📘 L’espérance d’une variable aléatoire
L’espérance E(X) est la valeur moyenne que l’on peut « espérer » obtenir en répétant un grand nombre de fois l’expérience aléatoire. C’est une moyenne pondérée par les probabilités.
📐 Définition et formule
L’espérance de la variable X, notée E(X), est définie par :
E(X) = P(X = x₁) × x₁ + P(X = x₂) × x₂ + … + P(X = xₙ) × xₙ = Σ pᵢ × xᵢ
L’espérance est le résultat moyen que l’on peut espérer en répétant l’expérience un grand nombre de fois.
📐 Exemple : jeu de dé avec gains
Un jeu de dé équilibré (numéroté 1 à 6). Mise = 2 €. Gains :
• Face 6 → gain = 10 € (gain algébrique = 10 − 2 = +8 €)
• Face 5 → gain = 5 € (gain algébrique = 5 − 2 = +3 €)
• Faces 1 à 4 → pas de gain (gain algébrique = 0 − 2 = −2 €)
Variable aléatoire G (gain algébrique) :
| gᵢ | −2 | 3 | 8 |
|---|---|---|---|
| P(G = gᵢ) | 4/6 | 1/6 | 1/6 |
E(G) = (4/6) × (−2) + (1/6) × 3 + (1/6) × 8
E(G) = −8/6 + 3/6 + 8/6 = 3/6 = 1/2
→ En moyenne, le joueur gagne 0,50 € par partie.
📐 Calcul de l’espérance en Python
![Code Python pour calculer l'espérance d'une variable aléatoire X : les valeurs sont stockées dans une liste 'valeurs' et les probabilités dans une liste 'proba'. La fonction calcule la somme des produits valeurs[i]*proba[i] pour chaque i.](https://media-image.kartable.fr/uploads/finalImages/final_5ec538d6681fd5.23791810.jpg)
Application : X prend les valeurs −1, 0, 1 avec P = 1/4, 1/4, 1/2.
E(X) = (1/4)(−1) + (1/4)(0) + (1/2)(1) = −1/4 + 0 + 1/2 = 1/4 = 0,25
💡 À retenir
• E(X) = Σ pᵢ × xᵢ (somme des produits probabilité × valeur).
• E(X) = valeur moyenne espérée sur un grand nombre de répétitions.
• Python : boucle sur les listes valeurs et proba.