Circuits RC et
Modulation du
Signal Électrique
Charge et décharge d’un condensateur, constante de temps \( \tau \), filtrage passe-bas et passe-haut, réponse fréquentielle et diagramme de Bode — tout comprendre sur les circuits RC et leur rôle central dans la modulation des signaux électriques, avec 5 exercices corrigés.
Partie 1 — Le condensateur : l’élément clé
1.1 — Qu’est-ce qu’un condensateur ?
Un condensateur est un composant électronique capable de stocker de l’énergie sous forme de champ électrique. Il est constitué de deux conducteurs (les armatures) séparés par un isolant (le diélectrique). Sa capacité à stocker des charges est caractérisée par sa capacité \( C \), exprimée en farads (F).
\( C \) — capacité du condensateur (en farads, F) — typiquement nF à µF en électronique
\( u_C \) — tension aux bornes du condensateur (en volts, V)
\( i \) — courant traversant le condensateur (en ampères, A)
Interprétation : le courant \( i \) est non nul seulement si \( u_C \) varie. En régime continu permanent (\( du_C/dt = 0 \)), aucun courant ne traverse le condensateur — il est équivalent à un circuit ouvert.
Partie 2 — L’équation différentielle du circuit RC
2.1 — Le circuit RC série
Un circuit RC série est constitué d’une résistance \( R \) et d’un condensateur \( C \) montés en série, alimentés par une source de tension \( e(t) \). C’est le circuit de base pour comprendre les filtres et la modulation du signal.
2.2 — Établissement de l’équation différentielle
En appliquant la loi des mailles et en substituant \( i = C \dfrac{du_C}{dt} \) :
\( R \) — résistance (en ohms, Ω)
\( C \) — capacité (en farads, F)
\( \tau \) caractérise la rapidité de réponse du circuit : plus \( \tau \) est petit, plus le circuit répond vite aux changements de l’entrée.
Partie 3 — Régime transitoire : charge et décharge
3.1 — Charge d’un condensateur (échelon de tension)
À \( t = 0 \), on applique brusquement une tension constante \( E \) sur un condensateur initialement déchargé. La solution de l’équation différentielle est une exponentielle croissante.
À \( t = \tau \) : \( u_C = E(1-e^{-1}) \approx 0{,}632E \) — 63,2% de la valeur finale
À \( t = 5\tau \) : \( u_C \approx 0{,}993E \) — le régime permanent est atteint à 99,3%
Le courant décroît exponentiellement : le condensateur s’oppose de plus en plus au chargement.
3.2 — Décharge d’un condensateur
À \( t = 0 \), un condensateur chargé à \( U_0 \) est mis en court-circuit à travers \( R \). L’énergie se dissipe dans la résistance.
À \( t = \tau \) : \( u_C \approx 0{,}368 U_0 \) — 36,8% reste
À \( t = 5\tau \) : \( u_C \approx 0{,}007 U_0 \approx 0 \) — décharge quasi-complète
Pour la charge (\( u_C(0) = 0 \), \( u_C(\infty) = E \)) :
\( t = \tau \) → 63,2% — \( t = 2\tau \) → 86,5% — \( t = 3\tau \) → 95,0% — \( t = 4\tau \) → 98,2% — \( t = 5\tau \) → 99,3%
En pratique, on considère le régime permanent atteint après 5 constantes de temps.
Partie 4 — Régime sinusoïdal et impédance complexe
4.1 — L’impédance du condensateur
En régime sinusoïdal de fréquence \( f \) (pulsation \( \omega = 2\pi f \)), on utilise la notation complexe. Le condensateur se comporte comme une résistance dont la valeur dépend de la fréquence — son impédance complexe :
\( \omega = 2\pi f \) — pulsation (en rad/s)
\( |\underline{Z}_C| = \dfrac{1}{C\omega} \) — module de l’impédance (en ohms)
Comportement fréquentiel :
Basse fréquence (\( f \to 0 \)) : \( |Z_C| \to \infty \) — le condensateur bloque → circuit ouvert
Haute fréquence (\( f \to \infty \)) : \( |Z_C| \to 0 \) — le condensateur laisse passer → court-circuit
Partie 5 — Filtrage : passe-bas et passe-haut
5.1 — Les deux montages fondamentaux
Selon que la sortie est prise aux bornes du condensateur ou de la résistance, le circuit RC réalise soit un filtre passe-bas, soit un filtre passe-haut.
📉 Filtre Passe-Bas
Sortie aux bornes de C. Laisse passer les basses fréquences, atténue les hautes. Lisse les signaux, intègre.
\( \underline{H}(j\omega) = \dfrac{1}{1 + jRC\omega} = \dfrac{1}{1 + j\omega/\omega_0} \)
Lissage · Intégration · Anti-bruit📈 Filtre Passe-Haut
Sortie aux bornes de R. Laisse passer les hautes fréquences, bloque les basses. Différencie, extrait les transitoires.
\( \underline{H}(j\omega) = \dfrac{jRC\omega}{1 + jRC\omega} = \dfrac{j\omega/\omega_0}{1 + j\omega/\omega_0} \)
Couplage AC · Différentiation · DétectionEn décibels : \( G_{\text{dB}}(f_0) = 20\log(1/\sqrt{2}) \approx -3{,}0 \ \text{dB} \) → d’où le nom de fréquence à −3 dB
À \( f = f_0 \) : déphasage de ±45° entre entrée et sortie
À \( f = f_0 \) : \( |Z_C| = R \) (impédances égales)
Partie 6 — Circuits RC et Modulation du Signal
6.1 — Qu’est-ce que la modulation ?
La modulation est le processus qui consiste à modifier les caractéristiques d’un signal porteur (amplitude, fréquence, phase) selon un signal d’information. Les circuits RC jouent un rôle fondamental à plusieurs étapes de la chaîne de transmission.
① Filtrage anti-repliement (avant modulation) :
un filtre passe-bas RC élimine les fréquences supérieures à \( f_{\text{max}} \) du signal utile
pour éviter le repliement spectral (Shannon).
② Couplage AC (isolation DC) :
un filtre passe-haut RC supprime la composante continue d’un signal
avant amplification ou transmission — indispensable en radio.
③ Démodulation d’enveloppe (AM) :
un circuit RC détecte l’enveloppe d’un signal AM modulé.
La constante \( \tau \) doit être choisie avec soin.
④ Intégration et différentiation de signaux :
le circuit RC passe-bas intègre un signal carré pour produire un signal triangulaire ;
le passe-haut le différencie pour produire des impulsions.
6.2 — La démodulation AM par détecteur d’enveloppe
La modulation d’amplitude (AM) consiste à faire varier l’amplitude d’une porteuse haute fréquence \( f_p \) selon un signal basse fréquence (audio) de fréquence \( f_m \) :
\( m \) — taux de modulation (\( 0 \leq m \leq 1 \))
\( f_p \) — fréquence de la porteuse (typiquement MHz pour la radio AM)
\( f_m \) — fréquence du signal modulant (voix : 300 Hz à 3 kHz)
Condition sur τ pour la démodulation : \[ \frac{1}{f_p} \ll \tau = RC \ll \frac{1}{f_m} \] Le circuit RC doit être assez lent pour ne pas suivre la porteuse haute fréquence, mais assez rapide pour suivre l’enveloppe basse fréquence.
6.3 — Intégration et différentiation par RC
Lorsqu’un signal carré est appliqué à un circuit RC, la sortie dépend du rapport entre la fréquence du signal et la fréquence de coupure du filtre. Ces comportements sont à la base du traitement du signal analogique.
Exercices Corrigés
Constante de temps et fréquence de coupure
Niveau 1 — Formules directesUn circuit RC est formé d’une résistance \( R = 10 \ \text{kΩ} \) et d’un condensateur \( C = 100 \ \text{nF} \).
1. Calculer la constante de temps \( \tau \).
2. Calculer la fréquence de coupure \( f_0 \).
3. À quelle fraction de sa valeur finale se trouve \( u_C \) après \( t = 3\tau \) lors d’une charge depuis 0 vers \( E = 5 \ \text{V} \) ?
4. Calculer le temps nécessaire pour atteindre 90% de \( E \).
\( \tau = RC = 10^4 \times 10^{-7} = \mathbf{10^{-3} \ \text{s} = 1 \ \text{ms}} \)
\( f_0 = \dfrac{1}{2\pi\tau} = \dfrac{1}{2\pi \times 10^{-3}} \approx \mathbf{159 \ \text{Hz}} \)
\( u_C(3\tau) = E(1-e^{-3}) = 5\times(1-0{,}0498) \approx 5\times0{,}950 = \mathbf{4{,}75 \ \text{V}} \)
Soit 95% de la valeur finale.
\( u_C = 0{,}9E \implies 1-e^{-t/\tau} = 0{,}9 \implies e^{-t/\tau} = 0{,}1 \)
\( t = -\tau\ln(0{,}1) = \tau\ln(10) = 10^{-3}\times2{,}303 \approx \mathbf{2{,}3 \ \text{ms}} \approx 2{,}3\tau \)
Réponse fréquentielle du filtre passe-bas
Niveau 2 — Réponse en fréquenceUn filtre passe-bas RC a \( R = 1 \ \text{kΩ} \), \( C = 1 \ \text{µF} \). Il est alimenté par un signal sinusoïdal \( e(t) = E_m\cos(\omega t) \) avec \( E_m = 2 \ \text{V} \).
1. Calculer \( f_0 \) et \( \tau \).
2. Calculer le gain \( |H| = |U_s/U_e| \) à \( f = f_0/10 \), \( f = f_0 \) et \( f = 10f_0 \).
3. Convertir ces gains en décibels (\( G_{\text{dB}} = 20\log|H| \)).
4. Calculer le déphasage \( \phi \) à \( f = f_0 \). Interpréter.
\( \tau = RC = 10^3 \times 10^{-6} = 10^{-3} \ \text{s} \)
\( f_0 = 1/(2\pi\tau) \approx \mathbf{159 \ \text{Hz}} \)
\( |H(f)| = \dfrac{1}{\sqrt{1+(f/f_0)^2}} \)
À \( f = f_0/10 \) : \( |H| = \dfrac{1}{\sqrt{1+0{,}01}} \approx \mathbf{0{,}995} \) — quasiment 1
À \( f = f_0 \) : \( |H| = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \approx \mathbf{0{,}707} \)
À \( f = 10f_0 \) : \( |H| = \dfrac{1}{\sqrt{1+100}} \approx \dfrac{1}{10{,}05} \approx \mathbf{0{,}0995} \)
\( f_0/10 \) : \( G = 20\log(0{,}995) \approx \mathbf{-0{,}04 \ \text{dB}} \approx 0 \)
\( f_0 \) : \( G = 20\log(1/\sqrt{2}) = 20\times(-0{,}5\log 2) \approx \mathbf{-3{,}01 \ \text{dB}} \)
\( 10f_0 \) : \( G = 20\log(0{,}0995) \approx \mathbf{-20 \ \text{dB}} \)
\( \phi = -\arctan(f/f_0) \). À \( f = f_0 \) :
\( \phi = -\arctan(1) = \mathbf{-45°} \)
La sortie est en retard de 45° sur l’entrée. Ce déphasage est la signature de la fréquence de coupure : à \( f_0 \), le circuit “introduit exactement 45° de retard”.
Démodulation AM — choix de τ
Niveau 2 — Modulation AMUn détecteur d’enveloppe RC doit démoduler un signal AM de porteuse \( f_p = 1 \ \text{MHz} \) portant un signal audio de fréquence maximale \( f_m = 5 \ \text{kHz} \). On prend \( C = 1 \ \text{nF} \).
1. Écrire la condition sur \( \tau \) pour une bonne démodulation.
2. En déduire une plage de valeurs acceptables pour \( R \).
3. Choisir \( R = 10 \ \text{kΩ} \) et calculer \( \tau \). Vérifier la condition.
4. Calculer \( f_0 \) du filtre ainsi formé. Ce filtre est-il passe-bas ou passe-haut par rapport au signal audio ?
Condition pour suivre l’enveloppe audio mais pas la porteuse :
\( \dfrac{1}{f_p} \ll \tau \ll \dfrac{1}{f_m} \)
\( 10^{-6} \ \text{s} \ll \tau \ll 2\times10^{-4} \ \text{s} \)
\( 1 \ \mu\text{s} \ll \tau \ll 200 \ \mu\text{s} \)
Avec \( \tau = RC \) et \( C = 10^{-9} \ \text{F} \) :
\( 1\times10^{-6}/10^{-9} \ll R \ll 2\times10^{-4}/10^{-9} \)
\( \mathbf{1 \ \text{kΩ} \ll R \ll 200 \ \text{kΩ}} \)
\( R = 10 \ \text{kΩ} \implies \tau = 10^4 \times 10^{-9} = \mathbf{10^{-5} \ \text{s} = 10 \ \mu\text{s}} \)
Vérification : \( 1 \ \mu\text{s} \ll 10 \ \mu\text{s} \ll 200 \ \mu\text{s} \) ✓
Le temps de charge (~10 µs) est bien inférieur à la période audio (~200 µs) mais bien supérieur à la période porteuse (1 µs).
\( f_0 = 1/(2\pi\tau) = 1/(2\pi\times10^{-5}) \approx \mathbf{15{,}9 \ \text{kHz}} \)
Par rapport au signal audio (5 kHz max) : \( f_m = 5 \ \text{kHz} < f_0 = 15{,}9 \ \text{kHz} \)
Le filtre est en zone passe-bas pour l’audio → le signal audio passe bien.
Résolution de l’équation différentielle — échelon
Niveau 3 — Équation différentielleÀ \( t = 0 \), on applique un échelon de tension \( E = 10 \ \text{V} \) à un circuit RC avec \( \tau = 2 \ \text{ms} \). Le condensateur est initialement chargé à \( U_0 = 3 \ \text{V} \).
1. Écrire l’équation différentielle vérifiée par \( u_C(t) \).
2. Trouver la solution générale, puis la solution particulière avec les conditions initiales.
3. Calculer \( u_C \) à \( t = \tau \), \( 2\tau \) et \( 5\tau \).
4. Calculer le courant \( i(t) \) et sa valeur à \( t = 0^+ \).
\( \tau\dfrac{du_C}{dt} + u_C = E \implies 2\times10^{-3}\dfrac{du_C}{dt} + u_C = 10 \)
Solution homogène : \( u_h = Ae^{-t/\tau} \)
Solution particulière (régime permanent) : \( u_p = E = 10 \ \text{V} \)
Solution générale : \( u_C(t) = E + Ae^{-t/\tau} \)
Condition initiale : \( u_C(0) = U_0 = 3 \ \text{V} \implies 3 = 10 + A \implies A = -7 \)
\[ \boxed{u_C(t) = 10 – 7e^{-t/2\times10^{-3}} \ \text{V}} \]
\( u_C(\tau) = 10 – 7e^{-1} = 10 – 2{,}575 \approx \mathbf{7{,}43 \ \text{V}} \)
\( u_C(2\tau) = 10 – 7e^{-2} = 10 – 0{,}946 \approx \mathbf{9{,}05 \ \text{V}} \)
\( u_C(5\tau) = 10 – 7e^{-5} = 10 – 0{,}047 \approx \mathbf{9{,}95 \ \text{V}} \approx 10 \ \text{V} \)
\( i(t) = C\dfrac{du_C}{dt} = C\dfrac{7}{\tau}e^{-t/\tau} = \dfrac{7}{R}e^{-t/\tau} \)
(car \( C/\tau = C/(RC) = 1/R \))
À \( t = 0^+ \) : \( i(0^+) = \dfrac{E – U_0}{R} = \dfrac{10 – 3}{R} = \dfrac{7}{R} \)
Le courant initial dépend de l’écart entre la tension appliquée et la tension initiale du condensateur.
\( u_C(\tau) \approx 7{,}43 \ \text{V} \quad u_C(2\tau) \approx 9{,}05 \ \text{V} \quad u_C(5\tau) \approx 9{,}95 \ \text{V} \)
Filtre RC anti-bruit et chaîne audio — Type Bac
Type Bac — CompletUn préamplificateur audio reçoit un signal audio de fréquence utile \( 20 \ \text{Hz} \leq f \leq 20 \ \text{kHz} \) superposé à un bruit haute fréquence à \( f_{\text{bruit}} = 200 \ \text{kHz} \). On place un filtre passe-bas RC en sortie du préamplificateur avec \( R = 820 \ \Omega \) et \( C = 10 \ \text{nF} \).
1. Calculer la fréquence de coupure \( f_0 \).
2. Calculer le gain \( |H| \) à \( f = 20 \ \text{kHz} \) (fréquence audio maximale). Exprimer en dB.
3. Calculer le gain à \( f_{\text{bruit}} = 200 \ \text{kHz} \). Exprimer en dB. De quel facteur le bruit est-il atténué ?
4. Le filtre est-il sélectif ? Justifier en comparant l’atténuation à \( 20 \ \text{kHz} \) et à \( 200 \ \text{kHz} \).
5. Proposer des valeurs de R et C pour avoir \( f_0 = 50 \ \text{kHz} \) avec le même condensateur.
\( f_0 = \dfrac{1}{2\pi RC} = \dfrac{1}{2\pi \times 820 \times 10^{-8}} = \dfrac{1}{2\pi \times 8{,}2\times10^{-6}} \approx \mathbf{19\,400 \ \text{Hz} \approx 19{,}4 \ \text{kHz}} \)
À \( f = 20 \ \text{kHz} \approx f_0 \) :
\( |H| = \dfrac{1}{\sqrt{1+(f/f_0)^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{1+(20/19{,}4)^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{1+1{,}063}} = \dfrac{1}{\sqrt{2{,}063}} \approx 0{,}696 \)
\( G_{\text{dB}} = 20\log(0{,}696) \approx \mathbf{-3{,}1 \ \text{dB}} \)
L’atténuation à 20 kHz est faible (~3 dB) — le signal audio reste presque intact.
À \( f = 200 \ \text{kHz} = 10{,}3 f_0 \) :
\( |H| = \dfrac{1}{\sqrt{1+(200/19{,}4)^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{1+106{,}3}} \approx \dfrac{1}{\sqrt{107{,}3}} \approx 0{,}0965 \)
\( G_{\text{dB}} = 20\log(0{,}0965) \approx \mathbf{-20{,}3 \ \text{dB}} \)
Facteur d’atténuation : \( 1/0{,}0965 \approx 10{,}4 \) — le bruit est divisé par plus de 10.
À 20 kHz : atténuation de ~3 dB (facteur ~0,7 — peu atténué).
À 200 kHz : atténuation de ~20 dB (facteur ~10 — fortement atténué).
Le filtre est sélectif : il atténue 14 fois plus le bruit à 200 kHz que le signal audio à 20 kHz.
Pour un filtre RC simple du premier ordre, c’est une bonne sélectivité pour ce rapport de fréquences (×10).
\( f_0 = 50 \ \text{kHz} \), \( C = 10 \ \text{nF} \) :
\( R = \dfrac{1}{2\pi f_0 C} = \dfrac{1}{2\pi \times 50\times10^3 \times 10^{-8}} = \dfrac{1}{3{,}14\times10^{-3}} \approx \mathbf{318 \ \Omega} \)
On choisira la valeur normalisée la plus proche : \( R = 330 \ \Omega \) (série E24).
Les erreurs classiques à éviter
- Confondre \( f_0 \) et \( \tau \) : la constante de temps \( \tau = RC \) s’exprime en secondes. La fréquence de coupure \( f_0 = 1/(2\pi\tau) \) s’exprime en hertz. Les deux sont liées mais distinctes : un circuit avec \( \tau = 1 \ \text{ms} \) a \( f_0 \approx 159 \ \text{Hz} \), pas 1000 Hz.
- Croire que la tension aux bornes de C peut varier instantanément : la relation \( i = C\,du_C/dt \) impose qu’une variation infinie de tension en un temps nul nécessiterait un courant infini — physiquement impossible. La tension \( u_C \) est toujours continue.
- Oublier la condition initiale dans la résolution : la solution générale de l’équation différentielle contient une constante d’intégration \( A \). On ne peut la déterminer qu’avec la condition initiale \( u_C(0) = U_0 \). Sans cela, la solution est incomplète et fausse.
- Inverser passe-bas et passe-haut : le passe-bas prend la sortie sur C (grande impédance à basse fréquence → la tension “chute” peu → bon passage). Le passe-haut prend la sortie sur R. Une façon de mémoriser : à basse fréquence, C est un circuit ouvert, donc toute la tension tombe sur C → c’est le passe-bas.
- Utiliser 5τ comme temps de charge exacte : après 5τ, le condensateur est chargé à 99,3% — pas 100%. En pratique, on considère le régime permanent atteint, mais pour des calculs précis, il faut utiliser la formule exacte \( u_C(t) = E(1-e^{-t/\tau}) \).
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Ces articles complètent ta maîtrise de l’électronique et du traitement du signal.