📘 Les variables aléatoires réelles

Une variable aléatoire est une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue d’une expérience aléatoire. Elle permet d’interpréter numériquement les résultats d’une expérience aléatoire.

📐 Définition

Soit Ω l’univers d’une expérience aléatoire ayant un nombre fini d’issues. Définir une variable aléatoire X sur Ω, c’est associer un nombre réel à chaque issue de Ω.

• Une variable aléatoire est notée par une lettre majuscule : X, Y, T…
• X(Ω) désigne l’ensemble des valeurs prises par X.
• {X = α} désigne l’événement « X prend la valeur α ».
• P(X = α) désigne la probabilité de cet événement.

📐 Exemple fondateur : deux lancers d’une pièce équilibrée

On lance deux fois une pièce équilibrée. L’univers est Ω = {PP ; PF ; FP ; FF}.

On définit X = nombre de « Pile » obtenus :

• X prend les valeurs 0, 1 ou 2 → X(Ω) = {0 ; 1 ; 2}.
• {X = 0} = {FF}
• {X = 1} = {PF ; FP}
• {X = 2} = {PP}

📌 Pour la même expérience, on peut définir plusieurs variables aléatoires différentes (ex. : Y = nombre de « Face » obtenus).

💡 À retenir

• Variable aléatoire = fonction Ω → ℝ (associe un réel à chaque issue).
• Notée X, Y, T… (lettres majuscules).
• X(Ω) = ensemble des valeurs prises.
• P(X = α) = probabilité que X prenne la valeur α.