Le Principe de
l’Énergie Nucléaire :
Cours & Exemples
\( E = mc^2 \), défaut de masse, fission de l’uranium, fusion de l’hydrogène, fonctionnement d’un réacteur nucléaire, ITER — tout comprendre sur l’énergie nucléaire avec des calculs concrets et 5 exercices corrigés.
Partie 1 — \( E = mc^2 \) : la clé de tout
1.1 — Le défaut de masse
La relation d’Einstein \( E = mc^2 \) révèle que la masse et l’énergie sont deux formes de la même réalité. Dans le domaine nucléaire, cette équivalence a une conséquence concrète et mesurable : la masse d’un noyau atomique est toujours inférieure à la somme des masses de ses constituants séparés.
Cette différence, appelée défaut de masse \( \Delta m \), correspond à l’énergie libérée lors de la formation du noyau — et inversement, c’est l’énergie qu’il faudrait fournir pour le désassembler.
\( m_p = 1{,}6726\times10^{-27} \ \text{kg} = 938{,}3 \ \text{MeV}/c^2 \) — masse du proton
\( m_n = 1{,}6749\times10^{-27} \ \text{kg} = 939{,}6 \ \text{MeV}/c^2 \) — masse du neutron
\( c = 3\times10^8 \ \text{m/s} \) — vitesse de la lumière
\( 1 \ \text{u} = 1{,}6605\times10^{-27} \ \text{kg} \), \( 1 \ \text{u} \cdot c^2 = 931{,}5 \ \text{MeV} \)
Interprétation : l’énergie de liaison est l’énergie libérée lors de la formation du noyau à partir de ses nucléons libres. C’est aussi l’énergie minimale pour détruire le noyau.
\( c^2 = (3\times10^8)^2 = 9\times10^{16} \ \text{m}^2\text{/s}^2 \)
Un défaut de masse de seulement \( 1 \ \text{g} = 10^{-3} \ \text{kg} \) correspond à une énergie :
\( E = 10^{-3} \times 9\times10^{16} = 9\times10^{13} \ \text{J} = 90 \ \text{TJ} \)
C’est l’équivalent de la consommation électrique annuelle d’une ville de 100 000 habitants.
Convertir un gramme de matière en énergie suffirait à alimenter cette ville pendant un an.
Partie 2 — La courbe d’Aston : pourquoi la fission et la fusion libèrent de l’énergie
2.1 — L’énergie de liaison par nucléon
Pour comparer la stabilité de différents noyaux, on utilise l’énergie de liaison par nucléon \( E_L/A \). Plus cette valeur est grande, plus le noyau est stable (plus il faudrait d’énergie pour l’arracher à son état lié).
Règle d’or : toute réaction qui déplace des noyaux vers le fer sur la courbe libère de l’énergie.
Noyaux légers (H, He) → fusion vers des noyaux plus lourds = libération d’énergie
Noyaux très lourds (U, Pu) → fission vers des fragments plus légers = libération d’énergie
Partie 3 — La Fission Nucléaire
3.1 — Principe et réaction en chaîne
La fission est la rupture d’un noyau lourd en deux fragments plus légers, accompagnée de l’émission de neutrons et de rayonnements gamma. Elle est déclenchée par la capture d’un neutron par un noyau fissile comme l’uranium-235 ou le plutonium-239.
Énergie libérée par fission : \( \approx 200 \ \text{MeV} \) (défaut de masse)
Énergie libérée par kg d’²³⁵U : \( \approx 8\times10^{13} \ \text{J} \) soit l’équivalent de 2 000 tonnes de pétrole
Les 3 neutrons émis peuvent chacun déclencher une nouvelle fission : c’est la réaction en chaîne — le principe du réacteur nucléaire (contrôlée) et de la bombe atomique (incontrôlée).
3.2 — Le facteur de multiplication k
Dans un réacteur, on contrôle la réaction en chaîne grâce au facteur de multiplication \( k \) — le nombre moyen de neutrons de fission qui déclenchent une nouvelle fission.
| Valeur de k | Régime | Application |
|---|---|---|
| k < 1 | Sous-critique — la réaction s’éteint | Arrêt du réacteur |
| k = 1 | Critique — la réaction est stable | Fonctionnement normal du réacteur |
| k > 1 | Sur-critique — la réaction s’emballe | Bombe nucléaire (k ≫ 1), accident réacteur (k légèrement > 1) |
Partie 4 — La Fusion Nucléaire
4.1 — La réaction D-T : la plus prometteuse
La fusion consiste à assembler des noyaux légers pour en former un plus lourd, en libérant une énergie encore plus grande par unité de masse qu’en fission. C’est le processus qui alimente le Soleil et toutes les étoiles.
La réaction la plus favorable pour les réacteurs terrestres est la fusion deutérium-tritium (D-T) :
Tritium \( {}^3_1\text{H} \) — isotope radioactif de l’hydrogène avec 2 neutrons
Énergie libérée : 17,6 MeV par réaction (vs ~200 MeV pour la fission, mais par nucléon bien plus)
Énergie par kg de combustible D-T : \( \sim 3{,}4\times10^{14} \ \text{J/kg} \)
≈ 340 millions de fois l’énergie d’un kilo de pétrole (42 MJ/kg)
4.2 — Le défi du confinement — pourquoi c’est si difficile
Pour fusionner, deux noyaux doivent vaincre la répulsion coulombienne. Il faut des températures de l’ordre de 100 à 150 millions de Kelvin — bien plus que le centre du Soleil (~15 millions K). À ces températures, la matière est sous forme de plasma — aucun matériau ne peut le contenir.
💥 Fission — Aujourd’hui
- Technologie maîtrisée depuis 1942
- 440 réacteurs en fonctionnement mondial
- Combustible : ²³⁵U ou Pu (fissiles rares)
- Produit des déchets radioactifs longue durée
- Risque d’accident (Tchernobyl, Fukushima)
- Énergie : ~200 MeV/fission
- En France : 70% de l’électricité produite
🌟 Fusion — Demain ?
- En développement depuis les années 1950
- ITER (Cadarache, France) : premier plasma 2025
- Combustible : deutérium (eau de mer inépuisable)
- Déchets : activité réduite, durée courte
- Pas de risque d’emballement — si arrêt = extinction
- Énergie : 17,6 MeV/réaction D-T
- Encore aucun réacteur commercial à ce jour
Partie 5 — Comment fonctionne un réacteur nucléaire ?
5.1 — Les quatre composants essentiels
1 kg d’²³⁵U fissionné : \( \approx 8\times10^{13} \ \text{J} \) — équivalent 2 000 tonnes de pétrole ou 3 000 tonnes de charbon
1 kg de charbon : \( \approx 30 \times 10^6 \ \text{J} \) (30 MJ)
1 kg de gaz naturel : \( \approx 50 \times 10^6 \ \text{J} \) (50 MJ)
1 kg de combustible D-T (fusion) : \( \approx 3{,}4\times10^{14} \ \text{J} \) — 4 fois plus que la fission
1 réacteur REP de 1 GWe consomme \( \approx \mathbf{28 \ \text{tonnes d’UO}_2} \) par an
Si cette énergie venait du charbon : \( \approx 3 \ \text{millions de tonnes} \) — soit 100 000 fois plus de combustible, avec 3 millions de tonnes de CO₂.
Partie 6 — ITER : le pari de la fusion commerciale
6.1 — Pourquoi ITER est révolutionnaire
Le réacteur expérimental ITER (International Thermonuclear Experimental Reactor), en construction à Cadarache (France), vise à démontrer la faisabilité d’un réacteur à fusion à l’échelle commerciale. Il est financé par 35 pays (dont l’UE, USA, Chine, Inde, Japon, Russie, Corée).
ITER doit produire 500 MW de puissance thermique à partir de 50 MW injectés — un facteur d’amplification \( Q = 10 \). Aucun réacteur précédent n’a encore atteint \( Q > 1 \) (la “mise à feu” — breakeven).
\( \tau_E \) — temps de confinement de l’énergie (en s)
\( T \) — température du plasma (en keV, typiquement 10 à 20 keV = 100–200 millions K)
ITER cible : \( n \approx 10^{20} \ \text{m}^{-3} \), \( \tau_E \approx 3 \ \text{s} \), \( T \approx 10 \ \text{keV} \)
→ \( n\tau_E T \approx 3\times10^{21} \) — juste au seuil du critère de Lawson.
Exercices Corrigés
Défaut de masse et énergie de liaison du noyau d’hélium-4
Niveau 1 — E = Δm·c²Le noyau d’hélium-4 (\( {}^4_2\text{He} \)) a une masse \( M_{\text{He}} = 4{,}0015 \ \text{u} \).
1. Calculer le défaut de masse \( \Delta m \) en u.
2. Calculer l’énergie de liaison \( E_L \) en MeV (utiliser \( 1 \ \text{u}\cdot c^2 = 931{,}5 \ \text{MeV} \)).
3. Calculer l’énergie de liaison par nucléon \( E_L/A \).
4. Comparer avec le maximum de la courbe d’Aston (8,8 MeV/nucléon). Que peut-on dire de la stabilité du ⁴He ?
\( {}^4_2\text{He} \) : \( Z=2 \) protons, \( (A-Z)=2 \) neutrons
\( \Delta m = 2m_p + 2m_n – M_{\text{He}} \)
\( = 2\times1{,}00728 + 2\times1{,}00867 – 4{,}00150 \)
\( = 2{,}01456 + 2{,}01734 – 4{,}00150 = 4{,}03190 – 4{,}00150 = \mathbf{0{,}03040 \ \text{u}} \)
\( E_L = \Delta m \cdot c^2 = 0{,}03040 \times 931{,}5 \approx \mathbf{28{,}32 \ \text{MeV}} \)
\( E_L/A = 28{,}32 / 4 \approx \mathbf{7{,}08 \ \text{MeV/nucléon}} \)
7,08 MeV/nucléon est inférieur au maximum de 8,8 MeV/nucléon (fer-56) mais nettement supérieur à l’hydrogène (0 pour un proton seul). Le noyau ⁴He est remarquablement stable pour un noyau léger — c’est ce qu’on appelle “noyau doublement magique” (2 protons et 2 neutrons, deux nombres magiques). C’est pourquoi les désintégrations α émettent toujours des noyaux ⁴He.
Énergie libérée par la fission de l’uranium-235
Niveau 2 — Énergie de fissionOn considère la réaction de fission :
\( {}^{235}_{92}\text{U} + {}^1_0 n \longrightarrow {}^{141}_{56}\text{Ba} + {}^{92}_{36}\text{Kr} + 3 \cdot {}^1_0 n \)
1. Vérifier la conservation de A et Z.
2. Calculer le défaut de masse \( \Delta m \) de cette réaction.
3. Calculer l’énergie \( E \) libérée en MeV puis en joules.
4. Estimer l’énergie libérée par la fission complète de 1 kg d’²³⁵U. Comparer à 1 kg de charbon (30 MJ/kg).
\( A : 235+1 = 141+92+3\times1 \implies 236 = 236 \) ✓
\( Z : 92+0 = 56+36+3\times0 \implies 92 = 92 \) ✓
Masse avant : \( M(^{235}U) + m_n = 235{,}044 + 1{,}009 = 236{,}053 \ \text{u} \)
Masse après : \( M(^{141}Ba) + M(^{92}Kr) + 3m_n = 140{,}914 + 91{,}926 + 3\times1{,}009 = 235{,}867 \ \text{u} \)
\( \Delta m = 236{,}053 – 235{,}867 = \mathbf{0{,}186 \ \text{u}} \)
\( E = 0{,}186 \times 931{,}5 \approx \mathbf{173 \ \text{MeV}} \)
\( E = 173 \times 1{,}6\times10^{-13} \approx \mathbf{2{,}77\times10^{-11} \ \text{J}} \) par fission
Nombre de noyaux dans 1 kg d’²³⁵U :
\( N = \dfrac{1000}{235} \times 6{,}022\times10^{23} \approx 2{,}563\times10^{24} \ \text{noyaux} \)
Énergie totale : \( E_{\text{tot}} = 2{,}77\times10^{-11} \times 2{,}563\times10^{24} \approx \mathbf{7{,}1\times10^{13} \ \text{J}} \)
Rapport : \( 7{,}1\times10^{13} / 3\times10^7 \approx \mathbf{2{,}4 \ \text{millions}} \)
1 kg d’uranium est 2,4 millions de fois plus énergétique qu’1 kg de charbon.
Énergie de la fusion D-T et alimentation en eau de mer
Niveau 2 — Fusion D-TLa réaction de fusion D-T : \( {}^2_1\text{H} + {}^3_1\text{H} \longrightarrow {}^4_2\text{He} + {}^1_0 n + 17{,}6 \ \text{MeV} \)
1. Calculer l’énergie libérée en joules par réaction D-T.
2. Un réacteur à fusion produit 1 GW = 10⁹ W de puissance. Combien de réactions D-T par seconde sont nécessaires ?
3. Le deutérium naturel représente 0,0156% de l’hydrogène dans l’eau. Sachant qu’une molécule d’eau (18 g/mol) contient 2 atomes d’hydrogène, calculer la masse d’eau nécessaire par seconde pour alimenter ce réacteur en deutérium.
4. Comparer avec la consommation électrique mondiale (~2,5×10¹³ W).
\( E = 17{,}6 \ \text{MeV} = 17{,}6 \times 1{,}602\times10^{-13} \approx \mathbf{2{,}82\times10^{-12} \ \text{J}} \)
Nombre de réactions/s : \( \dot{N} = \dfrac{P}{E} = \dfrac{10^9}{2{,}82\times10^{-12}} \approx \mathbf{3{,}55\times10^{20} \ \text{réactions/s}} \)
Chaque réaction consomme 1 noyau D. Atomes D nécessaires/s : \( 3{,}55\times10^{20} \)
Atomes H dans 1 mol d’eau : \( 2 N_A = 1{,}204\times10^{24} \)
Atomes D/mol eau : \( 1{,}204\times10^{24} \times 1{,}56\times10^{-4} = 1{,}879\times10^{20} \)
Moles d’eau/s : \( 3{,}55\times10^{20} / 1{,}879\times10^{20} \approx 1{,}89 \ \text{mol/s} \)
Masse d’eau/s : \( 1{,}89 \times 18 \approx \mathbf{34{,}0 \ \text{g/s} \approx 2 \ \text{kg/min}} \)
Pour alimenter la consommation mondiale \( 2{,}5\times10^{13} \ \text{W} \) :
Masse d’eau : \( 34 \times 2{,}5\times10^{13}/10^9 = 34 \times 25\,000 \approx \mathbf{850 \ \text{kg/s}} \)
Soit moins de 1 tonne d’eau de mer par seconde pour alimenter toute la civilisation humaine en électricité.
Les océans contiennent \( 1{,}4\times10^{21} \ \text{kg} \) d’eau — la ressource en deutérium est quasi-inépuisable.
Rendement d’une centrale nucléaire
Niveau 3 — Rendement thermodynamiqueUne centrale nucléaire REP dispose d’un réacteur de puissance thermique \( P_{\text{th}} = 3\,000 \ \text{MW} \). Elle produit une puissance électrique \( P_{\text{él}} = 1\,000 \ \text{MW} \). Elle consomme 28 tonnes d’UO₂ par an (dont 3% en ²³⁵U fissile). Chaque fission libère \( E_f = 200 \ \text{MeV} \).
1. Calculer le rendement thermodynamique \( \eta \) de la centrale.
2. Calculer la puissance dissipée sous forme de chaleur (à évacuer dans l’environnement).
3. Calculer la masse d’²³⁵U fissionnée par an.
4. Vérifier la cohérence : calculer la puissance thermique générée par cette masse d’²³⁵U. Comparer avec 3 000 MW.
\( \eta = \dfrac{P_{\text{él}}}{P_{\text{th}}} = \dfrac{1000}{3000} \approx \mathbf{33{,}3\%} \)
Typique d’un cycle de Rankine à vapeur saturée — comparable aux centrales thermiques classiques.
\( P_{\text{chaleur}} = P_{\text{th}} – P_{\text{él}} = 3000 – 1000 = \mathbf{2\,000 \ \text{MW}} \)
Ces 2 GW sont évacués vers l’environnement (fleuve ou mer pour un REP, tours aéroréfrigérantes).
Masse totale UO₂ : 28 t = \( 2{,}8\times10^7 \ \text{g} \)
Pourcentage en ²³⁵U dans UO₂ : \( 3\% \times \dfrac{235}{270} \approx 2{,}61\% \) (²³⁵U/UO₂)
Masse ²³⁵U : \( 2{,}8\times10^7 \times 0{,}0261 \approx \mathbf{730\,000 \ \text{g} \approx 730 \ \text{kg}} \)
Nombre de noyaux fissionnés/an : \( N = \dfrac{730\,000}{235} \times 6{,}022\times10^{23} \approx 1{,}87\times10^{27} \)
Énergie totale/an : \( E = 1{,}87\times10^{27} \times 200 \times 1{,}6\times10^{-13} \approx 5{,}98\times10^{16} \ \text{J} \)
Puissance : \( P = \dfrac{5{,}98\times10^{16}}{3{,}156\times10^7} \approx \mathbf{1{,}9\times10^9 \ \text{W} = 1\,900 \ \text{MW}} \)
Note : 1 900 MW ≠ 3 000 MW — l’écart vient du fait que seule une fraction du ²³⁵U est réellement fissionnée (taux de combustion ~40 GWj/t), et que les produits de fission contribuent aussi par activation neutronique. Le calcul reste cohérent à l’ordre de grandeur.
Comparaison fission / fusion / chimie — Type Bac
Type Bac — CompletOn compare trois sources d’énergie pour la même quantité de “combustible” (1 kg) :
A. Combustion chimique du méthane CH₄ : libère 50 MJ/kg
B. Fission nucléaire de l’²³⁵U : libère 8×10¹³ J/kg
C. Fusion D-T : libère 3,4×10¹⁴ J/kg
1. Calculer les rapports B/A et C/A (combien de fois les sources nucléaires sont plus énergétiques que la chimie).
2. Expliquer qualitativement pourquoi l’énergie nucléaire est si supérieure à l’énergie chimique (nature des liaisons impliquées, relation \( E = mc^2 \)).
3. Un pays consomme \( P = 50 \ \text{GW} \) de puissance électrique (hypothèse : rendement 33%). Calculer la masse annuelle de combustible nécessaire pour chaque source.
4. Quel est le principal avantage de la fusion sur la fission en termes de déchets ? Quel est son principal défi technologique ?
\( B/A = \dfrac{8\times10^{13}}{50\times10^6} = \dfrac{8\times10^{13}}{5\times10^7} = \mathbf{1{,}6\times10^6} \)
\( C/A = \dfrac{3{,}4\times10^{14}}{5\times10^7} = \mathbf{6{,}8\times10^6} \)
La fission est 1,6 million de fois plus énergétique que la chimie. La fusion, 6,8 millions de fois.
Les réactions chimiques impliquent la rupture et la formation de liaisons électroniques
(énergie de l’ordre de l’eV par liaison). Les réactions nucléaires impliquent la
force nucléaire forte, bien plus intense, avec des énergies de l’ordre du MeV
— soit un million de fois supérieure.
Selon \( E = \Delta m \cdot c^2 \), le défaut de masse nucléaire est proportionnel à cette énergie.
Le facteur \( c^2 = 9\times10^{16} \ \text{m}^2\text{/s}^2 \) amplifie considérablement toute
perte de masse, si minime soit-elle.
Puissance thermique nécessaire : \( P_{\text{th}} = 50/0{,}33 \approx 152 \ \text{GW} \)
Énergie annuelle : \( E_{\text{an}} = 152\times10^9 \times 3{,}156\times10^7 \approx 4{,}80\times10^{18} \ \text{J} \)
Méthane : \( m = 4{,}80\times10^{18}/(50\times10^6) \approx \mathbf{9{,}6\times10^{10} \ \text{kg} = 96 \ \text{millions de tonnes}} \)
Uranium : \( m = 4{,}80\times10^{18}/(8\times10^{13}) \approx \mathbf{60\,000 \ \text{kg} = 60 \ \text{tonnes}} \)
Fusion D-T : \( m = 4{,}80\times10^{18}/(3{,}4\times10^{14}) \approx \mathbf{14\,100 \ \text{kg} = 14 \ \text{tonnes}} \)
Avantage fusion sur déchets :
— Pas de déchets à vie longue (comme le plutonium ou les actinides mineurs de la fission)
— Le tritium est radioactif (T₁/₂ = 12,3 ans) mais à courte durée de vie
— L’hélium-4 produit est stable et inoffensif
— L’activation neutronique des parois du réacteur produit quelques déchets, mais de catégorie inférieure et durée réduite
Défi technologique : confiner un plasma à 100–200 millions de K sans qu’il touche les parois — pendant une durée suffisante (\( \tau_E \sim \text{quelques secondes} \)) et dans un volume suffisamment dense. Aucune technologie actuelle n’a encore atteint \( Q > 1 \) (plus d’énergie sortante qu’entrante).
Les idées reçues à corriger
- “Un réacteur nucléaire peut exploser comme une bombe atomique” : impossible physiquement. La bombe nécessite un enrichissement à >90% en ²³⁵U et une compression ultra-rapide pour atteindre la masse critique. Un réacteur est enrichi à 3-5% et fonctionne à k=1 contrôlé. Un accident grave (Tchernobyl, Fukushima) produit une explosion de vapeur ou d’hydrogène, jamais nucléaire.
- “Les tours de refroidissement des centrales émettent de la fumée radioactive” : les tours aéroréfrigérantes émettent uniquement de la vapeur d’eau — le circuit secondaire n’est pas radioactif. La radioactivité est confinée dans le circuit primaire hermétiquement fermé.
- “La fusion est propre et sans déchets” : la fusion produit des neutrons très énergétiques qui activent les matériaux des parois du réacteur. Ces matériaux deviennent radioactifs (durée de vie 50-100 ans). La fusion est plus propre que la fission, mais pas totalement sans déchets.
- “Confondre \( \Delta m \) en u et en kg dans \( E = \Delta m \cdot c^2 \)” : si \( \Delta m \) est en unités de masse atomique u, utiliser \( 1 \ \text{u}\cdot c^2 = 931{,}5 \ \text{MeV} \). Pour obtenir l’énergie en joules, convertir d’abord \( \Delta m \) en kg avec \( 1 \ \text{u} = 1{,}66\times10^{-27} \ \text{kg} \), puis appliquer \( E = \Delta m \cdot c^2 \).
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