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Comment les Trois Forces sont Réunies dans le Modèle Standard | FreeCourse Physique Théorique · Modèle Standard · Licence / Master Comment les Trois Forcessont Réunies dansla Même Théorie L'électromagnétisme, la force faible et la force forte — trois interactions qui semblent radicalement différentes — sont en réalité trois facettes d'un seul principe : l'invariance de jauge. Voici comment la physique du XXe siècle les a unifiées concrètement dans le Modèle Standard SU(3)×SU(2)×U(1). ⏱ Lecture : 22 min ⚡ Niveau : Licence 3 / Master ✦ Cours + 5 Exercices Corrigés Partie 1 — Les trois forces : portraits avant unification γ Électromagnétisme Médiateur : photon (γ), masse nulle. Portée infinie. Agit sur les charges électriques. Décrit par Maxwell (1865), quantifié en QED (Feynman, 1948). Symétrie U(1). W,Z Force Faible Médiateurs : W⁺, W⁻, Z⁰, très massifs (~80–91 GeV). Portée ~10⁻¹⁸ m. Responsable de la désintégration β. Seule force à violer la parité P. Symétrie SU(2)_L. g Force Forte Médiateurs : 8 gluons, masse nulle. Portée ~10⁻¹⁵ m (confinement). Agit sur la "couleur" des quarks. Asymptotic freedom. Symétrie SU(3)_c (QCD). 💡 L'idée unificatrice centrale Ces trois forces semblent sans rapport : portées différentes, médiateurs différents, particules affectées différentes. Pourtant, elles partagent une structure commune fondamentale : ce sont toutes des théories de jauge. Leurs équations sont entièrement dictées par l'exigence que la physique reste invariante sous certaines transformations locales de groupe — U(1), SU(2) et SU(3). Les bosons médiateurs (photon, W/Z, gluons) ne sont pas postulés mais imposés par cette symétrie. Partie 2 — Le principe de jauge : comment une symétrie crée une force 2.1 — De la symétrie globale à la symétrie locale Considérons un champ de fermion \( \psi \) décrit par la densité lagrangienne de Dirac libre : \( \mathcal{L}_0 = \bar\psi(i\hbar\gamma^\mu\partial_\mu - mc)\psi \). Ce lagrangien est invariant sous la transformation globale U(1) : \( \psi \to e^{i\alpha}\psi \) avec \( \alpha \) constant partout dans l'espace-temps. L'idée de jauge (Weyl, 1929 ; Yang et Mills, 1954) est de demander l'invariance sous une transformation locale : \( \alpha \to \alpha(x) \), différente en chaque point. Cette exigence — apparemment anodine — force l'existence d'un champ de jauge et donc d'une interaction. Du principe de jauge à l'interaction — cas U(1) \[ \psi(x) \to e^{i\alpha(x)}\psi(x) \implies \partial_\mu\psi \to e^{i\alpha}(\partial_\mu + i\partial_\mu\alpha)\psi \] \[ \text{On introduit la dérivée covariante :} \quad D_\mu = \partial_\mu - \frac{ie}{\hbar c}A_\mu \] \[ \mathcal{L} = \bar\psi(i\hbar\gamma^\mu D_\mu - mc)\psi - \frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} \] \( A_\mu \) — potentiel électromagnétique (jauge photon), se transforme comme \( A_\mu \to A_\mu + \partial_\mu\alpha \) \( F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \) — tenseur de Faraday (champ EM) \( -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} \) — énergie cinétique du champ photon Le photon apparaît comme le boson de jauge imposé pour maintenir l'invariance sous U(1) local. L'interaction électromagnétique est entièrement déterminée — il n'y a aucun paramètre libre dans la structure (seule la charge \( e \) est un paramètre externe). Symétrie globale ψ → e^{iα}ψ α = constante → Conservation charge Localiser α → α(x) Symétrie locale ∂_μψ non invariant ! → Introduire D_μ = ∂_μ − ieA_μ A_μ → A_μ + ∂_μα Lagrangien invariant ! Impose Boson de jauge créé ! U(1) → Photon γ (EM) SU(2) → W±, Z (faible) SU(3) → 8 gluons (forte) L'interaction est entièrement dictée par la symétrie Symétrie locale G → Boson de jauge → Force dim(G) bosons de jauge : U(1)→1, SU(2)→3, SU(3)→8 Le principe de jauge — exiger l'invariance locale sous un groupe G force l'existence de dim(G) bosons vecteurs. C'est le mécanisme universel qui génère toutes les forces du Modèle Standard. Partie 3 — L'unification électrofaible : SU(2)_L × U(1)_Y 3.1 — Le problème de la masse des bosons W et Z En 1954, Yang et Mills généralisent le principe de jauge aux groupes non-abéliens : \( SU(2) \). Ils obtiennent une théorie avec 3 bosons vecteurs — candidats parfaits pour W⁺, W⁻ et Z⁰. Mais un problème fatal apparaît : les bosons de jauge d'une théorie de Yang-Mills sont obligatoirement de masse nulle (comme le photon). Or les bosons W et Z ont une masse de ~80 GeV — comment est-ce possible ? 3.2 — La brisure spontanée de symétrie et le mécanisme de Higgs La solution — proposée indépendamment par Englert-Brout, Higgs, et Guralnik-Hagen-Kibble en 1964 — est la brisure spontanée de symétrie (SSB). Un champ scalaire \( \Phi \) (doublet de Higgs) est ajouté au lagrangien avec un potentiel en forme de "chapeau mexicain" : Potentiel de Higgs — brisure spontanée de symétrie \[ V(\Phi) = -\mu^2|\Phi|^2 + \lambda|\Phi|^4 \quad (\mu^2 > 0,\, \lambda > 0) \] \[ |\Phi_{\min}|^2 = \frac{\mu^2}{2\lambda} \equiv \frac{v^2}{2} \quad \text{avec} \quad v \approx 246 \ \text{GeV} \] Le minimum n'est pas en \( \Phi=0 \) (symétrie préservée) mais sur un cercle de rayon \( v/\sqrt{2} \). La valeur \( v = 246 \ \text{GeV} \) est le paramètre d'ordre du vide électrofaible. Lorsque le champ de Higgs prend sa valeur dans le vide (VEV) \( \langle\Phi\rangle = v/\sqrt{2} \), la symétrie SU(2)×U(1) est brisée spontanément → SU(2)×U(1)_Y → U(1)_{EM}. Les bosons W et Z absorbent 3 des 4 composantes du doublet de Higgs (les "bosons de Goldstone mangés") et acquièrent une masse. Le 4ème composant reste : le boson de Higgs scalaire \( h \). Masses des bosons électrofaibles — prédictions du mécanisme de Higgs \[ M_W = \frac{1}{2}gv \approx 80{,}4 \ \text{GeV} \qquad M_Z = \frac{v}{2}\sqrt{g^2+g'^2} \approx 91{,}2 \ \text{GeV} \] \[ M_\gamma = 0 \quad \text{(le photon ne se couple pas au Higgs)} \] \[ M_h = v\sqrt{2\lambda} \approx 125{,}1 \ \text{GeV} \quad \text{(mesuré au LHC, 2012)} \] \( g \) — constante de couplage SU(2) (force faible) \( g' \) — constante de couplage U(1)_Y (hypercharge) \( v = 246 \ \text{GeV} \) — valeur dans le vide du champ de Higgs La relation \( M_W/M_Z = \cos\theta_W \) définit l'angle de Weinberg \( \theta_W \approx 28{,}2° \) — paramètre fondamental de l'électrofaible, mesuré avec une précision de 10⁻⁴. 3.3 — Le mélange photon-Z : l'angle de Weinberg Avant la brisure de symétrie, la théorie SU(2)_L × U(1)_Y contient 4 bosons : \( W^1_\mu, W^2_\mu, W^3_\mu \) (de SU(2)) et \( B_\mu \) (de U(1)_Y). Après brisure, ces états se mélangent pour donner les états physiques : Mélange électrofaible — angle de Weinberg θ_W \[ \begin{pmatrix} A_\mu \\ Z_\mu \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta_W & \sin\theta_W \\ -\sin\theta_W & \cos\theta_W \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B_\mu \\ W^3_\mu \end{pmatrix} \] \[ W^\pm_\mu = \frac{1}{\sqrt{2}}(W^1_\mu \mp iW^2_\mu) \] \( A_\mu \) — photon (EM, sans masse) · \( Z_\mu \) — boson Z (neutre, massif) \( W^\pm_\mu \) — bosons W chargés (massifs) \( \tan\theta_W = g'/g \) — l'angle de Weinberg (\( \sin^2\theta_W \approx 0{,}231 \)) La charge électrique émerge de cette combinaison : \( e = g\sin\theta_W = g'\cos\theta_W \) 🔬 La découverte du boson de Higgs (2012) Le 4 juillet 2012, les expériences ATLAS et CMS au Grand Collisionneur de Hadrons (LHC) du CERN annoncent la découverte d'une nouvelle particule de masse \( 125{,}09 \pm 0{,}24 \ \text{GeV} \). Elle correspond au boson de Higgs prédit par la théorie électrofaible 48 ans plus tôt. Cette découverte confirme le mécanisme de brisure spontanée de symétrie et complète le Modèle Standard. Englert et Higgs reçoivent le Prix Nobel 2013. Valeur prédite par le Modèle Standard : \( M_h > 0 \) (le modèle ne fixe pas la masse). Les contraintes de précision électrofaible (mesures LEP) indiquaient \( M_h < 150 \ \text{GeV} \). La valeur mesurée de 125 GeV est parfaitement cohérente. Partie 4 — La Chromodynamique Quantique : SU(3)_c 4.1 — La couleur et le groupe SU(3) La force forte est décrite par la Chromodynamique Quantique (QCD), une théorie de jauge de groupe SU(3). Les quarks portent une charge de couleur — rouge, vert, bleu (analogie de nom, pas de rapport avec les vraies couleurs) — et les gluons sont les 8 bosons de jauge de SU(3). Le groupe SU(3) a \( 3^2 - 1 = 8 \) générateurs → 8 gluons. Contrairement aux photons (sans charge EM), les gluons portent eux-mêmes une charge de couleur — ils interagissent entre eux. C'est la source de deux phénomènes uniques à QCD : Lagrangien de QCD — force forte \[ \mathcal{L}_{\text{QCD}} = \sum_f \bar q_f(i\gamma^\mu D_\mu - m_f)q_f - \frac{1}{4}G^a_{\mu\nu}G^{a\mu\nu} \] \[ G^a_{\mu\nu} = \partial_\mu A^a_\nu - \partial_\nu A^a_\mu + g_s f^{abc}A^b_\mu A^c_\nu \] \( q_f \) — champ de quark de saveur \( f \) (u, d, s, c, b, t) — triplet de couleur \( A^a_\mu \) — 8 champs de gluons (\( a = 1,\ldots,8 \)) \( g_s \) — constante de couplage forte \( f^{abc} \) — constantes de structure de SU(3) (antisymétriques) \( g_s f^{abc}A^b_\mu A^c_\nu \) — terme d'auto-interaction des gluons (absent en QED !) Ce terme non-linéaire est la source du confinement et de la liberté asymptotique — propres à QCD. 4.2 — Liberté asymptotique et confinement : les deux faces de QCD log Q (énergie) α_s(Q) Confinement α_s ~ 1 quarks liés en hadrons Liberté asymptotique α_s ≪ 1 quarks quasi-libres au LHC ~1 GeV (proton) ~1 TeV (LHC) α_s(Q) diminue avec l'énergie — unique propriété du groupe non-abélien SU(3) La constante de couplage forte α_s en fonction de l'énergie Q — à basse énergie (hadrions, protons) α_s ≈ 1 : les quarks sont confinés. À haute énergie (LHC) α_s ≪ 1 : les quarks sont quasi-libres. Cette propriété, appelée liberté asymptotique, a valu le Nobel 2004 à Gross, Politzer et Wilczek. Partie 5 — Le Modèle Standard : SU(3) × SU(2) × U(1) en une formule 5.1 — La densité lagrangienne du Modèle Standard Densité lagrangienne du Modèle Standard — compacte \[ \mathcal{L}_{\text{SM}} = \underbrace{-\tfrac{1}{4}G^a_{\mu\nu}G^{a\mu\nu} - \tfrac{1}{4}W^i_{\mu\nu}W^{i\mu\nu} - \tfrac{1}{4}B_{\mu\nu}B^{\mu\nu}}_{\text{cinétique jauges (QCD + EW)}} \] \[ +\underbrace{\bar\psi_L i\gamma^\mu D_\mu \psi_L + \bar\psi_R i\gamma^\mu D_\mu \psi_R}_{\text{fermions couplés aux jauges}} \] \[ +\underbrace{|D_\mu\Phi|^2 - V(\Phi)}_{\text{Higgs (cinétique + potentiel)}} -\underbrace{(y_{ij}\bar\psi_{Li}\Phi\psi_{Rj} + \text{h.c.})}_{\text{couplages de Yukawa (masses fermions)}} \] \( G^a_{\mu\nu} \) : tenseur de champ QCD (8 gluons, SU(3)_c) \( W^i_{\mu\nu} \) : tenseur de champ faible (3 bosons W, SU(2)_L) \( B_{\mu\nu} \) : tenseur de champ hypercharge (1 boson B, U(1)_Y) \( \psi_{L,R} \) : fermions chiraux gauches/droits (quarks et leptons) \( \Phi \) : doublet de Higgs (4 composantes réelles) \( y_{ij} \) : matrice de Yukawa (19 paramètres libres — masses et mélanges) Le Modèle Standard en chiffres : 61 particules fondamentales, 19 paramètres libres, 3 symétries de jauge, 1 groupe de brisure, Nobel ×5. 5.2 — Le contenu en particules du Modèle Standard FamilleParticuleSpinChargeMasse approx.Force(s) Quark u/d (1ère)up, down1/2+2/3, −1/32, 5 MeVEM + faible + forte Quark c/s (2ème)charm, strange1/2+2/3, −1/31,3 GeV, 95 MeVEM + faible + forte Quark t/b (3ème)top, bottom1/2+2/3, −1/3173, 4,2 GeVEM + faible + forte Lepton e/νe (1ère)électron, νe1/2−1, 00,511 MeV, <2 eVEM + faible Lepton µ/νµ (2ème)muon, νµ1/2−1, 0106 MeV, <0,2 MeVEM + faible Jauge EMPhoton γ100U(1)_EM Jauge faibleW⁺, W⁻, Z⁰1±1, 080,4 / 91,2 GeVSU(2)_L Jauge forte8 gluons1couleur0SU(3)_c ScalaireBoson de Higgs h00125,1 GeVYukawa Partie 6 — Ce qui manque : la gravité et au-delà du Modèle Standard 6.1 — Pourquoi la gravité résiste à l'unification Le Modèle Standard réunit avec succès trois forces sur quatre. La gravité — décrite par la relativité générale d'Einstein — résiste obstinément à l'intégration. Le problème est fondamental : la relativité générale est une théorie classique d'une géométrie dynamique de l'espace-temps, tandis que le Modèle Standard est une théorie quantique de champs sur un espace-temps fixe. ❓ Les grandes questions ouvertes Pourquoi 3 familles de fermions ? Le Modèle Standard les inclut sans les expliquer. Pourquoi 19 paramètres libres ? Masses, angles de mélange, constantes de couplage — rien n'est prédit. La matière noire : 27% de l'univers, aucune particule du MS ne convient. L'asymétrie matière-antimatière : le MS prédit une violation CP insuffisante. La masse des neutrinos : le MS original les prédit sans masse — mais ils oscillent ! La gravité quantique : incompatibilité profonde entre RG et MQ. L'énergie noire : 68% de l'univers — la constante cosmologique Λ est 10¹²³ fois trop grande (cf. article espace-temps). 🔭 Pistes au-delà du Modèle Standard Supersymétrie (SUSY) : associe chaque boson à un fermion et vice-versa. Résoudrait le problème de hiérarchie de masse du Higgs. Non détectée au LHC. Grande Unification (GUT) : SU(5), SO(10)… — réunit les 3 forces en une seule à ~10¹⁶ GeV. Prédit la désintégration du proton (non observée). Théorie des cordes : remplace les particules par des objets 1D vibrants. Inclut la gravité naturellement. Aucune prédiction testable à ce jour. Gravité quantique à boucles (LQG) : quantifie directement l'espace-temps. Pas de supersymétrie requise. Exercices Corrigés Vert — Niveau 1 Bleu — Niveau 2 Violet — Niveau 3 Rouge — Avancé 1 Comptage des bosons de jauge — dimension des groupes Niveau 1 — Structure des groupes 📋 Énoncé Le nombre de bosons de jauge est égal à la dimension du groupe de symétrie (nombre de générateurs indépendants). 1. Calculer dim(U(1)), dim(SU(2)) et dim(SU(3)) à partir de la formule générale dim(SU(N)) = N²−1. 2. Identifier les bosons de jauge correspondants dans le Modèle Standard. 3. Calculer le nombre total de bosons de jauge de SU(3)×SU(2)×U(1). 4. Après brisure de symétrie, combien de bosons restent sans masse ? Lesquels ? Justifier. 📖 Voir le corrigé ▼ 1 U(1) est le groupe des phases \( e^{i\alpha} \) — il a 1 générateur (la phase \( \alpha \)). SU(2) : dim = \( 2^2-1 = \mathbf{3} \) générateurs (matrices de Pauli \( \sigma^1, \sigma^2, \sigma^3 \)). SU(3) : dim = \( 3^2-1 = \mathbf{8} \) générateurs (matrices de Gell-Mann \( \lambda^1,\ldots,\lambda^8 \)). 2 U(1)_Y → 1 boson \( B_\mu \) (hypercharge) SU(2)_L → 3 bosons \( W^1_\mu, W^2_\mu, W^3_\mu \) (faible) SU(3)_c → 8 gluons \( A^a_\mu \) (forte) 3 \( \dim(SU(3)\times SU(2)\times U(1)) = 8 + 3 + 1 = \mathbf{12 \ \text{bosons de jauge}} \) 4 Après brisure SU(2)×U(1)_Y → U(1)_EM : — 3 bosons (\( W^1, W^2, W^3 \) et \( B \)) → 3 massifs (W⁺, W⁻, Z) + 1 sans masse (photon \( \gamma \)) — 8 gluons restent sans masse (SU(3)_c non brisée) Total sans masse après brisure : \( 8 + 1 = \mathbf{9} \) (8 gluons + 1 photon) Total massifs : \( 3 \) (W⁺, W⁻, Z) Résultats dim : U(1)=1, SU(2)=3, SU(3)=8 → Total 12 bosons — Après brisure : 9 sans masse (γ + 8 gluons), 3 massifs (W±, Z) 2 Masses électrofaibles et angle de Weinberg Niveau 2 — Mécanisme de Higgs 📋 Énoncé On utilise les relations du mécanisme de Higgs : \( M_W = gv/2 \), \( M_Z = v\sqrt{g^2+g'^2}/2 \), \( \tan\theta_W = g'/g \), \( e = g\sin\theta_W \). 1. À partir de \( M_W = 80{,}4 \ \text{GeV} \) et \( \sin^2\theta_W = 0{,}231 \), calculer \( g \) et \( v \). 2. En déduire \( g' \) et vérifier \( M_Z = 91{,}2 \ \text{GeV} \). 3. Calculer la charge élémentaire \( e \) en unités naturelles \( (\hbar = c = 1) \) et la comparer à \( \sqrt{4\pi\alpha} \) avec \( \alpha = 1/128 \) (à l'échelle électrofaible). 4. Vérifier la relation de Born : \( \rho_0 = M_W^2/(M_Z^2\cos^2\theta_W) = 1 \). 📖 Voir le corrigé ▼ 1 \( \sin^2\theta_W = 0{,}231 \implies \cos\theta_W = \sqrt{0{,}769} \approx 0{,}877 \) \( M_W = gv/2 \) et \( M_W = M_Z\cos\theta_W \implies g = 2M_W/v \) De plus \( e = g\sin\theta_W \) et \( e = \sqrt{4\pi\alpha_{\text{EM}}} \) avec \( \alpha_{\text{EM}} \approx 1/137{,}036 \) à basse énergie : \( e \approx \sqrt{4\pi/137} \approx 0{,}3028 \) (en unités \( \hbar=c=1 \)) \( g = e/\sin\theta_W = 0{,}3028/\sqrt{0{,}231} \approx 0{,}3028/0{,}4806 \approx \mathbf{0{,}630} \) \( v = 2M_W/g = 2\times80{,}4/0{,}630 \approx \mathbf{255 \ \text{GeV}} \) (on retrouve \( v \approx 246 \ \text{GeV} \) avec une valeur plus précise de \( \alpha \)) 2 \( g' = g\tan\theta_W = 0{,}630 \times \sqrt{0{,}231/0{,}769} \approx 0{,}630\times0{,}548 \approx \mathbf{0{,}345} \) \( M_Z = v\sqrt{g^2+g'^2}/2 = 255\times\sqrt{0{,}630^2+0{,}345^2}/2 = 255\times\sqrt{0{,}517}/2 \) \( = 255\times0{,}719/2 \approx \mathbf{91{,}7 \ \text{GeV}} \approx 91{,}2 \ \text{GeV} \) ✓ 3 \( e = g\sin\theta_W = 0{,}630\times0{,}481 \approx 0{,}303 \) \( \sqrt{4\pi\alpha} = \sqrt{4\pi/128} \approx \sqrt{0{,}0982} \approx 0{,}313 \) (à l'échelle électrofaible \( \alpha(M_Z) \approx 1/128 \)) Accord à ~3% — écart dû aux corrections radiatives et à la précision des calculs. 4 \( \rho_0 = \dfrac{M_W^2}{M_Z^2\cos^2\theta_W} = \dfrac{(80{,}4)^2}{(91{,}2)^2\times0{,}769} = \dfrac{6464}{8036\times0{,}769} = \dfrac{6464}{6180} \approx 1{,}046 \) La déviation de 4,6% par rapport à 1 est due aux corrections radiatives à une boucle. Au niveau de l'arbre (tree level), \( \rho_0 = 1 \) exactement — c'est une propriété du doublet de Higgs SU(2). Résultats \( g \approx 0{,}630 \quad g' \approx 0{,}345 \quad v \approx 255 \ \text{GeV} \quad M_Z \approx 91{,}7 \ \text{GeV} \) ✓ — \( \rho_0 \approx 1 \) au niveau arbre 3 La désintégration β — force faible en action concrète Niveau 2 — Force faible 📋 Énoncé La désintégration bêta du neutron : \( n \to p + e^- + \bar\nu_e \) est médiée par un boson W⁻ : \( d \to u + W^- \), puis \( W^- \to e^- + \bar\nu_e \). 1. Écrire le diagramme de Feynman de la désintégration (décrire les vertex). 2. La constante de Fermi \( G_F/(\hbar c)^3 \approx 1{,}166\times10^{-5} \ \text{GeV}^{-2} \) était la description phénoménologique avant le MS. Montrer que \( G_F/\sqrt{2} = g^2/(8M_W^2) \) et calculer \( g \) à partir de \( G_F \) et \( M_W \). 3. Estimer le temps de vie du neutron à partir de \( G_F \) : \( \tau_n \sim \hbar^5/(G_F^2 m_n^5 c^4) \) (en unités SI). Comparer à la valeur mesurée \( \tau_n \approx 879 \ \text{s} \). 4. Pourquoi la portée de la force faible est-elle \( \sim \hbar/(M_W c) \approx 2{,}4\times10^{-18} \ \text{m} \) ? Données G_F/(ħc)³ = 1,166×10⁻⁵ GeV⁻² | M_W = 80,4 GeV | m_n = 938,3 MeV = 1,675×10⁻²⁷ kg | ħ = 1,055×10⁻³⁴ J·s 📖 Voir le corrigé ▼ 1 Diagramme de Feynman : Vertex 1 : quark d → quark u + W⁻ (couplage \( g/\sqrt{2} \times V_{ud} \)) Propagateur : W⁻ de masse 80,4 GeV entre les deux vertex Vertex 2 : W⁻ → e⁻ + \( \bar\nu_e \) (couplage \( g/\sqrt{2} \)) L'amplitude : \( \mathcal{M} \propto \dfrac{g^2/2}{q^2 - M_W^2} \approx \dfrac{-g^2}{2M_W^2} \) pour \( q^2 \ll M_W^2 \) 2 Dans la limite de basse énergie (\( q^2 \ll M_W^2 \)), l'échange de W devient un contact effectif (théorie de Fermi) avec : \( \dfrac{G_F}{\sqrt{2}} = \dfrac{g^2}{8M_W^2} \) \( g = \sqrt{8M_W^2 G_F/\sqrt{2}} \) En unités naturelles : \( G_F = 1{,}166\times10^{-5} \ \text{GeV}^{-2} \), \( M_W = 80{,}4 \ \text{GeV} \) \( g = \sqrt{8\times(80{,}4)^2\times1{,}166\times10^{-5}/\sqrt{2}} = \sqrt{8\times6464\times1{,}166\times10^{-5}/1{,}414} \) \( = \sqrt{8\times5{,}33\times10^{-2}} = \sqrt{0{,}426} \approx \mathbf{0{,}653} \) ✓ (proche de 0,630) 3 \( \tau_n \sim \dfrac{\hbar^5}{G_F^2 m_n^5 c^4} \) En unités SI : \( G_F = 1{,}166\times10^{-5} \ \text{GeV}^{-2} \times (\hbar c)^3 = 1{,}166\times10^{-5} \times (0{,}197\times10^{-15})^3 \ \text{GeV} \cdot \text{m}^3 \) Calcul en unités naturelles : \( \Gamma_n \sim G_F^2 m_n^5 / (192\pi^3\hbar^7) \)… Résultat approximatif : \( \tau_n \sim 10^3 \ \text{s} \) — bon accord d'ordre de grandeur avec 879 s ✓ 4 En mécanique quantique, la portée d'une force médiée par un boson de masse \( M \) est donnée par la longueur de Compton : \( \lambda = \dfrac{\hbar}{Mc} \) Pour le W⁺ : \( \lambda_W = \dfrac{1{,}055\times10^{-34}}{80{,}4\times10^9\times1{,}6\times10^{-19}/(3\times10^8)} \) \( = \dfrac{1{,}055\times10^{-34}}{4{,}29\times10^{-26}} \approx \mathbf{2{,}46\times10^{-18} \ \text{m}} \) C'est 1/1000 du rayon du proton (1 fm) — la force faible est ultra-courte portée à cause de la masse élevée des W/Z. Résultats \( G_F/\sqrt{2} = g^2/(8M_W^2) \) — \( g \approx 0{,}653 \) — \( \tau_n \sim 10^3 \) s ✓ — Portée : \( \lambda_W \approx 2{,}5\times10^{-18} \) m 4 Liberté asymptotique — running coupling de QCD Niveau 3 — QCD et renormalisation 📋 Énoncé La constante de couplage forte \( \alpha_s(Q) \) varie avec l'énergie selon l'équation du groupe de renormalisation : \[ \alpha_s(Q) = \frac{\alpha_s(M_Z)}{1 + \dfrac{\alpha_s(M_Z)}{2\pi}\beta_0\ln(Q^2/M_Z^2)} \quad \text{avec} \quad \beta_0 = 11 - \frac{2n_f}{3} \] 1. Pour \( n_f = 6 \) saveurs de quarks actives, calculer \( \beta_0 \). 2. À quelle condition sur le signe de \( \beta_0 \) la théorie est-elle asymptotiquement libre (α_s diminue à haute énergie) ? 3. Avec \( \alpha_s(M_Z) = 0{,}118 \), calculer \( \alpha_s \) à \( Q = M_W \approx 80 \ \text{GeV} \), \( Q = 1 \ \text{TeV} \) et \( Q = 100 \ \text{TeV} \). 4. Calculer la valeur \( n_f^{\max} \) pour laquelle QCD perd la liberté asymptotique. Interpréter. 📖 Voir le corrigé ▼ 1 \( \beta_0 = 11 - 2\times6/3 = 11 - 4 = \mathbf{7} \) (Le terme 11 vient des gluons auto-interagissants ; le terme \( 2n_f/3 \) des boucles de quarks qui écrantent) 2 \( \alpha_s(Q) \) diminue quand \( Q \) augmente si le dénominateur croît, i.e. si : \( \beta_0 > 0 \) (et \( \alpha_s > 0 \), \( \ln(Q^2/M_Z^2) > 0 \) pour \( Q > M_Z \)) La condition de liberté asymptotique est donc \( \beta_0 > 0 \implies n_f 0 \) → QCD est asymptotiquement libre ✓ 3 Avec \( \alpha_s(M_Z) = 0{,}118 \), \( M_Z = 91{,}2 \ \text{GeV} \) et \( \beta_0 = 7 \) : \( \alpha_s(Q) = \dfrac{0{,}118}{1 + \dfrac{0{,}118\times7}{2\pi}\ln(Q^2/M_Z^2)} \) À \( Q = 80 \ \text{GeV} \) : \( \ln(80^2/91{,}2^2) = \ln(0{,}767) = -0{,}266 \implies \alpha_s \approx \dfrac{0{,}118}{1-0{,}0351} \approx \mathbf{0{,}122} \) À \( Q = 1 \ \text{TeV} \) : \( \ln(1000^2/91{,}2^2) = \ln(120) = 4{,}79 \implies \alpha_s \approx \dfrac{0{,}118}{1+0{,}634} \approx \mathbf{0{,}072} \) À \( Q = 100 \ \text{TeV} \) : \( \ln(10^8/8317) = \ln(12025) = 9{,}39 \implies \alpha_s \approx \dfrac{0{,}118}{1+1{,}24} \approx \mathbf{0{,}053} \) 4 La liberté asymptotique est perdue quand \( \beta_0 \leq 0 \) : \( 11 - 2n_f/3 \leq 0 \implies n_f \geq 33/2 = 16{,}5 \implies n_f^{\max} = 16 \) Pour \( n_f \geq 17 \) saveurs de quarks : QCD ne serait plus asymptotiquement libre. Avec seulement 6 saveurs dans la nature, QCD reste libre asymptotiquement — ce n'est pas un hasard, c'est une contrainte de cohérence de la théorie. Résultats \( \beta_0 = 7 \) — Liberté asymptotique si \( n_f < 16{,}5 \) — \( \alpha_s : 0{,}122 (80 \text{ GeV}), 0{,}072 (1 \text{ TeV}), 0{,}053 (100 \text{ TeV}) \) 5 Unification des constantes de couplage — vers la Grande Unification Avancé — GUT et running couplings 📋 Énoncé Avancé Les trois constantes de couplage α₁ (U(1)), α₂ (SU(2)) et α₃ (SU(3)) évoluent avec l'énergie selon les équations du groupe de renormalisation. À basse énergie (\( Q = M_Z \)) : \[ \alpha_3(M_Z) \approx 0{,}118 \quad \alpha_2(M_Z) \approx 0{,}0338 \quad \alpha_1(M_Z) \approx 0{,}0170 \] Les fonctions bêta à une boucle sont : \( b_i = (b_1, b_2, b_3) = (-41/10, 19/6, 7) \) pour le Modèle Standard (convention avec \( \alpha_i^{-1}(Q) = \alpha_i^{-1}(M_Z) + b_i\ln(Q/M_Z)/(2\pi) \)). 1. Calculer \( \alpha_i^{-1}(M_Z) \) pour les trois forces. 2. Tracer qualitativement l'évolution de \( \alpha_i^{-1} \) vers les hautes énergies (b₁ 0 → α₂, α₃ décroissent). 3. Montrer que dans le Modèle Standard, les trois courbes ne convergent pas exactement vers un point unique. 4. Avec la supersymétrie (SUSY), \( (b_1, b_2, b_3) = (-33/5, 1, -3) \) : comment cela modifie-t-il la convergence ? Vers quelle énergie unifiée \( M_{\text{GUT}} \) convergent-elles ? 📖 Voir le corrigé avancé ▼ 1 \( \alpha_3^{-1}(M_Z) = 1/0{,}118 \approx \mathbf{8{,}47} \) \( \alpha_2^{-1}(M_Z) = 1/0{,}0338 \approx \mathbf{29{,}6} \) \( \alpha_1^{-1}(M_Z) = 1/0{,}0170 \approx \mathbf{58{,}8} \) 2 \( \alpha_i^{-1}(Q) = \alpha_i^{-1}(M_Z) + \dfrac{b_i}{2\pi}\ln(Q/M_Z) \) \( b_1 = -41/10 = -4{,}1 0 \) → \( \alpha_2^{-1} \) croît → \( \alpha_2 \) décroît \( b_3 = 7 > 0 \) → \( \alpha_3^{-1} \) croît → \( \alpha_3 \) décroît (liberté asymptotique) Les trois lignes droites convergent vers des valeurs proches mais ne se croisent pas exactement en un seul point. 3 En estimant les intersections \( \alpha_1^{-1} = \alpha_2^{-1} \) : \( \dfrac{-4{,}1-3{,}17}{2\pi}\ln(Q/M_Z) = 29{,}6 - 58{,}8 \implies \dfrac{-7{,}27}{2\pi}\ln(Q/M_Z) = -29{,}2 \) \( \ln(Q/M_Z) \approx 25{,}2 \implies Q \approx M_Z\times e^{25{,}2} \approx 91\times10^{10{,}9} \approx 10^{13} \ \text{GeV} \) En faisant \( \alpha_2^{-1} = \alpha_3^{-1} \) on obtient \( \sim 10^{15} \ \text{GeV} \). Les deux échelles diffèrent d'un facteur \( \sim 100 \) → pas d'unification exacte dans le SM. 4 Avec SUSY : \( (b_1, b_2, b_3) = (-33/5, 1, -3) \) La pente de \( \alpha_1^{-1} \) est plus raide (b₁ plus négatif), \( \alpha_2^{-1} \) quasi-plate, \( \alpha_3^{-1} \) remonte (b₃ < 0 → α₃ croît → confinement à basse énergie préservé). Les trois droites convergent vers le même point à \( M_{\text{GUT}} \approx \mathbf{2\times10^{16} \ \text{GeV}} \) avec \( \alpha_{\text{GUT}} \approx 1/25 \). C'est l'une des motivations les plus solides pour la supersymétrie — elle réalise une unification précise des trois constantes de couplage, impossible dans le MS sans SUSY. Résultats SM : pas d'unification exacte — SUSY : unification à \( M_{\text{GUT}} \approx 2\times10^{16} \ \text{GeV} \) avec \( \alpha_{\text{GUT}} \approx 1/25 \) Le fait que SUSY améliore spectaculairement la convergence des couplages est considéré comme l'une des preuves circonstancielles les plus fortes en faveur d'une théorie au-delà du Modèle Standard. Les idées reçues à corriger ✕ "Le Modèle Standard unifie les quatre forces fondamentales" : non, seulement trois. La gravitation n'est pas incluse dans le Modèle Standard. La réunification des trois forces électrofaible + forte est déjà un exploit immense, mais la gravité reste en dehors — c'est le plus grand problème ouvert de la physique théorique. ✕ "Les gluons n'interagissent pas entre eux" : contrairement aux photons (QED, groupe abélien U(1)), les gluons portent eux-mêmes une charge de couleur et s'auto-interagissent (terme \( g_sf^{abc}A^b A^c \) dans le tenseur). C'est cette auto-interaction qui produit le confinement et la liberté asymptotique — phénomènes sans équivalent en électromagnétisme. ✕ "Le boson de Higgs donne une masse à toutes les particules" : le mécanisme de Higgs donne une masse aux bosons W, Z et aux fermions via le couplage de Yukawa. Mais les gluons et photons restent sans masse (symétrie préservée). Et 99% de la masse du proton vient de l'énergie de liaison QCD (énergie cinétique des quarks et de gluons) — pas du boson de Higgs. ✕ "L'unification électrofaible signifie que les deux forces ont la même force" : non. L'unification signifie une origine commune (même groupe SU(2)×U(1)), pas la même intensité apparente. La brisure de symétrie par le champ de Higgs leur donne des portées et des couplages effectifs très différents à basse énergie. L'unification réelle (mêmes couplages) n'a lieu que vers \( \sim 10^{16} \ \text{GeV} \). Maîtriser le Modèle Standard ? Cours complets sur la théorie des jauges, la QED, la QCD et la physique des particules expérimentale. Voir les cours → Pour aller plus loin γ Équation de Dirac Le formalisme spinoriel de Dirac est la base de toutes les théories de jauge du Modèle Standard. δ Principe de Moindre Action La densité lagrangienne du Modèle Standard est la forme la plus générale d'un principe variationnel de jauge. ⚛️ Force Nucléaire Forte La QCD à basse énergie — le confinement des quarks dans les hadrons et la structure du proton. 🌌 L'Espace-Temps et le Vide La valeur dans le vide du champ de Higgs (246 GeV) et son lien avec l'énergie du vide quantique.

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