📘 La loi d’une variable aléatoire
La loi de probabilité d’une variable aléatoire X est la donnée de toutes les valeurs prises par X et de leurs probabilités associées. La somme de toutes ces probabilités est toujours égale à 1.
📐 Définition de la loi de probabilité
Soit X une variable aléatoire sur Ω prenant les valeurs x₁, x₂, …, xₙ. La loi de probabilité de X est la fonction qui associe à chaque valeur xᵢ la probabilité pᵢ = P(X = xᵢ).
Elle se présente sous forme d’un tableau :
| xᵢ | x₁ | x₂ | … | xₙ |
|---|---|---|---|---|
| P(X = xᵢ) | p₁ | p₂ | … | pₙ |
p₁ + p₂ + … + pₙ = 1
La somme des probabilités est toujours égale à 1 (les événements élémentaires sont une partition de Ω).
📐 Exemple : deux lancers d’une pièce équilibrée
X = nombre de Pile obtenus sur deux lancers d’une pièce équilibrée.
Chaque issue est équiprobable → probabilité = 1/4.
| xᵢ | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| P(X = xᵢ) | 1/4 | 1/2 | 1/4 |
• P(X = 0) = P({FF}) = 1/4
• P(X = 1) = P({PF, FP}) = 2/4 = 1/2
• P(X = 2) = P({PP}) = 1/4
Vérification : 1/4 + 1/2 + 1/4 = 1 ✅
💡 À retenir
• Loi de probabilité = tableau des valeurs + probabilités associées.
• Propriété fondamentale : Σ P(X = xᵢ) = 1.
• Utile pour calculer des probabilités d’événements composés.