{Pa}} \) 3 En mesurant \( \Delta P = P_1 - P_2 \) avec un manomètre, on peut calculer \( v_2 \) puis \( Q_v = S_2 v_2 \). La différence de pression est directement liée au débit — c'est ainsi que fonctionne un débitmètre à effet Venturi. Résultats \( v_2 = 2{,}5 \ \text{m/s} \quad P_1 - P_2 = 3\,000 \ \text{Pa} \) 4 Tuyau incliné — altitude et pression Niveau 3 — Altitude + Bernoulli 📋 Énoncé De l'eau circule dans un tuyau horizontal de section \( S_1 = 20 \ \text{cm}^2 \) à la pression \( P_1 = 2\times10^5 \ \text{Pa} \) et à la vitesse \( v_1 = 1 \ \text{m/s} \). Le tuyau monte ensuite jusqu'à une altitude \( z_2 = 4 \ \text{m} \) au-dessus de la section 1, avec une section \( S_2 = 5 \ \text{cm}^2 \). 1. Calculer \( v_2 \) (continuité). 2. Calculer la pression \( P_2 \) (Bernoulli). 3. Comparer \( P_2 \) à la pression atmosphérique \( P_{\text{atm}} = 10^5 \ \text{Pa} \). Données P₁ = 2×10⁵ Pa | v₁ = 1 m/s | z₁ = 0 m | z₂ = 4 m | S₁ = 20 cm² | S₂ = 5 cm² 📖 Voir le corrigé ▼ 1 \( v_2 = \dfrac{S_1 v_1}{S_2} = \dfrac{20\times1}{5} = \mathbf{4 \ \text{m/s}} \) 2 Bernoulli : \( P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho g z_1 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho g z_2 \) \( P_2 = P_1 + \frac{1}{2}\rho(v_1^2 - v_2^2) + \rho g(z_1 - z_2) \) \( P_2 = 2\times10^5 + \frac{1}{2}\times1000\times(1-16) + 1000\times9{,}81\times(0-4) \) \( P_2 = 200\,000 + 500\times(-15) + (-39\,240) \) \( P_2 = 200\,000 - 7\,500 - 39\,240 = \mathbf{153\,260 \ \text{Pa} \approx 1{,}53\times10^5 \ \text{Pa}} \) 3 \( P_2 \approx 1{,}53\times10^5 > P_{\text{atm}} = 10^5 \ \text{Pa} \) → la pression reste positive et supérieure à l'atmosphère : l'eau peut bien circuler à cette hauteur. Résultats \( v_2 = 4 \ \text{m/s} \quad P_2 \approx 1{,}53\times10^5 \ \text{Pa} \) La pression a baissé de 200 000 à 153 000 Pa — à cause de la vitesse plus grande ET de l'altitude plus haute. 5 Circuit hydraulique complet — Type Bac Type Bac — Toutes les questions 📋 Énoncé Type Bac Un château d'eau de grande section (\( S_0 \gg \)) contient de l'eau dont la surface libre est à \( H = 25 \ \text{m} \) au-dessus du sol. L'eau s'écoule dans une conduite principale de section \( S_1 = 80 \ \text{cm}^2 \) à \( z_1 = 0 \), puis passe dans un rétrécissement de section \( S_2 = 20 \ \text{cm}^2 \) toujours au sol, avant de monter vers un appartement à \( z_3 = 10 \ \text{m} \) dans un tuyau de section \( S_3 = 10 \ \text{cm}^2 \). \( P_{\text{atm}} = 10^5 \ \text{Pa} \), \( \rho = 1\,000 \ \text{kg/m}^3 \), \( g = 9{,}81 \ \text{m/s}^2 \). 1. Calculer la vitesse \( v_1 \) dans la conduite principale (Bernoulli entre la surface et le point 1). 2. Calculer les vitesses \( v_2 \) et \( v_3 \) (continuité). 3. Calculer la pression \( P_2 \) dans le rétrécissement (Bernoulli entre 1 et 2). 4. Calculer la pression \( P_3 \) à l'entrée de l'appartement (Bernoulli entre 1 et 3). 5. L'eau monte-t-elle bien jusqu'à l'appartement ? Justifier. Données H = 25 m | S₁ = 80 cm² | S₂ = 20 cm² | S₃ = 10 cm² | z₁=z₂ = 0 m | z₃ = 10 m 📖 Voir le corrigé type bac ▼ 1 Vitesse v₁ : Bernoulli entre surface (S, \( P_{\text{atm}} \), \( v_S\approx0 \), \( z_S=25 \)) et point 1 (\( P_1 \), \( v_1 \), \( z_1=0 \)) : \( P_{\text{atm}} + 0 + \rho g H = P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 + 0 \) Mais à la sortie de la conduite (point 1 libre vers l'air) \( P_1 = P_{\text{atm}} \) : \( \rho g H = \frac{1}{2}\rho v_1^2 \implies v_1 = \sqrt{2gH} = \sqrt{2\times9{,}81\times25} = \sqrt{490{,}5} \approx \mathbf{22{,}2 \ \text{m/s}} \) 2 \( v_2 = \dfrac{S_1 v_1}{S_2} = \dfrac{80\times22{,}2}{20} = \mathbf{88{,}8 \ \text{m/s}} \) \( v_3 = \dfrac{S_1 v_1}{S_3} = \dfrac{80\times22{,}2}{10} = \mathbf{177{,}6 \ \text{m/s}} \) 3 Pression P₂ : Bernoulli entre 1 et 2 (même altitude, \( P_1 = P_{\text{atm}} = 10^5 \) Pa) : \( P_2 = P_1 + \frac{1}{2}\rho(v_1^2 - v_2^2) = 10^5 + 500\times(493 - 7\,885) \) \( P_2 = 10^5 - 3{,}70\times10^6 \approx \mathbf{-3{,}60\times10^6 \ \text{Pa}} \) 4 Pression P₃ : Bernoulli entre 1 (\( z=0 \)) et 3 (\( z=10 \ \text{m} \)) : \( P_3 = P_1 + \frac{1}{2}\rho(v_1^2-v_3^2) + \rho g(z_1-z_3) \) \( = 10^5 + 500(493-31\,542) + 1000\times9{,}81\times(-10) \) \( = 10^5 - 1{,}55\times10^7 - 9{,}81\times10^4 \approx \mathbf{-1{,}55\times10^7 \ \text{Pa}} \) 5 Les pressions \( P_2 \) et \( P_3 \) sont négatives — ce qui est physiquement impossible pour un liquide (pression absolue minimale = 0). Cela signifie que dans la réalité, la cavitation se produirait (formation de bulles de vapeur) et le modèle de fluide parfait serait mis en défaut. Dans un vrai système, la pompe compense ces pertes et la pression reste positive. Le château d'eau à \( H=25 \ \text{m} \) crée une pression suffisante pour faire monter l'eau à \( 10 \ \text{m} \) dans les conditions réelles. Résultats clés \( v_1 \approx 22{,}2 \ \text{m/s} \quad v_2 \approx 88{,}8 \ \text{m/s} \quad v_3 \approx 177{,}6 \ \text{m/s} \) Note : les vitesses très élevées montrent les limites du modèle fluide parfait. En réalité, les pertes de charge (frottements) réduisent drastiquement ces valeurs. Bernoulli reste un excellent outil de raisonnement qualitatif et d'estimation. Les erreurs classiques à éviter ✕ Appliquer Bernoulli entre deux points sur des lignes de courant différentes : Bernoulli ne s'applique qu'entre deux points du même filet fluide. Deux points sur des lignes de courant différentes ne peuvent pas être reliés directement par Bernoulli. ✕ Oublier le terme \( \rho g z \) dans un tube non horizontal : si les deux points sont à la même altitude, ce terme s'annule. Sinon, il est indispensable. Un tube qui monte de 5 m représente \( \rho g \times 5 \approx 49\,050 \ \text{Pa} \) — non négligeable. ✕ Confondre vitesse nulle et vitesse négligeable : pour un grand réservoir, \( v_1 \approx 0 \) est une approximation valable car \( S_1 \gg S_2 \), donc \( v_1 = v_2 S_2/S_1 \ll v_2 \). Il faut le justifier par la continuité. ✕ Oublier de choisir un niveau de référence pour z : la valeur de z n'a de sens que par rapport à un référentiel choisi. Toujours préciser où est \( z = 0 \), et mesurer tous les z depuis ce même niveau. ✕ Appliquer Bernoulli à un fluide visqueux : Bernoulli suppose un fluide parfait (sans viscosité). Pour de l'huile ou un écoulement dans une longue canalisation, les pertes de charge dues aux frottements invalident Bernoulli simple. Tout maîtriser en physique Terminale ? Cours complets, exercices corrigés, fiches méthode et annales du bac. Voir les cours → Pour aller plus loin Ces articles complètent ta maîtrise de la physique en Terminale. 🚀 Équations Horaires d'un Projectile La même démarche de conservation de l'énergie, appliquée au mouvement balistique. ⚙️ Les Lois de Newton Bernoulli est une conséquence du travail des forces — les lois de Newton en sont le socle. ⚡ Forces Électriques et Magnétiques L'autre grand chapitre de physique Terminale — forces et champs fondamentaux. ∫ Calcul Infinitésimal La dérivation et l'intégration sont au cœur de la démonstration de Bernoulli.

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