Étiquette : Modulation du Signal Électrique

Circuits RC et Modulation du Signal Électrique Électronique · Physique · Terminale / CPGE Circuits RC etModulation duSignal Électrique Charge et décharge d'un condensateur, constante de temps \( \tau \), filtrage passe-bas et passe-haut, réponse fréquentielle et diagramme de Bode — tout comprendre sur les circuits RC et leur rôle central dans la modulation des signaux électriques, avec 5 exercices corrigés. ⏱ Lecture : 18 min ⚡ Niveau : Terminale / CPGE ✦ Cours + 5 Exercices Corrigés Partie 1 — Le condensateur : l'élément clé 1.1 — Qu'est-ce qu'un condensateur ? Un condensateur est un composant électronique capable de stocker de l'énergie sous forme de champ électrique. Il est constitué de deux conducteurs (les armatures) séparés par un isolant (le diélectrique). Sa capacité à stocker des charges est caractérisée par sa capacité \( C \), exprimée en farads (F). 🔋 Stockage de charge Le condensateur stocke des charges électriques \( q = C \cdot u_C \). À tension fixe, plus \( C \) est grand, plus il stocke. ⏱ Inertie temporelle La tension aux bornes ne peut pas varier instantanément — le condensateur s'oppose aux changements brusques de tension. 🔀 Filtre de fréquences Son impédance dépend de la fréquence : \( Z_C = 1/(jC\omega) \). Il laisse passer les hautes fréquences, bloque les basses. Relations fondamentales du condensateur \[ q = C \cdot u_C \quad \Rightarrow \quad i = C \frac{du_C}{dt} \] \( q \) — charge stockée (en coulombs, C) \( C \) — capacité du condensateur (en farads, F) — typiquement nF à µF en électronique \( u_C \) — tension aux bornes du condensateur (en volts, V) \( i \) — courant traversant le condensateur (en ampères, A) Interprétation : le courant \( i \) est non nul seulement si \( u_C \) varie. En régime continu permanent (\( du_C/dt = 0 \)), aucun courant ne traverse le condensateur — il est équivalent à un circuit ouvert. Partie 2 — L'équation différentielle du circuit RC 2.1 — Le circuit RC série Un circuit RC série est constitué d'une résistance \( R \) et d'un condensateur \( C \) montés en série, alimentés par une source de tension \( e(t) \). C'est le circuit de base pour comprendre les filtres et la modulation du signal. e(t) source R C s(t) = u_C i(t) u_R = Ri u_C Loi des mailles : e(t) = u_R + u_C = Ri + u_C Circuit RC série — la tension de sortie s(t) est prise aux bornes du condensateur C. En substituant \( i = C(du_C/dt) \), on obtient l'équation différentielle du circuit. 2.2 — Établissement de l'équation différentielle En appliquant la loi des mailles et en substituant \( i = C \dfrac{du_C}{dt} \) : Équation différentielle du circuit RC \[ e(t) = Ri(t) + u_C(t) = RC\frac{du_C}{dt} + u_C \] \[ \Rightarrow \quad \boxed{\tau \frac{du_C}{dt} + u_C = e(t)} \quad \text{avec} \quad \tau = RC \] \( \tau = RC \) — constante de temps (en secondes, s) \( R \) — résistance (en ohms, Ω) \( C \) — capacité (en farads, F) \( \tau \) caractérise la rapidité de réponse du circuit : plus \( \tau \) est petit, plus le circuit répond vite aux changements de l'entrée. Partie 3 — Régime transitoire : charge et décharge 3.1 — Charge d'un condensateur (échelon de tension) À \( t = 0 \), on applique brusquement une tension constante \( E \) sur un condensateur initialement déchargé. La solution de l'équation différentielle est une exponentielle croissante. Charge — tension et courant \[ u_C(t) = E\left(1 - e^{-t/\tau}\right) \quad i(t) = \frac{E}{R}e^{-t/\tau} \] À \( t = 0 \) : \( u_C = 0 \) (condensateur déchargé), \( i = E/R \) (maximum) À \( t = \tau \) : \( u_C = E(1-e^{-1}) \approx 0{,}632E \) — 63,2% de la valeur finale À \( t = 5\tau \) : \( u_C \approx 0{,}993E \) — le régime permanent est atteint à 99,3% Le courant décroît exponentiellement : le condensateur s'oppose de plus en plus au chargement. 3.2 — Décharge d'un condensateur À \( t = 0 \), un condensateur chargé à \( U_0 \) est mis en court-circuit à travers \( R \). L'énergie se dissipe dans la résistance. Décharge — tension et courant \[ u_C(t) = U_0 \, e^{-t/\tau} \quad i(t) = -\frac{U_0}{R}e^{-t/\tau} \] Le signe \( - \) du courant indique qu'il circule en sens inverse de la charge. À \( t = \tau \) : \( u_C \approx 0{,}368 U_0 \) — 36,8% reste À \( t = 5\tau \) : \( u_C \approx 0{,}007 U_0 \approx 0 \) — décharge quasi-complète Charge t u_C E 0,63E τ tangente 5τ ≈ E i(t)=E/R·e^{-t/τ} Décharge t u_C U₀ 0,37U₀ τ Charge (bleu) et décharge (rouge) d'un condensateur — la constante de temps τ = RC est le temps pour atteindre 63,2% de la valeur finale (charge) ou 36,8% de la valeur initiale (décharge). La tangente à l'origine coupe l'asymptote en t = τ. 📐 Les 5 jalons temporels à mémoriser Pour la charge (\( u_C(0) = 0 \), \( u_C(\infty) = E \)) : \( t = \tau \) → 63,2% — \( t = 2\tau \) → 86,5% — \( t = 3\tau \) → 95,0% — \( t = 4\tau \) → 98,2% — \( t = 5\tau \) → 99,3% En pratique, on considère le régime permanent atteint après 5 constantes de temps. Partie 4 — Régime sinusoïdal et impédance complexe 4.1 — L'impédance du condensateur En régime sinusoïdal de fréquence \( f \) (pulsation \( \omega = 2\pi f \)), on utilise la notation complexe. Le condensateur se comporte comme une résistance dont la valeur dépend de la fréquence — son impédance complexe : Impédance complexe du condensateur \[ \underline{Z}_C = \frac{1}{jC\omega} = \frac{1}{j2\pi f C} \] \( j = \sqrt{-1} \) — unité imaginaire \( \omega = 2\pi f \) — pulsation (en rad/s) \( |\underline{Z}_C| = \dfrac{1}{C\omega} \) — module de l'impédance (en ohms) Comportement fréquentiel : Basse fréquence (\( f \to 0 \)) : \( |Z_C| \to \infty \) — le condensateur bloque → circuit ouvert Haute fréquence (\( f \to \infty \)) : \( |Z_C| \to 0 \) — le condensateur laisse passer → court-circuit Partie 5 — Filtrage : passe-bas et passe-haut 5.1 — Les deux montages fondamentaux Selon que la sortie est prise aux bornes du condensateur ou de la résistance, le circuit RC réalise soit un filtre passe-bas, soit un filtre passe-haut. 📉 Filtre Passe-Bas Sortie aux bornes de C. Laisse passer les basses fréquences, atténue les hautes. Lisse les signaux, intègre. \( \underline{H}(j\omega) = \dfrac{1}{1 + jRC\omega} = \dfrac{1}{1 + j\omega/\omega_0} \) Lissage · Intégration · Anti-bruit 📈 Filtre Passe-Haut Sortie aux bornes de R. Laisse passer les hautes fréquences, bloque les basses. Différencie, extrait les transitoires. \( \underline{H}(j\omega) = \dfrac{jRC\omega}{1 + jRC\omega} = \dfrac{j\omega/\omega_0}{1 + j\omega/\omega_0} \) Couplage AC · Différentiation · Détection Fréquence de coupure — définition et formule \[ f_0 = \frac{1}{2\pi RC} = \frac{1}{2\pi\tau} \quad \Leftrightarrow \quad \omega_0 = \frac{1}{RC} = \frac{1}{\tau} \] \( f_0 \) — fréquence de coupure (en hertz, Hz) : fréquence à laquelle le gain chute à \( 1/\sqrt{2} \approx 0{,}707 \) de sa valeur maximale En décibels : \( G_{\text{dB}}(f_0) = 20\log(1/\sqrt{2}) \approx -3{,}0 \ \text{dB} \) → d'où le nom de fréquence à −3 dB À \( f = f_0 \) : déphasage de ±45° entre entrée et sortie À \( f = f_0 \) : \( |Z_C| = R \) (impédances égales) Passe-Bas — |H(f)| log f |H| 1 0,71 f₀ −3 dB −20 dB/déc Passe-Haut — |H(f)| log f |H| 1 0,71 f₀ −3 dB +20 dB/déc Diagramme de Bode en amplitude pour le filtre passe-bas (bleu) et passe-haut (rouge) — courbe réelle (trait plein) et asymptotes de Bode (pointillées). La fréquence de coupure f₀ est à −3 dB (gain = 0,707). Partie 6 — Circuits RC et Modulation du Signal 6.1 — Qu'est-ce que la modulation ? La modulation est le processus qui consiste à modifier les caractéristiques d'un signal porteur (amplitude, fréquence, phase) selon un signal d'information. Les circuits RC jouent un rôle fondamental à plusieurs étapes de la chaîne de transmission. 📡 Rôles des circuits RC dans la chaîne de modulation ① Filtrage anti-repliement (avant modulation) : un filtre passe-bas RC élimine les fréquences supérieures à \( f_{\text{max}} \) du signal utile pour éviter le repliement spectral (Shannon). ② Couplage AC (isolation DC) : un filtre passe-haut RC supprime la composante continue d'un signal avant amplification ou transmission — indispensable en radio. ③ Démodulation d'enveloppe (AM) : un circuit RC détecte l'enveloppe d'un signal AM modulé. La constante \( \tau \) doit être choisie avec soin. ④ Intégration et différentiation de signaux : le circuit RC passe-bas intègre un signal carré pour produire un signal triangulaire ; le passe-haut le différencie pour produire des impulsions. 6.2 — La démodulation AM par détecteur d'enveloppe La modulation d'amplitude (AM) consiste à faire varier l'amplitude d'une porteuse haute fréquence \( f_p \) selon un signal basse fréquence (audio) de fréquence \( f_m \) : Signal AM et démodulation par RC \[ s(t) = A[1 + m\cos(2\pi f_m t)]\cos(2\pi f_p t) \] \( A \) — amplitude de la porteuse \( m \) — taux de modulation (\( 0 \leq m \leq 1 \)) \( f_p \) — fréquence de la porteuse (typiquement MHz pour la radio AM) \( f_m \) — fréquence du signal modulant (voix : 300 Hz à 3 kHz) Condition sur τ pour la démodulation : \[ \frac{1}{f_p} \ll \tau = RC \ll \frac{1}{f_m} \] Le circuit RC doit être assez lent pour ne pas suivre la porteuse haute fréquence, mais assez rapide pour suivre l'enveloppe basse fréquence. Signal AM Enveloppe Signal AM modulé s(t) Détecteur RC Signal récupéré Enveloppe récupérée ≈ signal modulant m(t) Démodulation AM par détecteur d'enveloppe RC — le circuit RC suit l'enveloppe du signal AM (trait or) mais pas les oscillations rapides de la porteuse. Le résultat (bleu) reproduit le signal audio original. 6.3 — Intégration et différentiation par RC Lorsqu'un signal carré est appliqué à un circuit RC, la sortie dépend du rapport entre la fréquence du signal et la fréquence de coupure du filtre. Ces comportements sont à la base du traitement du signal analogique. Entrée carrée e(t) Passe-bas → triangulaire (τ ≫ T : intégration) Passe-haut → impulsions (τ ≪ T : différentiation) Transformation d'un signal carré par RC — le filtre passe-bas (τ ≫ T) intègre le signal et produit un signal triangulaire. Le filtre passe-haut (τ ≪ T) différencie et produit des impulsions aux fronts montants et descendants. Exercices Corrigés Vert — Niveau 1 Bleu — Niveau 2 Violet — Niveau 3 Rouge — Type Bac 1 Constante de temps et fréquence de coupure Niveau 1 — Formules directes 📋 Énoncé Un circuit RC est formé d'une résistance \( R = 10 \ \text{kΩ} \) et d'un condensateur \( C = 100 \ \text{nF} \). 1. Calculer la constante de temps \( \tau \). 2. Calculer la fréquence de coupure \( f_0 \). 3. À quelle fraction de sa valeur finale se trouve \( u_C \) après \( t = 3\tau \) lors d'une charge depuis 0 vers \( E = 5 \ \text{V} \) ? 4. Calculer le temps nécessaire pour atteindre 90% de \( E \). Données R = 10 kΩ = 10⁴ Ω | C = 100 nF = 10⁻⁷ F | E = 5 V 📖 Voir le corrigé ▼ 1 \( \tau = RC = 10^4 \times 10^{-7} = \mathbf{10^{-3} \ \text{s} = 1 \ \text{ms}} \) 2 \( f_0 = \dfrac{1}{2\pi\tau} = \dfrac{1}{2\pi \times 10^{-3}} \approx \mathbf{159 \ \text{Hz}} \) 3 \( u_C(3\tau) = E(1-e^{-3}) = 5\times(1-0{,}0498) \approx 5\times0{,}950 = \mathbf{4{,}75 \ \text{V}} \) Soit 95% de la valeur finale. 4 \( u_C = 0{,}9E \implies 1-e^{-t/\tau} = 0{,}9 \implies e^{-t/\tau} = 0{,}1 \) \( t = -\tau\ln(0{,}1) = \tau\ln(10) = 10^{-3}\times2{,}303 \approx \mathbf{2{,}3 \ \text{ms}} \approx 2{,}3\tau \) Résultats \( \tau = 1 \ \text{ms} \quad f_0 \approx 159 \ \text{Hz} \quad u_C(3\tau) \approx 4{,}75 \ \text{V} \quad t_{90\%} \approx 2{,}3 \ \text{ms} \) 2 Réponse fréquentielle du filtre passe-bas Niveau 2 — Réponse en fréquence 📋 Énoncé Un filtre passe-bas RC a \( R = 1 \ \text{kΩ} \), \( C = 1 \ \text{µF} \). Il est alimenté par un signal sinusoïdal \( e(t) = E_m\cos(\omega t) \) avec \( E_m = 2 \ \text{V} \). 1. Calculer \( f_0 \) et \( \tau \). 2. Calculer le gain \( |H| = |U_s/U_e| \) à \( f = f_0/10 \), \( f = f_0 \) et \( f = 10f_0 \). 3. Convertir ces gains en décibels (\( G_{\text{dB}} = 20\log|H| \)). 4. Calculer le déphasage \( \phi \) à \( f = f_0 \). Interpréter. Données R = 1 kΩ | C = 1 µF | E_m = 2 V 📖 Voir le corrigé ▼ 1 \( \tau = RC = 10^3 \times 10^{-6} = 10^{-3} \ \text{s} \) \( f_0 = 1/(2\pi\tau) \approx \mathbf{159 \ \text{Hz}} \) 2 \( |H(f)| = \dfrac{1}{\sqrt{1+(f/f_0)^2}} \) À \( f = f_0/10 \) : \( |H| = \dfrac{1}{\sqrt{1+0{,}01}} \approx \mathbf{0{,}995} \) — quasiment 1 À \( f = f_0 \) : \( |H| = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \approx \mathbf{0{,}707} \) À \( f = 10f_0 \) : \( |H| = \dfrac{1}{\sqrt{1+100}} \approx \dfrac{1}{10{,}05} \approx \mathbf{0{,}0995} \) 3 \( f_0/10 \) : \( G = 20\log(0{,}995) \approx \mathbf{-0{,}04 \ \text{dB}} \approx 0 \) \( f_0 \) : \( G = 20\log(1/\sqrt{2}) = 20\times(-0{,}5\log 2) \approx \mathbf{-3{,}01 \ \text{dB}} \) \( 10f_0 \) : \( G = 20\log(0{,}0995) \approx \mathbf{-20 \ \text{dB}} \) 4 \( \phi = -\arctan(f/f_0) \). À \( f = f_0 \) : \( \phi = -\arctan(1) = \mathbf{-45°} \) La sortie est en retard de 45° sur l'entrée. Ce déphasage est la signature de la fréquence de coupure : à \( f_0 \), le circuit "introduit exactement 45° de retard". Résultats \( f_0 \approx 159 \ \text{Hz} \) — Gains : 0 dB / −3 dB / −20 dB — Déphasage : −45° à \( f_0 \) 3 Démodulation AM — choix de τ Niveau 2 — Modulation AM 📋 Énoncé Un détecteur d'enveloppe RC doit démoduler un signal AM de porteuse \( f_p = 1 \ \text{MHz} \) portant un signal audio de fréquence maximale \( f_m = 5 \ \text{kHz} \). On prend \( C = 1 \ \text{nF} \). 1. Écrire la condition sur \( \tau \) pour une bonne démodulation. 2. En déduire une plage de valeurs acceptables pour \( R \). 3. Choisir \( R = 10 \ \text{kΩ} \) et calculer \( \tau \). Vérifier la condition. 4. Calculer \( f_0 \) du filtre ainsi formé. Ce filtre est-il passe-bas ou passe-haut par rapport au signal audio ? Données f_p = 1 MHz = 10⁶ Hz | f_m = 5 kHz = 5×10³ Hz | C = 1 nF = 10⁻⁹ F 📖 Voir le corrigé ▼ 1 Condition pour suivre l'enveloppe audio mais pas la porteuse : \( \dfrac{1}{f_p} \ll \tau \ll \dfrac{1}{f_m} \) \( 10^{-6} \ \text{s} \ll \tau \ll 2\times10^{-4} \ \text{s} \) \( 1 \ \mu\text{s} \ll \tau \ll 200 \ \mu\text{s} \) 2 Avec \( \tau = RC \) et \( C = 10^{-9} \ \text{F} \) : \( 1\times10^{-6}/10^{-9} \ll R \ll 2\times10^{-4}/10^{-9} \) \( \mathbf{1 \ \text{kΩ} \ll R \ll 200 \ \text{kΩ}} \) 3 \( R = 10 \ \text{kΩ} \implies \tau = 10^4 \times 10^{-9} = \mathbf{10^{-5} \ \text{s} = 10 \ \mu\text{s}} \) Vérification : \( 1 \ \mu\text{s} \ll 10 \ \mu\text{s} \ll 200 \ \mu\text{s} \) ✓ Le temps de charge (~10 µs) est bien inférieur à la période audio (~200 µs) mais bien supérieur à la période porteuse (1 µs). 4 \( f_0 = 1/(2\pi\tau) = 1/(2\pi\times10^{-5}) \approx \mathbf{15{,}9 \ \text{kHz}} \) Par rapport au signal audio (5 kHz max) : \( f_m = 5 \ \text{kHz} < f_0 = 15{,}9 \ \text{kHz} \) Le filtre est en zone passe-bas pour l'audio → le signal audio passe bien. Résultats \( 1 \ \text{kΩ} \ll R \ll 200 \ \text{kΩ} \) — \( R = 10 \ \text{kΩ} : \tau = 10 \ \mu\text{s} \) ✓ — \( f_0 \approx 15{,}9 \ \text{kHz} \) Le filtre RC "voit" la porteuse MHz comme une très haute fréquence (atténuée à ~0,016 du gain max) et l'audio comme une basse fréquence (gain ≈ 1). 4 Résolution de l'équation différentielle — échelon Niveau 3 — Équation différentielle 📋 Énoncé À \( t = 0 \), on applique un échelon de tension \( E = 10 \ \text{V} \) à un circuit RC avec \( \tau = 2 \ \text{ms} \). Le condensateur est initialement chargé à \( U_0 = 3 \ \text{V} \). 1. Écrire l'équation différentielle vérifiée par \( u_C(t) \). 2. Trouver la solution générale, puis la solution particulière avec les conditions initiales. 3. Calculer \( u_C \) à \( t = \tau \), \( 2\tau \) et \( 5\tau \). 4. Calculer le courant \( i(t) \) et sa valeur à \( t = 0^+ \). Données E = 10 V | U₀ = 3 V | τ = 2 ms = 2×10⁻³ s 📖 Voir le corrigé ▼ 1 \( \tau\dfrac{du_C}{dt} + u_C = E \implies 2\times10^{-3}\dfrac{du_C}{dt} + u_C = 10 \) 2 Solution homogène : \( u_h = Ae^{-t/\tau} \) Solution particulière (régime permanent) : \( u_p = E = 10 \ \text{V} \) Solution générale : \( u_C(t) = E + Ae^{-t/\tau} \) Condition initiale : \( u_C(0) = U_0 = 3 \ \text{V} \implies 3 = 10 + A \implies A = -7 \) \[ \boxed{u_C(t) = 10 - 7e^{-t/2\times10^{-3}} \ \text{V}} \] 3 \( u_C(\tau) = 10 - 7e^{-1} = 10 - 2{,}575 \approx \mathbf{7{,}43 \ \text{V}} \) \( u_C(2\tau) = 10 - 7e^{-2} = 10 - 0{,}946 \approx \mathbf{9{,}05 \ \text{V}} \) \( u_C(5\tau) = 10 - 7e^{-5} = 10 - 0{,}047 \approx \mathbf{9{,}95 \ \text{V}} \approx 10 \ \text{V} \) 4 \( i(t) = C\dfrac{du_C}{dt} = C\dfrac{7}{\tau}e^{-t/\tau} = \dfrac{7}{R}e^{-t/\tau} \) (car \( C/\tau = C/(RC) = 1/R \)) À \( t = 0^+ \) : \( i(0^+) = \dfrac{E - U_0}{R} = \dfrac{10 - 3}{R} = \dfrac{7}{R} \) Le courant initial dépend de l'écart entre la tension appliquée et la tension initiale du condensateur. Résultats \( u_C(t) = 10 - 7e^{-t/2\text{ms}} \ \text{V} \) \( u_C(\tau) \approx 7{,}43 \ \text{V} \quad u_C(2\tau) \approx 9{,}05 \ \text{V} \quad u_C(5\tau) \approx 9{,}95 \ \text{V} \) 5 Filtre RC anti-bruit et chaîne audio — Type Bac Type Bac — Complet 📋 Énoncé Type Bac Un préamplificateur audio reçoit un signal audio de fréquence utile \( 20 \ \text{Hz} \leq f \leq 20 \ \text{kHz} \) superposé à un bruit haute fréquence à \( f_{\text{bruit}} = 200 \ \text{kHz} \). On place un filtre passe-bas RC en sortie du préamplificateur avec \( R = 820 \ \Omega \) et \( C = 10 \ \text{nF} \). 1. Calculer la fréquence de coupure \( f_0 \). 2. Calculer le gain \( |H| \) à \( f = 20 \ \text{kHz} \) (fréquence audio maximale). Exprimer en dB. 3. Calculer le gain à \( f_{\text{bruit}} = 200 \ \text{kHz} \). Exprimer en dB. De quel facteur le bruit est-il atténué ? 4. Le filtre est-il sélectif ? Justifier en comparant l'atténuation à \( 20 \ \text{kHz} \) et à \( 200 \ \text{kHz} \). 5. Proposer des valeurs de R et C pour avoir \( f_0 = 50 \ \text{kHz} \) avec le même condensateur. Données R = 820 Ω | C = 10 nF = 10⁻⁸ F | f_bruit = 200 kHz 📖 Voir le corrigé type bac ▼ 1 \( f_0 = \dfrac{1}{2\pi RC} = \dfrac{1}{2\pi \times 820 \times 10^{-8}} = \dfrac{1}{2\pi \times 8{,}2\times10^{-6}} \approx \mathbf{19\,400 \ \text{Hz} \approx 19{,}4 \ \text{kHz}} \) 2 À \( f = 20 \ \text{kHz} \approx f_0 \) : \( |H| = \dfrac{1}{\sqrt{1+(f/f_0)^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{1+(20/19{,}4)^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{1+1{,}063}} = \dfrac{1}{\sqrt{2{,}063}} \approx 0{,}696 \) \( G_{\text{dB}} = 20\log(0{,}696) \approx \mathbf{-3{,}1 \ \text{dB}} \) L'atténuation à 20 kHz est faible (~3 dB) — le signal audio reste presque intact. 3 À \( f = 200 \ \text{kHz} = 10{,}3 f_0 \) : \( |H| = \dfrac{1}{\sqrt{1+(200/19{,}4)^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{1+106{,}3}} \approx \dfrac{1}{\sqrt{107{,}3}} \approx 0{,}0965 \) \( G_{\text{dB}} = 20\log(0{,}0965) \approx \mathbf{-20{,}3 \ \text{dB}} \) Facteur d'atténuation : \( 1/0{,}0965 \approx 10{,}4 \) — le bruit est divisé par plus de 10. 4 À 20 kHz : atténuation de ~3 dB (facteur ~0,7 — peu atténué). À 200 kHz : atténuation de ~20 dB (facteur ~10 — fortement atténué). Le filtre est sélectif : il atténue 14 fois plus le bruit à 200 kHz que le signal audio à 20 kHz. Pour un filtre RC simple du premier ordre, c'est une bonne sélectivité pour ce rapport de fréquences (×10). 5 \( f_0 = 50 \ \text{kHz} \), \( C = 10 \ \text{nF} \) : \( R = \dfrac{1}{2\pi f_0 C} = \dfrac{1}{2\pi \times 50\times10^3 \times 10^{-8}} = \dfrac{1}{3{,}14\times10^{-3}} \approx \mathbf{318 \ \Omega} \) On choisira la valeur normalisée la plus proche : \( R = 330 \ \Omega \) (série E24). Résultats Type Bac \( f_0 \approx 19{,}4 \ \text{kHz} \) — 20 kHz : −3,1 dB — 200 kHz : −20,3 dB (atténuation ×10) — Pour 50 kHz : \( R \approx 318 \ \Omega \) Ce filtre est typique des préamplificateurs audio — il élimine les parasites HF tout en conservant la bande audio utile (20 Hz – 20 kHz) avec une atténuation minimale. Les erreurs classiques à éviter ✕ Confondre \( f_0 \) et \( \tau \) : la constante de temps \( \tau = RC \) s'exprime en secondes. La fréquence de coupure \( f_0 = 1/(2\pi\tau) \) s'exprime en hertz. Les deux sont liées mais distinctes : un circuit avec \( \tau = 1 \ \text{ms} \) a \( f_0 \approx 159 \ \text{Hz} \), pas 1000 Hz. ✕ Croire que la tension aux bornes de C peut varier instantanément : la relation \( i = C\,du_C/dt \) impose qu'une variation infinie de tension en un temps nul nécessiterait un courant infini — physiquement impossible. La tension \( u_C \) est toujours continue. ✕ Oublier la condition initiale dans la résolution : la solution générale de l'équation différentielle contient une constante d'intégration \( A \). On ne peut la déterminer qu'avec la condition initiale \( u_C(0) = U_0 \). Sans cela, la solution est incomplète et fausse. ✕ Inverser passe-bas et passe-haut : le passe-bas prend la sortie sur C (grande impédance à basse fréquence → la tension "chute" peu → bon passage). Le passe-haut prend la sortie sur R. Une façon de mémoriser : à basse fréquence, C est un circuit ouvert, donc toute la tension tombe sur C → c'est le passe-bas. ✕ Utiliser 5τ comme temps de charge exacte : après 5τ, le condensateur est chargé à 99,3% — pas 100%. En pratique, on considère le régime permanent atteint, mais pour des calculs précis, il faut utiliser la formule exacte \( u_C(t) = E(1-e^{-t/\tau}) \). Maîtriser l'électronique et les circuits ? Cours complets sur les circuits RLC, ampli-op, filtres et traitement du signal analogique. Voir les cours → Pour aller plus loin Ces articles complètent ta maîtrise de l'électronique et du traitement du signal. ⚡ Forces Électriques et Magnétiques Les champs électriques qui gouvernent le comportement du condensateur dans le circuit RC. ∫ La Transformée de Fourier L'outil mathématique qui permet d'analyser le spectre fréquentiel des signaux filtrés par RC. ℏ Quantification de l'Énergie Les bases quantiques qui expliquent le comportement électronique à l'échelle des composants. 📐 Équations Différentielles La même équation différentielle du premier ordre apparaît en mécanique et en électronique.

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