U(1) est le groupe des phases \( e^{i\alpha} \) — il a 1 générateur (la phase \( \alpha \)).
SU(2) : dim = \( 2^2-1 = \mathbf{3} \) générateurs (matrices de Pauli \( \sigma^1, \sigma^2, \sigma^3 \)).
SU(3) : dim = \( 3^2-1 = \mathbf{8} \) générateurs (matrices de Gell-Mann \( \lambda^1,\ldots,\lambda^8 \)).

U(1)_Y → 1 boson \( B_\mu \) (hypercharge)
SU(2)_L → 3 bosons \( W^1_\mu, W^2_\mu, W^3_\mu \) (faible)
SU(3)_c → 8 gluons \( A^a_\mu \) (forte)

\( \dim(SU(3)\times SU(2)\times U(1)) = 8 + 3 + 1 = \mathbf{12 \ \text{bosons de jauge}} \)

Après brisure SU(2)×U(1)_Y → U(1)_EM :
— 3 bosons (\( W^1, W^2, W^3 \) et \( B \)) → 3 massifs (W⁺, W⁻, Z) + 1 sans masse (photon \( \gamma \))
— 8 gluons restent sans masse (SU(3)_c non brisée)
Total sans masse après brisure : \( 8 + 1 = \mathbf{9} \) (8 gluons + 1 photon)
Total massifs : \( 3 \) (W⁺, W⁻, Z)

\( \sin^2\theta_W = 0{,}231 \implies \cos\theta_W = \sqrt{0{,}769} \approx 0{,}877 \)
\( M_W = gv/2 \) et \( M_W = M_Z\cos\theta_W \implies g = 2M_W/v \)
De plus \( e = g\sin\theta_W \) et \( e = \sqrt{4\pi\alpha_{\text{EM}}} \) avec \( \alpha_{\text{EM}} \approx 1/137{,}036 \) à basse énergie :
\( e \approx \sqrt{4\pi/137} \approx 0{,}3028 \) (en unités \( \hbar=c=1 \))
\( g = e/\sin\theta_W = 0{,}3028/\sqrt{0{,}231} \approx 0{,}3028/0{,}4806 \approx \mathbf{0{,}630} \)
\( v = 2M_W/g = 2\times80{,}4/0{,}630 \approx \mathbf{255 \ \text{GeV}} \)
(on retrouve \( v \approx 246 \ \text{GeV} \) avec une valeur plus précise de \( \alpha \))

\( g’ = g\tan\theta_W = 0{,}630 \times \sqrt{0{,}231/0{,}769} \approx 0{,}630\times0{,}548 \approx \mathbf{0{,}345} \)
\( M_Z = v\sqrt{g^2+g’^2}/2 = 255\times\sqrt{0{,}630^2+0{,}345^2}/2 = 255\times\sqrt{0{,}517}/2 \)
\( = 255\times0{,}719/2 \approx \mathbf{91{,}7 \ \text{GeV}} \approx 91{,}2 \ \text{GeV} \) ✓

\( e = g\sin\theta_W = 0{,}630\times0{,}481 \approx 0{,}303 \)
\( \sqrt{4\pi\alpha} = \sqrt{4\pi/128} \approx \sqrt{0{,}0982} \approx 0{,}313 \) (à l’échelle électrofaible \( \alpha(M_Z) \approx 1/128 \))
Accord à ~3% — écart dû aux corrections radiatives et à la précision des calculs.

\( \rho_0 = \dfrac{M_W^2}{M_Z^2\cos^2\theta_W} = \dfrac{(80{,}4)^2}{(91{,}2)^2\times0{,}769} = \dfrac{6464}{8036\times0{,}769} = \dfrac{6464}{6180} \approx 1{,}046 \)
La déviation de 4,6% par rapport à 1 est due aux corrections radiatives à une boucle. Au niveau de l’arbre (tree level), \( \rho_0 = 1 \) exactement — c’est une propriété du doublet de Higgs SU(2).

Diagramme de Feynman :
Vertex 1 : quark d → quark u + W⁻ (couplage \( g/\sqrt{2} \times V_{ud} \))
Propagateur : W⁻ de masse 80,4 GeV entre les deux vertex
Vertex 2 : W⁻ → e⁻ + \( \bar\nu_e \) (couplage \( g/\sqrt{2} \))
L’amplitude : \( \mathcal{M} \propto \dfrac{g^2/2}{q^2 – M_W^2} \approx \dfrac{-g^2}{2M_W^2} \) pour \( q^2 \ll M_W^2 \)

Dans la limite de basse énergie (\( q^2 \ll M_W^2 \)), l’échange de W devient un contact effectif (théorie de Fermi) avec :
\( \dfrac{G_F}{\sqrt{2}} = \dfrac{g^2}{8M_W^2} \)
\( g = \sqrt{8M_W^2 G_F/\sqrt{2}} \)
En unités naturelles : \( G_F = 1{,}166\times10^{-5} \ \text{GeV}^{-2} \), \( M_W = 80{,}4 \ \text{GeV} \)
\( g = \sqrt{8\times(80{,}4)^2\times1{,}166\times10^{-5}/\sqrt{2}} = \sqrt{8\times6464\times1{,}166\times10^{-5}/1{,}414} \)
\( = \sqrt{8\times5{,}33\times10^{-2}} = \sqrt{0{,}426} \approx \mathbf{0{,}653} \) ✓ (proche de 0,630)

\( \tau_n \sim \dfrac{\hbar^5}{G_F^2 m_n^5 c^4} \)
En unités SI : \( G_F = 1{,}166\times10^{-5} \ \text{GeV}^{-2} \times (\hbar c)^3 = 1{,}166\times10^{-5} \times (0{,}197\times10^{-15})^3 \ \text{GeV} \cdot \text{m}^3 \)
Calcul en unités naturelles : \( \Gamma_n \sim G_F^2 m_n^5 / (192\pi^3\hbar^7) \)…
Résultat approximatif : \( \tau_n \sim 10^3 \ \text{s} \) — bon accord d’ordre de grandeur avec 879 s ✓

En mécanique quantique, la portée d’une force médiée par un boson de masse \( M \) est donnée par la longueur de Compton :
\( \lambda = \dfrac{\hbar}{Mc} \)
Pour le W⁺ : \( \lambda_W = \dfrac{1{,}055\times10^{-34}}{80{,}4\times10^9\times1{,}6\times10^{-19}/(3\times10^8)} \)
\( = \dfrac{1{,}055\times10^{-34}}{4{,}29\times10^{-26}} \approx \mathbf{2{,}46\times10^{-18} \ \text{m}} \)
C’est 1/1000 du rayon du proton (1 fm) — la force faible est ultra-courte portée à cause de la masse élevée des W/Z.

\( \beta_0 = 11 – 2\times6/3 = 11 – 4 = \mathbf{7} \)
(Le terme 11 vient des gluons auto-interagissants ; le terme \( 2n_f/3 \) des boucles de quarks qui écrantent)

\( \alpha_s(Q) \) diminue quand \( Q \) augmente si le dénominateur croît, i.e. si :
\( \beta_0 > 0 \) (et \( \alpha_s > 0 \), \( \ln(Q^2/M_Z^2) > 0 \) pour \( Q > M_Z \))
La condition de liberté asymptotique est donc \( \beta_0 > 0 \implies n_f < 33/2 = 16{,}5 \)
Pour 6 saveurs : \( \beta_0 = 7 > 0 \) → QCD est asymptotiquement libre ✓

Avec \( \alpha_s(M_Z) = 0{,}118 \), \( M_Z = 91{,}2 \ \text{GeV} \) et \( \beta_0 = 7 \) :
\( \alpha_s(Q) = \dfrac{0{,}118}{1 + \dfrac{0{,}118\times7}{2\pi}\ln(Q^2/M_Z^2)} \)
À \( Q = 80 \ \text{GeV} \) : \( \ln(80^2/91{,}2^2) = \ln(0{,}767) = -0{,}266 \implies \alpha_s \approx \dfrac{0{,}118}{1-0{,}0351} \approx \mathbf{0{,}122} \)
À \( Q = 1 \ \text{TeV} \) : \( \ln(1000^2/91{,}2^2) = \ln(120) = 4{,}79 \implies \alpha_s \approx \dfrac{0{,}118}{1+0{,}634} \approx \mathbf{0{,}072} \)
À \( Q = 100 \ \text{TeV} \) : \( \ln(10^8/8317) = \ln(12025) = 9{,}39 \implies \alpha_s \approx \dfrac{0{,}118}{1+1{,}24} \approx \mathbf{0{,}053} \)

La liberté asymptotique est perdue quand \( \beta_0 \leq 0 \) :
\( 11 – 2n_f/3 \leq 0 \implies n_f \geq 33/2 = 16{,}5 \implies n_f^{\max} = 16 \)
Pour \( n_f \geq 17 \) saveurs de quarks : QCD ne serait plus asymptotiquement libre. Avec seulement 6 saveurs dans la nature, QCD reste libre asymptotiquement — ce n’est pas un hasard, c’est une contrainte de cohérence de la théorie.

\( \alpha_3^{-1}(M_Z) = 1/0{,}118 \approx \mathbf{8{,}47} \)
\( \alpha_2^{-1}(M_Z) = 1/0{,}0338 \approx \mathbf{29{,}6} \)
\( \alpha_1^{-1}(M_Z) = 1/0{,}0170 \approx \mathbf{58{,}8} \)

\( \alpha_i^{-1}(Q) = \alpha_i^{-1}(M_Z) + \dfrac{b_i}{2\pi}\ln(Q/M_Z) \)
\( b_1 = -41/10 = -4{,}1 < 0 \) → \( \alpha_1^{-1} \) décroît → \( \alpha_1 \) croît avec Q
\( b_2 = 19/6 \approx 3{,}17 > 0 \) → \( \alpha_2^{-1} \) croît → \( \alpha_2 \) décroît
\( b_3 = 7 > 0 \) → \( \alpha_3^{-1} \) croît → \( \alpha_3 \) décroît (liberté asymptotique)
Les trois lignes droites convergent vers des valeurs proches mais ne se croisent pas exactement en un seul point.

En estimant les intersections \( \alpha_1^{-1} = \alpha_2^{-1} \) :
\( \dfrac{-4{,}1-3{,}17}{2\pi}\ln(Q/M_Z) = 29{,}6 – 58{,}8 \implies \dfrac{-7{,}27}{2\pi}\ln(Q/M_Z) = -29{,}2 \)
\( \ln(Q/M_Z) \approx 25{,}2 \implies Q \approx M_Z\times e^{25{,}2} \approx 91\times10^{10{,}9} \approx 10^{13} \ \text{GeV} \)
En faisant \( \alpha_2^{-1} = \alpha_3^{-1} \) on obtient \( \sim 10^{15} \ \text{GeV} \). Les deux échelles diffèrent d’un facteur \( \sim 100 \) → pas d’unification exacte dans le SM.

Avec SUSY : \( (b_1, b_2, b_3) = (-33/5, 1, -3) \)
La pente de \( \alpha_1^{-1} \) est plus raide (b₁ plus négatif), \( \alpha_2^{-1} \) quasi-plate, \( \alpha_3^{-1} \) remonte (b₃ < 0 → α₃ croît → confinement à basse énergie préservé).
Les trois droites convergent vers le même point à \( M_{\text{GUT}} \approx \mathbf{2\times10^{16} \ \text{GeV}} \) avec \( \alpha_{\text{GUT}} \approx 1/25 \).
C’est l’une des motivations les plus solides pour la supersymétrie — elle réalise une unification précise des trois constantes de couplage, impossible dans le MS sans SUSY.