\( D = \dfrac{k_B T}{6\pi\eta r} = \dfrac{1{,}381\times10^{-23}\times293}{6\pi\times10^{-3}\times10^{-6}} \)
\( = \dfrac{4{,}047\times10^{-21}}{1{,}885\times10^{-8}} \approx \mathbf{2{,}15\times10^{-13} \ \text{m}^2/\text{s}} \)

En 2D : \( \langle r^2\rangle = 4Dt \implies \sqrt{\langle r^2\rangle} = 2\sqrt{Dt} \)
\( t=1 \ \text{s} \) : \( \sqrt{4\times2{,}15\times10^{-13}} \approx \mathbf{0{,}93 \ \mu\text{m}} \)
\( t=10 \ \text{s} \) : \( \sqrt{4\times10\times2{,}15\times10^{-13}} \approx \mathbf{2{,}93 \ \mu\text{m}} \)
\( t=100 \ \text{s} \) : \( \sqrt{4\times100\times2{,}15\times10^{-13}} \approx \mathbf{9{,}27 \ \mu\text{m}} \)

\( \langle r^2\rangle = (10\times10^{-6})^2 = 10^{-10} \ \text{m}^2 \)
\( t = \dfrac{\langle r^2\rangle}{4D} = \dfrac{10^{-10}}{4\times2{,}15\times10^{-13}} \approx \mathbf{116 \ \text{s} \approx 2 \ \text{min}} \)

\( D_{\text{eau}} = \dfrac{k_BT}{6\pi\eta r_{\text{eau}}} = \dfrac{4{,}047\times10^{-21}}{6\pi\times10^{-3}\times1{,}5\times10^{-10}} \approx 1{,}43\times10^{-9} \ \text{m}^2/\text{s} \)
À \( t = 1 \ \text{s} \) : \( \sqrt{4D_{\text{eau}}t} \approx \sqrt{4\times1{,}43\times10^{-9}} \approx 75{,}7 \ \mu\text{m} \)
Rapport : \( 75{,}7/0{,}93 \approx 81 \) — la molécule d’eau diffuse 81 fois plus vite que la bille de 1 µm à même durée.

Chaque pas \( \xi_i = \pm a \) indépendamment avec \( \langle\xi_i\rangle = 0 \) et \( \langle\xi_i^2\rangle = a^2 \).
Position : \( x_n = \sum_{i=1}^n \xi_i \)
\( \langle x_n\rangle = \sum\langle\xi_i\rangle = \mathbf{0} \)
\( \langle x_n^2\rangle = \langle(\sum\xi_i)^2\rangle = \sum_i\langle\xi_i^2\rangle + \sum_{i\neq j}\langle\xi_i\xi_j\rangle = na^2 \)
(termes croisés nuls par indépendance)

\( \langle x_n^2\rangle = na^2 = \dfrac{t}{\Delta t}a^2 = \dfrac{a^2}{\Delta t}\cdot t \)
Comparaison avec \( \langle x^2\rangle = 2Dt \) :
\( D = \dfrac{a^2}{2\Delta t} = \dfrac{(10^{-8})^2}{2\times10^{-3}} = \dfrac{10^{-16}}{2\times10^{-3}} = \mathbf{5\times10^{-14} \ \text{m}^2/\text{s}} \)

\( t=1 \ \text{s} \) : \( \sqrt{\langle x^2\rangle} = \sqrt{2\times5\times10^{-14}\times1} = \sqrt{10^{-13}} \approx \mathbf{316 \ \text{nm}} \)
\( t=60 \ \text{s} \) : \( \sqrt{2\times5\times10^{-14}\times60} = \sqrt{6\times10^{-12}} \approx \mathbf{2{,}45 \ \mu\text{m}} \)

Par le Théorème Central Limite, pour \( n \) grand :
\( x_n = \sum_{i=1}^n \xi_i \xrightarrow{d} \mathcal{N}(0, na^2) = \mathcal{N}(0, 2Dt) \)
La marche aléatoire converge vers une gaussienne de variance \( 2Dt \) — exactement comme le brownien continu. C’est le théorème de Donsker à l’œuvre.

En 1D : \( \langle\Delta x^2\rangle = 2D_{\text{exp}}\Delta t \)
\( D_{\text{exp}} = \dfrac{\langle\Delta x^2\rangle}{2\Delta t} = \dfrac{1{,}76\times10^{-12}}{2\times30} \approx \mathbf{2{,}93\times10^{-14} \ \text{m}^2/\text{s}} \)

Einstein-Stokes : \( D = k_BT/(6\pi\eta r) \implies k_BT = D\times6\pi\eta r \)
\( k_BT = 2{,}93\times10^{-14} \times 6\pi \times 10^{-3} \times 5{,}3\times10^{-7} \)
\( = 2{,}93\times10^{-14} \times 9{,}99\times10^{-9} \approx 2{,}93\times10^{-22} \times 3{,}41 \approx \mathbf{2{,}93\times10^{-21} \ \text{J}} \)
Plus précisément : \( k_B = k_BT/T = 2{,}93\times10^{-21}/293 \approx \mathbf{1{,}00\times10^{-23} \ \text{J/K}} \)

\( N_A = R/k_B = 8{,}314/(1{,}00\times10^{-23}) \approx \mathbf{8{,}3\times10^{23} \ \text{mol}^{-1}} \)

Valeur trouvée : \( 8{,}3\times10^{23} \) vs moderne : \( 6{,}022\times10^{23} \)
Erreur : \( (8{,}3-6{,}0)/6{,}0 \approx 38\% \) — significative.
Perrin lui-même obtenait une meilleure précision (~5%) avec des mesures plus soigneuses. L’erreur ici vient de l’imprécision de la mesure de \( r \) (au micromètre, difficile en 1908) et du petit nombre de trajectoires. Néanmoins, l’ordre de grandeur correct confirme la théorie d’Einstein.

\( W_t – W_s \sim \mathcal{N}(0, t-s) \) (par définition du processus de Wiener)
\( \text{Var}(W_t – W_s) = t – s \)
Interprétation : la variance de l’incrément sur \( [s,t] \) vaut exactement la durée de l’intervalle — c’est la propriété fondamentale du brownien.

\( W_t = W_s + (W_t – W_s) \)
\( \langle W_s W_t\rangle = \langle W_s[W_s + (W_t-W_s)]\rangle = \langle W_s^2\rangle + \langle W_s(W_t-W_s)\rangle \)
Par indépendance des accroissements et \( \langle W_s\rangle = 0 \) :
\( \langle W_s(W_t-W_s)\rangle = \langle W_s\rangle\langle W_t-W_s\rangle = 0 \)
Donc : \( \text{Cov}(W_s,W_t) = \langle W_s^2\rangle = s \)
Résultat : \( \text{Cov}(W_s, W_t) = \min(s,t) \)

\( \rho(s,t) = \dfrac{\min(s,t)}{\sqrt{\langle W_s^2\rangle\langle W_t^2\rangle}} = \dfrac{s}{\sqrt{st}} = \sqrt{\dfrac{s}{t}} \) pour \( s \leq t \)

Si \( s \ll t \) : \( \rho = \sqrt{s/t} \to 0 \) — les positions à des temps très différents sont quasi-indépendantes.
Si \( s \approx t \) : \( \rho = \sqrt{s/t} \to 1 \) — des positions mesurées à des instants proches sont très corrélées.
Physiquement : la particule “garde une mémoire” de sa position récente, mais “oublie” sa position il y a longtemps — c’est cohérent avec le caractère markovien du brownien.

Le TCL s’applique seulement si la variance des incréments est finie. Pour une distribution de Lévy d’indice \( \alpha \leq 2 \), on a \( \langle\xi^2\rangle = \int x^2 p(x)dx \sim \int_{x_0}^{\infty} x^2 \cdot x^{-\alpha-1}dx \). Pour \( \alpha \leq 2 \), cette intégrale diverge — la variance est infinie. Le TCL classique ne s’applique pas ; c’est le TCL généralisé (théorème de Gnedenko-Lévy) qui donne comme attracteur les distributions \( \alpha \)-stables, dont la gaussienne (\( \alpha=2 \)) est un cas particulier.

Distribution de Cauchy (\( \alpha=1 \)) : \( p(x) = \dfrac{1}{\pi(1+x^2)} \)
\( \langle x^2\rangle = \dfrac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\dfrac{x^2}{1+x^2}dx = \dfrac{1}{\pi}\int\left(1-\dfrac{1}{1+x^2}\right)dx \)
\( = \dfrac{1}{\pi}\left[x – \arctan x\right]_{-\infty}^{+\infty} \to \infty \)
Le MSD est infini — on ne peut pas caractériser ce processus par un coefficient de diffusion fini. C’est radicalement différent du brownien.

Exemples de vols de Lévy en nature :
Albatros et requins : leurs stratégies de recherche de nourriture suivent des distributions de Lévy — de nombreux petits déplacements entrecoupés de grands bonds, plus efficaces que le brownien pour explorer un espace.
Diffusion dans les roches fracturées : l’eau souterraine peut faire de grands sauts à travers les fractures.
Marchés financiers : les krachs boursiers (grands sauts) ne sont pas décrits par le brownien géométrique de Black-Scholes — les queues lourdes des distributions de Lévy modélisent mieux les événements extrêmes.

Diffusion anormale : \( \langle r^2\rangle \propto t^\beta \)
\( \beta < 1 \) : sous-diffusion — particule piégée, confinée partiellement (protéines dans les membranes cellulaires encombrées)
\( \beta = 1 \) : diffusion normale (brownien)
\( \beta > 1 \) : super-diffusion — particule avec mémoire positive ou vols de Lévy (nageurs actifs, moteurs moléculaires)

Méthode expérimentale : tracer \( \log\langle r^2\rangle \) vs \( \log t \). La pente donne \( \beta \). Si pente = 1 exactement → brownien. Si pente ≠ 1 → diffusion anormale. En pratique, on utilise le tracking de particules uniques (SPT) en microscopie de fluorescence.