1s : \( n=1, \ell=0 \)
Nœuds radiaux : \( 1-0-1 = 0 \) — Nœuds angulaires : \( 0 \) — Total : \( 0 \)
Forme : sphère parfaite — Max : 2 électrons

3p : \( n=3, \ell=1 \)
Nœuds radiaux : \( 3-1-1 = 1 \) (sphère) — Nœuds angulaires : \( 1 \) (plan) — Total : \( 2 \)
Forme : haltères avec une sphère nodale interne — Max : 6 électrons (3 orbitales × 2)

4d : \( n=4, \ell=2 \)
Nœuds radiaux : \( 4-2-1 = 1 \) — Nœuds angulaires : \( 2 \) — Total : \( 3 \)
Forme : trèfle à 4 lobes (ou d_z² avec tore) avec une sphère nodale — Max : 10 électrons (5 orbitales × 2)

4f : \( n=4, \ell=3 \)
Nœuds radiaux : \( 4-3-1 = 0 \) — Nœuds angulaires : \( 3 \) — Total : \( 3 \)
Forme : très complexe, 8 lobes pour la plupart — Max : 14 électrons (7 orbitales × 2)

5s : \( n=5, \ell=0 \)
Nœuds radiaux : \( 5-0-1 = 4 \) — Nœuds angulaires : \( 0 \) — Total : \( 4 \)
Forme : sphère avec 4 sphères nodales concentriques — Max : 2 électrons

\( \rho_{2p_z} = |\phi_{2p_z}|^2 = \dfrac{1}{32\pi a_0^5} r^2 e^{-r/a_0} \cos^2\theta \)

\( \rho = 0 \) quand \( \cos\theta = 0 \), soit \( \theta = \pi/2 \).
Cela correspond au plan équatorial xy (\( z=0 \)).
C’est un nœud angulaire (plan nodal passant par le noyau).

\( \cos^2\theta \) est maximal quand \( \cos\theta = \pm1 \), soit \( \theta = 0 \) (pôle nord) ou \( \theta = \pi \) (pôle sud).
La densité est maximale le long de l’axe z — ce qui explique la forme en haltères alignés selon z.

Sur l’axe z (\( \theta=0, \cos\theta=1 \)), la densité devient : \( \rho \propto r^2 e^{-r/a_0} \)
Maximum : \( \dfrac{d}{dr}(r^2 e^{-r/a_0}) = 0 \implies 2r – r^2/a_0 = 0 \implies r = 2a_0 \)
Le maximum de densité sur l’axe z est à \( r = 2a_0 = 1{,}06 \ \text{Å} \).

\( \langle\phi_1|\phi_1\rangle = \dfrac{1}{2}\langle\phi_{2s}+\phi_{2p_z}|\phi_{2s}+\phi_{2p_z}\rangle \)
\( = \dfrac{1}{2}(\underbrace{\langle\phi_{2s}|\phi_{2s}\rangle}_{1} + \underbrace{\langle\phi_{2p_z}|\phi_{2s}\rangle}_{0} + \underbrace{\langle\phi_{2s}|\phi_{2p_z}\rangle}_{0} + \underbrace{\langle\phi_{2p_z}|\phi_{2p_z}\rangle}_{1}) = \dfrac{1}{2}\times2 = 1 \) ✓
Les orbitales hybrides sp sont bien normalisées.

\( \phi_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(\phi_{2s} + \phi_{2p_z}) \) combine un lobe sphérique (2s) avec un lobe directionnel (2p_z).
La sommation constructive se produit du côté \( +z \) (\( \theta=0 \)), la sommation destructive du côté \( -z \) (\( \theta=\pi \)).
\( \phi_1 \) pointe principalement dans la direction \( +z \) — grand lobe orienté vers \( +z \), petit lobe vers \( -z \).

\( \phi_1 \) pointe en \( +z \) et \( \phi_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(\phi_{2s}-\phi_{2p_z}) \) pointe en \( -z \).
Les deux orbitales sp pointent dans des directions opposées (180°).
Chacune forme une liaison σ avec un autre atome → géométrie linéaire (\( \text{CO}_2 \), \( \text{C}_2\text{H}_2 \)).

sp : 2 hybrides, angle 180° → linéaire (C₂H₂, CO₂, BeCl₂)
sp² : 3 hybrides, angle 120° → trigonale plane (éthylène, BF₃, benzène)
sp³ : 4 hybrides, angle 109,5° → tétraédrique (méthane, eau, ammoniac)
sp³d : 5 hybrides → bipyramide trigonale
sp³d² : 6 hybrides → octaédrique (complexes de métaux de transition)

Argument de symétrie :
L’orbitale 2s est paire par rapport à l’inversion (ψ(−r) = +ψ(r) — symétrie g).
L’orbitale 2p_z est impaire (ψ(−r) = −ψ(r) — symétrie u).
Le produit 2s × 2p_z est impair. L’intégrale d’une fonction impaire sur tout l’espace est nulle. → Orthogonalité garantie par la symétrie.

\( \langle 2s|2p_z \rangle = \int R_{2,0}(r) Y_0^0(\theta) \cdot R_{2,1}(r) Y_1^0(\theta) \, r^2\sin\theta \, dr\,d\theta\,d\varphi \)
La partie angulaire : \( \int Y_0^0 \cdot Y_1^0 \sin\theta\,d\theta\,d\varphi \)
Or les harmoniques sphériques sont orthogonales : \( \int Y_{\ell}^{m*} Y_{\ell’}^{m’} d\Omega = \delta_{\ell\ell’}\delta_{mm’} \)
Ici \( \ell=0 \neq \ell’=1 \) → intégrale angulaire = 0 → \( \langle 2s|2p_z \rangle = 0 \) ✓

\( \langle 2p_x|2p_y \rangle \propto \int Y_1^{+1*} Y_1^{-1} d\Omega \) (ou combinaisons réelles analogues).
Les harmoniques sphériques de même \( \ell \) mais de \( m_\ell \) différents sont orthogonales (\( m_\ell = 0 \neq \pm 1 \)).
→ 2p_x et 2p_y sont orthogonales ✓

Deux électrons dans 2p_z auraient \( n=2, \ell=1, m_\ell=0 \) — trois nombres quantiques identiques.
Par le principe de Pauli, ils doivent avoir \( m_s \) différents : \( m_s=+1/2 \) et \( m_s=-1/2 \).
→ Les deux électrons peuvent cohabiter dans la même orbitale 2p_z à condition d’avoir des spins antiparallèles (↑↓).

Fe (Z=26) : [Ar]3d⁶4s²
Fe³⁺ perd 3 électrons (4s² d’abord, puis 1 de 3d) :
Fe³⁺ : [Ar]3d⁵

Les 6 ligands sont sur les axes ±x, ±y, ±z.
Groupe e_g (déstabilisé) : \( d_{z^2} \) et \( d_{x^2-y^2} \) — leurs lobes pointent directement vers les ligands → répulsion maximale → énergie plus haute.
Groupe t_{2g} (stabilisé) : \( d_{xy} \), \( d_{xz} \), \( d_{yz} \) — leurs lobes pointent entre les axes → moins de répulsion avec les ligands → énergie plus basse.

5 électrons en 3d, champ cristallin faible (Δ_o petit) → règle de Hund s’applique :
\( t_{2g} \) : ↑ ↑ ↑ (3 électrons, 1 par orbitale)
\( e_g \) : ↑ ↑ (2 électrons, 1 par orbitale)
Nombre de spins non appariés : 5 (configuration haut spin maximale)

5 électrons non appariés → moment magnétique non nul → le complexe est fortement paramagnétique.

En IRM (Imagerie par Résonance Magnétique), les complexes de Fe³⁺ (et Mn³⁺, Gd³⁺) sont utilisés comme agents de contraste. Leur paramagagnétisme accélère la relaxation des protons environnants, améliorant le contraste des images. C’est directement la présence de spins non appariés dans des orbitales d mal remplies qui rend ces complexes utiles en médecine.