📘 La variance et l’écart-type d’une variable aléatoire

La variance V(X) mesure la dispersion des valeurs de X autour de son espérance. L’écart-type σ(X) est la racine carrée de la variance et s’exprime dans la même unité que X. Deux formules permettent de calculer V(X).

📐 La variance — Formule 1 (définition)

V(X) = Σ pᵢ × [xᵢ − E(X)]²

C’est la moyenne pondérée des carrés des écarts à l’espérance. On a également : V(X) = E([X − E(X)]²)

Exemple (suite du jeu de dé) : E(G) = 1/2

V(G) = (4/6)(−2 − 1/2)² + (1/6)(3 − 1/2)² + (1/6)(8 − 1/2)²
= (4/6)(25/4) + (1/6)(25/4) + (1/6)(225/4)
= 100/24 + 25/24 + 225/24
= 350/24 = 175/12

📐 La variance — Formule 2 (théorème de König-Huygens)

V(X) = E(X²) − [E(X)]² = (Σ pᵢ × xᵢ²) − [E(X)]²

Cette formule est souvent plus rapide à calculer.

Vérification sur le même exemple :
E(G²) = (4/6)(−2)² + (1/6)(3)² + (1/6)(8)²
= (4/6)(4) + (1/6)(9) + (1/6)(64)
= 16/6 + 9/6 + 64/6 = 89/6

V(G) = E(G²) − [E(G)]² = 89/6 − (1/2)² = 89/6 − 1/4 = 356/24 − 6/24 = 350/24 = 175/12 ✅

📐 L’écart-type

σ(X) = √V(X)

• L’écart-type s’exprime dans la même unité que X.
• La variance s’exprime dans le carré de l’unité de X.

Application : σ(G) = √(175/12) ≈ 3,819 €

📐 Calcul de l’écart-type en Python

📐 Tableau récapitulatif des paramètres

💡 À retenir

• V(X) = Σ pᵢ[xᵢ − E(X)]² = E(X²) − [E(X)]² (théorème de König-Huygens).
• σ(X) = √V(X) → même unité que X.
• V(X) mesure la dispersion autour de l’espérance (plus V grand = plus X est variable).