📘 Jeu équitable, favorable ou défavorable
Lorsque les probabilités sont liées à un gain aléatoire, l’espérance du gain algébrique permet de déterminer si le jeu est équitable (E = 0), favorable au joueur (E > 0) ou défavorable (E < 0).
📐 Critères d’équitabilité
Soit G la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur (gain brut − mise) :
| Condition | Nature du jeu |
|---|---|
| E(G) = 0 | Jeu équitable |
| E(G) > 0 | Jeu favorable au joueur |
| E(G) < 0 | Jeu défavorable au joueur |
📐 Exemple : jeu de cartes
Mise = 5 €. Jeu de 32 cartes.
• Si As de cœur tiré → gain brut = 100 € → gain algébrique = 100 − 5 = +95 €.
• Sinon → gain algébrique = 0 − 5 = −5 €.
| gᵢ | 95 | −5 |
|---|---|---|
| P(G = gᵢ) | 1/32 | 31/32 |
E(G) = 95 × (1/32) + (−5) × (31/32)
= 95/32 − 155/32
= −60/32 = −15/8
→ E(G) = −15/8 < 0 → le jeu est défavorable au joueur.
📌 Vérification du jeu précédent (dé) : E(G) = 1/2 > 0 → jeu favorable au joueur.
📐 Comment rendre un jeu équitable ?
Si l’on veut trouver la mise m rendant le jeu équitable, on pose E(G) = 0 et on résout :
→ E(gain brut) − m = 0 → m = E(gain brut)
👉 Exemple avec le dé : Gain brut espéré = (4/6)(0) + (1/6)(5) + (1/6)(10) = 15/6 = 5/2 = 2,50 €
→ Pour que le jeu soit équitable, il faudrait une mise de 2,50 € (et non 2 €).
💡 À retenir
• G = gain algébrique = gain brut − mise.
• E(G) = 0 → équitable ; E(G) > 0 → favorable ; E(G) < 0 → défavorable.
• Mise équitable = E(gain brut).
• La plupart des jeux de hasard commerciaux sont défavorables (casinos, loteries…).