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Statistiques de Bose-Einstein et Condensat BEC | FreeCourse Physique Quantique · Statistique · CPGE / Licence / Master Statistiques deBose-Einsteinet le Condensat BEC Le cinquième état de la matière : des milliers d'atomes refroidis à quelques dizaines de nanokelvin perdent leur identité individuelle et se comportent comme une seule onde quantique macroscopique. Statistiques de Bose-Einstein, température critique, superfluidité — cours complet avec schémas et 5 exercices corrigés. ⏱ Lecture : 20 min 🧊 Niveau : CPGE / Licence / Master ✦ Cours + 5 Exercices Corrigés Partie 1 — Les trois statistiques quantiques 1.1 — Pourquoi la statistique classique est insuffisante En mécanique statistique classique (Maxwell-Boltzmann), les particules sont distinguables : on peut en principe numéroter chaque molécule et suivre sa trajectoire. À basse température ou haute densité, ce cadre s'effondre : la mécanique quantique impose que les particules identiques sont fondamentalement indiscernables, ce qui change radicalement la façon de compter les états accessibles. Il existe deux types de particules quantiques, différenciés par leur spin : les bosons (spin entier : 0, 1, 2…) et les fermions (spin demi-entier : 1/2, 3/2…). Cette distinction conduit à deux statistiques quantiques radicalement différentes. MB Maxwell-Boltzmann Particules classiques distinguables. Valide à haute T ou faible densité. Pas de contrainte sur l'occupation des états. FD Fermi-Dirac Particules identiques de spin demi-entier (fermions). Principe d'exclusion de Pauli : au plus 1 particule par état quantique. BE Bose-Einstein Particules identiques de spin entier (bosons). Aucune limite sur l'occupation : toutes les particules peuvent occuper le même état. 🔑 La règle spin-statistique (Pauli, 1940) Tout boson (spin entier) obéit à la statistique de Bose-Einstein et sa fonction d'onde est symétrique sous échange de deux particules : \( \psi(\vec{r}_1,\vec{r}_2) = +\psi(\vec{r}_2,\vec{r}_1) \). Tout fermion (spin demi-entier) obéit à Fermi-Dirac et sa fonction d'onde est antisymétrique : \( \psi(\vec{r}_1,\vec{r}_2) = -\psi(\vec{r}_2,\vec{r}_1) \). Exemples de bosons : photons (spin 1), ⁴He (spin 0), ⁸⁷Rb (spin 1), ²³Na (spin 3), pions (spin 0), gluons (spin 1), boson de Higgs (spin 0). Exemples de fermions : électrons, protons, neutrons, ³He, quarks (spin 1/2). Partie 2 — La distribution de Bose-Einstein 2.1 — Dérivation et interprétation Dans l'ensemble grand-canonique (à T, V et potentiel chimique \( \mu \) fixés), le nombre moyen d'occupation de l'état d'énergie \( \varepsilon_i \) par des bosons est : Distribution de Bose-Einstein — occupation moyenne \[ \bar{n}_i = \frac{1}{e^{(\varepsilon_i - \mu)/k_B T} - 1} \] \( \varepsilon_i \) — énergie de l'état quantique \( i \) \( \mu \) — potentiel chimique du gaz de bosons (en J ou eV) \( k_B = 1{,}381\times10^{-23} \ \text{J/K} \) — constante de Boltzmann \( T \) — température absolue (en K) Contrainte fondamentale : pour que \( \bar{n}_i \geq 0 \) pour tous les états, il faut \( \mu \leq \varepsilon_{\min} \) (le potentiel chimique doit rester inférieur ou égal à l'énergie de l'état fondamental). Pour un gaz d'atomes libres : \( \mu \leq 0 \). Comparaison avec Fermi-Dirac (\( +1 \) au lieu de \( -1 \)) et Maxwell-Boltzmann (\( e^{(\varepsilon-\mu)/k_BT} \gg 1 \), la constante ±1 devient négligeable). 2.2 — Comparaison graphique des trois distributions ε − μ n̄(ε) ε = μ 0 1 Bose-Einstein ↑ pile à ε → μ⁺ Maxwell-Boltzmann ∝ e^{−(ε−μ)/kT} Fermi-Dirac max 1 par état À ε → μ⁺ : n̄_BE → ∞ · n̄_FD → 1 · n̄_MB finie Comparaison des trois statistiques à température T fixée — la distribution de Bose-Einstein (bleu) diverge quand ε → μ⁺ (accumulation macroscopique dans l'état fondamental), la Fermi-Dirac (vert) est bornée par 1, et Maxwell-Boltzmann (or) est une exponentielle décroissante classique. L'amplification bosonique — "statistique sociable" \[ \bar{n}_i^{\text{BE}} = \frac{1}{e^{(\varepsilon_i-\mu)/k_BT}-1} = \bar{n}_i^{\text{MB}}\cdot\frac{1}{1-e^{-(\varepsilon_i-\mu)/k_BT}} \] La distribution BE est toujours supérieure à MB pour le même état. Les bosons ont une tendance naturelle à s'accumuler dans les états déjà occupés — c'est l'amplification bosonique ou "bunching statistique". Règle mnémotechnique : "les bosons sont grégaires, les fermions sont solitaires". Un boson déjà dans un état \( i \) augmente la probabilité qu'un autre y arrive : si \( n \) bosons occupent l'état, la probabilité d'un \( (n+1) \)-ème est proportionnelle à \( n+1 \). Partie 3 — La longueur d'onde thermique de de Broglie 3.1 — Quand la quantique devient incontournable Le régime quantique devient important quand les paquets d'onde associés aux particules se chevauchent. La taille typique d'un paquet d'onde est la longueur d'onde thermique de de Broglie \( \lambda_{\text{th}} \). Longueur d'onde thermique de de Broglie \[ \lambda_{\text{th}} = \frac{h}{\sqrt{2\pi m k_B T}} \] \( h = 6{,}626\times10^{-34} \ \text{J·s} \) — constante de Planck \( m \) — masse de l'atome (en kg) \( k_B \) — constante de Boltzmann \( T \) — température Critère de dégénérescence quantique : le gaz est quantique quand \( n\lambda_{\text{th}}^3 \gtrsim 1 \), où \( n \) est la densité numérique (atomes/m³). Autrement dit : quand la distance inter-atomique \( \sim n^{-1/3} \) devient comparable à \( \lambda_{\text{th}} \). 🔢 Ordre de grandeur — ⁸⁷Rb à 100 nK Masse du rubidium-87 : \( m = 87 \times 1{,}66\times10^{-27} = 1{,}44\times10^{-25} \ \text{kg} \) À \( T = 100 \ \text{nK} = 10^{-7} \ \text{K} \) : \( \lambda_{\text{th}} = \dfrac{6{,}626\times10^{-34}}{\sqrt{2\pi \times 1{,}44\times10^{-25} \times 1{,}381\times10^{-23} \times 10^{-7}}} \approx \mathbf{5{,}4 \ \mu\text{m}} \) Cette longueur est macroscopique (visible au microscope optique !) — les paquets d'onde de milliers d'atomes se chevauchent totalement. Partie 4 — La condensation de Bose-Einstein 4.1 — Le mécanisme de la condensation Quand un gaz de bosons est refroidi sous une température critique \( T_c \), un phénomène remarquable se produit : une fraction macroscopique des atomes "tombe" dans l'état fondamental (\( \varepsilon = 0 \)) simultanement. Ce n'est pas une transition classique — c'est une transition de phase quantique purement statistique, sans interaction nécessaire. Physiquement : en refroidissant, les paquets d'onde s'élargissent (λ_th augmente). En dessous de \( T_c \), ils se chevauchent complètement et les atomes perdent leur identité individuelle — toute la condensat est décrit par une seule fonction d'onde macroscopique \( \Psi(\vec{r}) \). Température critique de condensation — gaz 3D libre \[ T_c = \frac{h^2}{2\pi m k_B}\left(\frac{n}{\zeta(3/2)}\right)^{2/3} \approx \frac{3{,}31\,\hbar^2}{m k_B}\,n^{2/3} \] \( n \) — densité numérique du gaz (atomes/m³) \( \zeta(3/2) \approx 2{,}612 \) — valeur de la fonction zêta de Riemann (constante numérique) \( \hbar = h/2\pi \) — constante de Planck réduite \( m \) — masse de l'atome En pratique pour les expériences BEC : \( T_c \sim 100 \ \text{nK} \) à \( 1 \ \mu\text{K} \) pour des densités \( n \sim 10^{14} \) à \( 10^{15} \ \text{atomes/cm}^3 \). 4.2 — La fraction condensée En dessous de \( T_c \), la fraction d'atomes dans l'état fondamental croît selon une loi puissance : Fraction condensée en fonction de la température \[ \frac{N_0}{N} = 1 - \left(\frac{T}{T_c}\right)^{3/2} \quad \text{pour} \quad T < T_c \] \( N_0 \) — nombre d'atomes dans l'état fondamental (le condensat) \( N \) — nombre total d'atomes À \( T = 0 \) : \( N_0/N = 1 \) — tous les atomes sont dans l'état fondamental À \( T = T_c \) : \( N_0/N = 0 \) — le condensat disparaît À \( T = T_c/2 \) : \( N_0/N = 1 - (1/2)^{3/2} = 1 - 0{,}354 \approx 64{,}6\% \) Note : cette loi en \( T^{3/2} \) est propre à un gaz 3D libre. Pour un piège harmonique (réel), l'exposant devient 3 : \( N_0/N = 1-(T/T_c)^3 \). T/Tc N₀/N 0 1 1 (=Tc) 0 0.5 1.5 Zone condensée N₀/N = 1−(T/Tc)^{3/2} Gaz normal (N₀=0) Tc transition T=0 : N₀=N (100%) T=0.5Tc : ~65% Fraction condensée N₀/N en fonction de T/Tc — la condensation démarre à T = Tc et croît comme 1−(T/Tc)^{3/2}. À T = 0, tous les atomes sont dans l'état fondamental. C'est une transition de phase du second ordre. Partie 5 — Caractéristiques et propriétés du condensat BEC 5.1 — Une fonction d'onde macroscopique Le condensat est décrit par une unique fonction d'onde macroscopique (paramètre d'ordre) \( \Psi(\vec{r}, t) \), appelée aussi fonction d'onde du condensat ou champ de Gross-Pitaevskii. Elle encode à la fois la densité et la phase du condensat : Fonction d'onde macroscopique du condensat \[ \Psi(\vec{r},t) = \sqrt{n_0(\vec{r},t)}\,e^{i\phi(\vec{r},t)} \] \( n_0(\vec{r},t) = |\Psi|^2 \) — densité locale du condensat (atomes/m³) \( \phi(\vec{r},t) \) — phase quantique macroscopique (définie et cohérente sur tout le condensat) Contrairement à un gaz ordinaire où les phases individuelles sont aléatoires, dans le BEC toutes les particules partagent la même phase \( \phi \) — c'est la cohérence de phase macroscopique, mesurable par interférence. 🌊 Cohérence de phase macroscopique Tous les atomes du condensat partagent la même phase quantique. Deux condensats peuvent interférer comme deux lasers — démontré pour la première fois par Andrews et al. (MIT, 1997). 💧 Superfluidité Le condensat s'écoule sans viscosité — découverte dans l'hélium-4 superfluide (Kapitza, 1938). En dessous de 2,17 K, ⁴He peut monter le long des parois d'un récipient ou s'écouler sans frottement dans des capillaires infiniment fins. 🔁 Vortex quantifiés Dans un condensat en rotation, les tourbillons (vortex) ont une circulation quantifiée : \( \oint \vec{v}\cdot d\vec{l} = n\,h/m \). Contrairement aux fluides classiques, les vortex ne peuvent avoir qu'une valeur discrète de circulation. 💡 Laser à atomes Par analogie avec le laser (photons bosons dans le même mode), on peut extraire un faisceau cohérent d'atomes du BEC — le "laser à atomes". Démontré en 1997 par Mewes (MIT). Utilisé pour l'interférométrie atomique de précision. 🐢 Lumière ultra-lente En 1999, Lene Hau (Harvard) ralentit la lumière à 17 m/s dans un condensat de sodium — 18 millions de fois plus lent que dans le vide. En 2001, elle arrête complètement une impulsion lumineuse et la "stocke" dans le BEC. 📡 Interférométrie atomique La cohérence du BEC permet des interféromètres atomiques d'une sensibilité extraordinaire — mesure de g à 10⁻¹⁰ près, détection d'ondes gravitationnelles, navigation inertielle sans GPS. 5.2 — L'équation de Gross-Pitaevskii Pour un condensat avec interactions faibles entre atomes (gaz dilué), la dynamique de \( \Psi \) est gouvernée par l'équation de Gross-Pitaevskii (GPE) — une équation de Schrödinger non-linéaire : Équation de Gross-Pitaevskii (1961) \[ i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t} = \left(-\frac{\hbar^2\nabla^2}{2m} + V_{\text{ext}}(\vec{r}) + g|\Psi|^2\right)\Psi \] \( -\hbar^2\nabla^2/2m \) — énergie cinétique \( V_{\text{ext}}(\vec{r}) \) — potentiel de confinement (piège magnéto-optique, harmonique) \( g = 4\pi\hbar^2 a_s/m \) — constante d'interaction (\( a_s \) = longueur de diffusion en onde s) \( g|\Psi|^2 \) — terme non-linéaire d'interaction de champ moyen Si \( g > 0 \) (interactions répulsives) : le condensat est stable, s'étale dans le piège. Si \( g N_{\text{crit}} \). Partie 6 — La conquête expérimentale du BEC 1924–1925 Prédiction théorique — Bose et Einstein Satyendra Nath Bose soumet un article sur les photons à Einstein, qui le traduit en allemand et l'étend aux atomes. Einstein prédit la condensation en 1925 mais doute lui-même que cela soit physiquement réalisable. 1938 Superfluidité de l'hélium-4 — Kapitza, Allen, Misener L'hélium-4 perd toute viscosité en dessous de 2,17 K (point lambda). London (1938) suggère que c'est lié à la condensation de Bose-Einstein, bien que ⁴He soit un liquide dense, pas un gaz idéal. Kapitza reçoit le Nobel 1978. 1995 Premier BEC dilué — Cornell, Wieman (JILA, Colorado) Le 5 juin 1995 : condensation de ~2000 atomes de ⁸⁷Rb à \( T_c \approx 170 \ \text{nK} \). Quelques mois plus tard, Ketterle (MIT) obtient un BEC de ²³Na avec 5×10⁵ atomes. Nobel de Physique 2001 pour Cornell, Wieman et Ketterle. 1997 Interférence de deux condensats (MIT) Andrews et al. montrent que deux condensats de sodium séparés puis libérés produisent des franges d'interférence — preuve directe de la cohérence de phase macroscopique. 2001–2023 BEC moléculaires, BEC photoniques, condensats en microgravité Extension aux molécules (2003), aux polaritons (2006), aux magnons, aux photons confinés (2010). En 2023, un BEC est créé en orbite sur l'ISS (expérience CAL de la NASA), permettant des temps de piégeage de plusieurs secondes sans gravité. 🧊 Comment refroidir des atomes jusqu'au nanokelvin ? 1. Ralentissement Zeeman (~1 K → 1 mK) : un faisceau d'atomes est ralenti par des photons laser contra-propageants (pression de radiation). 2. Mélasse optique + piège magnéto-optique (MOT) (~1 mK → 10 µK) : 6 faisceaux laser amortissent le mouvement dans les trois directions ; un champ magnétique quadrupolaire confine les atomes. 3. Refroidissement évaporatif (~10 µK → 100 nK) : les atomes les plus énergétiques sont éliminés sélectivement ; les restants se rethermalisent à une température plus basse — comme souffler sur un café. C'est la limite du refroidissement évaporatif qui détermine \( T_c \approx 100 \ \text{nK} \). Exercices Corrigés Vert — Niveau 1 Bleu — Niveau 2 Violet — Niveau 3 Rouge — Avancé 1 Distributions statistiques — comparaison BE, FD, MB Niveau 1 — Formules directes 📋 Énoncé On considère un état d'énergie \( \varepsilon = k_BT \) dans un gaz avec potentiel chimique \( \mu = 0 \). 1. Calculer le taux d'occupation moyen \( \bar{n} \) pour les trois statistiques MB, BE et FD. 2. Ordonner les trois valeurs et interpréter physiquement. 3. Recommencer pour \( \varepsilon = 0{,}01\,k_BT \) (état proche du niveau \( \mu = 0 \)). Que se passe-t-il pour BE ? 4. Pour un boson, calculer \( \bar{n}_{\text{BE}} \) pour \( \varepsilon - \mu = 0{,}001\,k_BT \). Interpréter. 📖 Voir le corrigé ▼ 1 Pour \( \varepsilon - \mu = k_BT \), donc \( x = (\varepsilon-\mu)/k_BT = 1 \) : \( \bar{n}_{\text{MB}} = e^{-1} \approx \mathbf{0{,}368} \) \( \bar{n}_{\text{BE}} = \dfrac{1}{e^1 - 1} = \dfrac{1}{1{,}718} \approx \mathbf{0{,}582} \) \( \bar{n}_{\text{FD}} = \dfrac{1}{e^1 + 1} = \dfrac{1}{3{,}718} \approx \mathbf{0{,}269} \) 2 \( \bar{n}_{\text{FD}} < \bar{n}_{\text{MB}} < \bar{n}_{\text{BE}} \) Les bosons s'accumulent davantage (bunching) ; les fermions sont réprimés (exclusion de Pauli) ; MB est entre les deux. 3 Pour \( x = 0{,}01 \) (très proche de \( \mu \)) : \( \bar{n}_{\text{MB}} = e^{-0{,}01} \approx 0{,}990 \) \( \bar{n}_{\text{BE}} = \dfrac{1}{e^{0{,}01}-1} \approx \dfrac{1}{0{,}01005} \approx \mathbf{99{,}5} \) \( \bar{n}_{\text{FD}} = \dfrac{1}{e^{0{,}01}+1} \approx 0{,}498 \) Pour BE, l'occupation explose quand \( \varepsilon \to \mu \) — c'est le précurseur de la condensation. 4 \( \bar{n}_{\text{BE}} = \dfrac{1}{e^{0{,}001}-1} \approx \dfrac{1}{0{,}001} = \mathbf{1000} \) Pour \( x = 10^{-4} \) : \( \bar{n} \approx 10^4 \), etc. Quand \( \varepsilon - \mu \to 0^+ \), \( \bar{n}_{\text{BE}} \to \infty \) : un nombre macroscopique de bosons peut s'accumuler dans l'état fondamental → c'est la condensation de Bose-Einstein. Résultats À \( \varepsilon=k_BT, \mu=0 \) : FD≈0,269 < MB≈0,368 < BE≈0,582 Près de \( \mu \) : BE diverge (\( \bar{n}\to\infty \)) — accumulation macroscopique 2 Température critique du BEC de ⁸⁷Rb — expérience de Cornell-Wieman Niveau 2 — Calcul de Tc 📋 Énoncé L'expérience de Cornell et Wieman (JILA, 1995) utilise \( N = 2\,000 \) atomes de ⁸⁷Rb confinés dans un piège harmonique de fréquence moyenne \( \bar{\omega}/(2\pi) = 200 \ \text{Hz} \). Pour un piège harmonique 3D, la température critique est : \[ T_c^{\text{piège}} = \frac{\hbar\bar{\omega}}{k_B}\left(\frac{N}{\zeta(3)}\right)^{1/3} \] 1. Calculer \( T_c \) pour ces paramètres. 2. Calculer la longueur d'onde thermique de de Broglie à \( T = T_c \). 3. Calculer la fraction condensée à \( T = T_c/2 \) et \( T = T_c/4 \). 4. Comparer \( T_c \) avec la température ambiante (300 K). De quel facteur faut-il refroidir ? Données N = 2 000 | ω̄/2π = 200 Hz | m_Rb = 87×1,66×10⁻²⁷ = 1,44×10⁻²⁵ kg | ζ(3) = 1,202 | ħ = 1,055×10⁻³⁴ J·s 📖 Voir le corrigé ▼ 1 \( \bar{\omega} = 2\pi\times200 = 1256 \ \text{rad/s} \) \( \dfrac{\hbar\bar{\omega}}{k_B} = \dfrac{1{,}055\times10^{-34}\times1256}{1{,}381\times10^{-23}} \approx 9{,}60\times10^{-9} \ \text{K} \) \( (N/\zeta(3))^{1/3} = (2000/1{,}202)^{1/3} = (1664)^{1/3} \approx 11{,}83 \) \( T_c = 9{,}60\times10^{-9} \times 11{,}83 \approx \mathbf{1{,}14\times10^{-7} \ \text{K} = 114 \ \text{nK}} \) 2 \( \lambda_{\text{th}} = \dfrac{h}{\sqrt{2\pi m k_B T_c}} = \dfrac{6{,}626\times10^{-34}}{\sqrt{2\pi\times1{,}44\times10^{-25}\times1{,}381\times10^{-23}\times1{,}14\times10^{-7}}} \) Numérateur : \( 6{,}626\times10^{-34} \) Sous la racine : \( 2\pi\times1{,}44\times10^{-25}\times1{,}381\times10^{-23}\times1{,}14\times10^{-7} \approx 1{,}42\times10^{-53} \) \( \lambda_{\text{th}} = \dfrac{6{,}626\times10^{-34}}{\sqrt{1{,}42\times10^{-53}}} = \dfrac{6{,}626\times10^{-34}}{3{,}77\times10^{-27}} \approx \mathbf{1{,}76\times10^{-7} \ \text{m} \approx 176 \ \text{nm}} \) 3 Piège harmonique : \( N_0/N = 1-(T/T_c)^3 \) À \( T = T_c/2 \) : \( N_0/N = 1-(1/2)^3 = 1-0{,}125 = \mathbf{87{,}5\%} \) À \( T = T_c/4 \) : \( N_0/N = 1-(1/4)^3 = 1-0{,}0156 = \mathbf{98{,}4\%} \) 4 \( T_{\text{amb}}/T_c = 300/(1{,}14\times10^{-7}) \approx \mathbf{2{,}6\times10^9} \) Il faut refroidir d'un facteur 2,6 milliards pour atteindre le BEC depuis la température ambiante. C'est l'objet le plus froid de l'univers connu lors de sa création en laboratoire. Résultats \( T_c \approx 114 \ \text{nK} \quad \lambda_{\text{th}} \approx 176 \ \text{nm} \quad N_0/N : 87{,}5\% (T_c/2) \text{ et } 98{,}4\% (T_c/4) \) Refroidissement requis : facteur \( \sim 2{,}6\times10^9 \) depuis l'ambiante 3 Superfluide hélium-4 — point lambda et fraction superfluide Niveau 2 — Superfluidité 📋 Énoncé L'hélium-4 devient superfluide sous son "point lambda" \( T_\lambda = 2{,}17 \ \text{K} \) à pression atmosphérique. La densité du ⁴He liquide est \( \rho = 145 \ \text{kg/m}^3 \). 1. Calculer la densité numérique \( n \) (atomes/m³) du ⁴He liquide. 2. Calculer la température critique BEC pour un gaz idéal de ⁴He à cette densité (gaz 3D). Comparer à \( T_\lambda \). 3. La fraction BEC dans le ⁴He superfluide à T → 0 est seulement ~7% (pas 100%). Expliquer pourquoi. 4. Rappeler la formule de la circulation quantifiée d'un vortex dans un superfluide et calculer la valeur du quantum de circulation pour ⁴He. Données M_He = 4×1,66×10⁻²⁷ = 6,64×10⁻²⁷ kg | ρ = 145 kg/m³ | ζ(3/2) = 2,612 | h = 6,626×10⁻³⁴ J·s 📖 Voir le corrigé ▼ 1 \( n = \rho/m = 145/(6{,}64\times10^{-27}) \approx \mathbf{2{,}18\times10^{28} \ \text{atomes/m}^3} \) 2 \( T_c = \dfrac{h^2}{2\pi m k_B}\left(\dfrac{n}{\zeta(3/2)}\right)^{2/3} \) \( \dfrac{h^2}{2\pi m k_B} = \dfrac{(6{,}626\times10^{-34})^2}{2\pi\times6{,}64\times10^{-27}\times1{,}381\times10^{-23}} \approx 3{,}82\times10^{-15} \ \text{K·m}^2 \) \( (n/\zeta)^{2/3} = (2{,}18\times10^{28}/2{,}612)^{2/3} = (8{,}35\times10^{27})^{2/3} \approx 9{,}42\times10^{18} \ \text{m}^{-2} \) \( T_c = 3{,}82\times10^{-15} \times 9{,}42\times10^{18} \approx \mathbf{3{,}60 \ \text{K}} \) Comparaison : \( T_c^{\text{idéal}} \approx 3{,}6 \ \text{K} > T_\lambda = 2{,}17 \ \text{K} \) — du même ordre de grandeur mais pas identique car ⁴He est un liquide dense, pas un gaz idéal. 3 Dans le ⁴He liquide, les interactions fortes entre atomes (⁴He est un liquide, pas un gaz dilué) épuisent une grande partie des atomes vers des états excités, même à T = 0. La théorie BEC idéale prédit N₀/N = 1 à T = 0, mais les corrélations de liquide fort réduisent la fraction condensée à ~7%. C'est une différence fondamentale avec les BEC dilués (⁸⁷Rb, ²³Na) où N₀/N → 1 à T → 0 car les interactions sont faibles. 4 Circulation quantifiée d'un vortex superfluide : \( \kappa_n = \oint \vec{v}_s\cdot d\vec{l} = n\dfrac{h}{m} \quad (n = 1, 2, 3\ldots) \) Pour ⁴He (\( m = 6{,}64\times10^{-27} \ \text{kg} \)) : \( \kappa_1 = \dfrac{h}{m} = \dfrac{6{,}626\times10^{-34}}{6{,}64\times10^{-27}} \approx \mathbf{9{,}98\times10^{-8} \ \text{m}^2/\text{s}} \approx 10^{-7} \ \text{m}^2/\text{s} \) Résultats \( n \approx 2{,}18\times10^{28} \ \text{m}^{-3} \quad T_c^{\text{idéal}} \approx 3{,}6 \ \text{K} \quad \kappa_1 \approx 10^{-7} \ \text{m}^2/\text{s} \) Le fait que \( T_c^{\text{idéal}} \) soit du même ordre que \( T_\lambda \) est la principale preuve que la superfluidité de ⁴He est liée à la condensation de Bose-Einstein, malgré les complications des interactions. 4 Critère de dégénérescence et limite classique Niveau 3 — Régimes quantique et classique 📋 Énoncé Le paramètre de dégénérescence quantique est \( \mathcal{D} = n\lambda_{\text{th}}^3 \). Le gaz est classique si \( \mathcal{D} \ll 1 \) et quantique (dégénéré) si \( \mathcal{D} \gtrsim 1 \). 1. Calculer \( \mathcal{D} \) pour l'air ambiant (\( T=300 \ \text{K} \), \( n = 2{,}7\times10^{25} \ \text{m}^{-3} \), \( m = 29\times10^{-27} \ \text{kg} \)). 2. Calculer \( \mathcal{D} \) pour les électrons de conduction dans le cuivre (\( T=300 \ \text{K} \), \( n = 8{,}5\times10^{28} \ \text{m}^{-3} \), \( m_e = 9{,}11\times10^{-31} \ \text{kg} \)). 3. Dans quel cas le traitement quantique est-il indispensable ? Quelle statistique s'applique dans chaque cas ? 4. Calculer la densité minimale de ⁸⁷Rb nécessaire pour observer le BEC à \( T = 1 \ \mu\text{K} \), en utilisant \( \mathcal{D}_c = \zeta(3/2) \approx 2{,}61 \). Données h = 6,626×10⁻³⁴ J·s | k_B = 1,381×10⁻²³ J/K | m_Rb = 1,44×10⁻²⁵ kg 📖 Voir le corrigé ▼ 1 \( \lambda_{\text{th}}^{\text{air}} = \dfrac{h}{\sqrt{2\pi m k_BT}} = \dfrac{6{,}626\times10^{-34}}{\sqrt{2\pi\times29\times10^{-27}\times1{,}381\times10^{-23}\times300}} \) \( = \dfrac{6{,}626\times10^{-34}}{\sqrt{7{,}56\times10^{-45}}} = \dfrac{6{,}626\times10^{-34}}{8{,}70\times10^{-23}} \approx 7{,}6\times10^{-12} \ \text{m} \) \( \mathcal{D}_{\text{air}} = 2{,}7\times10^{25} \times (7{,}6\times10^{-12})^3 \approx 2{,}7\times10^{25} \times 4{,}4\times10^{-34} \approx \mathbf{1{,}2\times10^{-8} \ll 1} \) → Gaz classique, Maxwell-Boltzmann. 2 \( \lambda_{\text{th}}^e = \dfrac{6{,}626\times10^{-34}}{\sqrt{2\pi\times9{,}11\times10^{-31}\times1{,}381\times10^{-23}\times300}} \approx \dfrac{6{,}626\times10^{-34}}{1{,}53\times10^{-24}} \approx 4{,}33\times10^{-10} \ \text{m} \) \( \mathcal{D}_e = 8{,}5\times10^{28} \times (4{,}33\times10^{-10})^3 \approx 8{,}5\times10^{28} \times 8{,}11\times10^{-29} \approx \mathbf{6{,}9 > 1} \) 3 Air : \( \mathcal{D} \ll 1 \) → classique (Maxwell-Boltzmann). La quantique est négligeable. Électrons Cu : \( \mathcal{D} \approx 7 > 1 \) → fortement dégénéré. Les électrons sont des fermions → statistique de Fermi-Dirac indispensable. C'est pourquoi la conductivité électrique des métaux ne suit pas la loi classique de Drude à basse T. 4 À \( T = 10^{-6} \ \text{K} \) pour ⁸⁷Rb : \( \lambda_{\text{th}}^{\text{Rb}} = \dfrac{6{,}626\times10^{-34}}{\sqrt{2\pi\times1{,}44\times10^{-25}\times1{,}381\times10^{-23}\times10^{-6}}} \approx \dfrac{6{,}626\times10^{-34}}{3{,}54\times10^{-27}} \approx 1{,}87\times10^{-7} \ \text{m} \) \( n_c = \dfrac{\mathcal{D}_c}{\lambda_{\text{th}}^3} = \dfrac{2{,}61}{(1{,}87\times10^{-7})^3} = \dfrac{2{,}61}{6{,}54\times10^{-21}} \approx \mathbf{4{,}0\times10^{20} \ \text{m}^{-3} = 4\times10^{14} \ \text{cm}^{-3}} \) Résultats Air : \( \mathcal{D} \approx 10^{-8} \) (classique) — e⁻ Cu : \( \mathcal{D} \approx 7 \) (Fermi-Dirac) — Rb à 1µK : \( n_c \approx 4\times10^{14} \ \text{cm}^{-3} \) 5 Cohérence de phase et interférence de deux condensats Avancé — Cohérence quantique 📋 Énoncé Avancé Deux condensats de ⁸⁷Rb de phases initiales \( \phi_1 \) et \( \phi_2 \) sont libérés de leurs pièges séparés d'une distance \( d = 20 \ \mu\text{m} \). En se dilatant, ils se chevauchent et interfèrent. La densité du nuage d'atomes après expansion vaut : \[ n(\vec{r}, t) \propto |\Psi_1 + \Psi_2|^2 = n_1 + n_2 + 2\sqrt{n_1 n_2}\cos\left(\frac{m\,d\,x}{\hbar\,t} + \Delta\phi\right) \] où \( \Delta\phi = \phi_1 - \phi_2 \) et \( x \) est la coordonnée perpendiculaire à la séparation. 1. Identifier le terme d'interférence et sa période spatiale \( \lambda_{\text{frange}} \) à \( t = 40 \ \text{ms} \). 2. Calculer numériquement \( \lambda_{\text{frange}} \). 3. Expliquer pourquoi deux nuages de gaz classique ne produiraient pas de franges d'interférence stables. 4. Si \( \Delta\phi \) est aléatoire à chaque répétition de l'expérience, que se passe-t-il ? Que mesure-t-on en moyennant sur de nombreuses réalisations ? Données d = 20 µm = 2×10⁻⁵ m | t = 40 ms = 4×10⁻² s | m_Rb = 1,44×10⁻²⁵ kg | ħ = 1,055×10⁻³⁴ J·s 📖 Voir le corrigé avancé ▼ 1 Le terme d'interférence est \( 2\sqrt{n_1 n_2}\cos\!\left(\dfrac{m\,d\,x}{\hbar t} + \Delta\phi\right) \). Les franges apparaissent quand l'argument du cosinus change de \( 2\pi \) : \( \dfrac{m\,d\,\lambda_{\text{frange}}}{\hbar t} = 2\pi \implies \lambda_{\text{frange}} = \dfrac{2\pi\hbar t}{m\,d} = \dfrac{h\,t}{m\,d} \) 2 \( \lambda_{\text{frange}} = \dfrac{ht}{md} = \dfrac{6{,}626\times10^{-34}\times4\times10^{-2}}{1{,}44\times10^{-25}\times2\times10^{-5}} \) \( = \dfrac{2{,}650\times10^{-35}}{2{,}88\times10^{-30}} \approx \mathbf{9{,}2\times10^{-6} \ \text{m} \approx 9 \ \mu\text{m}} \) Ces franges sont visibles en microscopie optique standard. 3 Dans un gaz classique, chaque atome a une phase quantique aléatoire et indépendante. La densité totale \( n \propto \sum_i |\psi_i|^2 \) — les termes croisés d'interférence s'annulent en moyenne. Il n'y a pas de phase macroscopique cohérente \( \phi(\vec{r}) \) commune à tous les atomes. Les franges apparaissent dans un BEC précisément parce que tous les atomes de chaque condensat partagent la même phase macroscopique — comme dans un laser. 4 Si \( \Delta\phi \) est aléatoire à chaque réalisation : chaque image montre des franges, mais décalées aléatoirement. En moyennant : \( \langle\cos(\ldots + \Delta\phi)\rangle_{\Delta\phi} = 0 \) — les franges disparaissent. On ne mesure plus que \( n_1 + n_2 \) (profil lisse). Mais dans chaque réalisation individuelle, les franges existent — c'est la preuve que chaque condensat est cohérent en lui-même, même si la phase relative entre deux condensats indépendants est aléatoire. Résultats \( \lambda_{\text{frange}} = ht/(md) \approx 9 \ \mu\text{m} \) — Visible au microscope optique ! C'est exactement ce qu'Andrews et al. (Science, 1997) ont observé — la première preuve directe de la cohérence de phase macroscopique du BEC. Des franges d'interférence à l'échelle des micromètres produites par des atomes quantiques refroidis à 100 nK. Les points de vigilance essentiels ✕ Confondre "boson" et "particule légère" : la distinction boson/fermion dépend du spin, pas de la masse. Un proton (léger) est un fermion (spin 1/2) ; un atome de ⁸⁷Rb (lourd) est un boson (spin entier total). Un atome composé de \( Z \) protons, \( N \) neutrons et \( Z \) électrons est boson si \( Z+N \) est pair (exemple : ⁴He = 2p + 2n + 2e → 6 fermions → boson). ✕ "La condensation de Bose-Einstein exige des interactions entre particules" : la condensation est un phénomène purement statistique — elle se produit même pour un gaz idéal sans interactions. C'est la statistique de Bose-Einstein qui impose l'accumulation dans l'état fondamental, pas les interactions. Les interactions modifient la valeur de \( T_c \) mais ne sont pas nécessaires à la condensation. ✕ Confondre la fraction condensée dans ⁴He et dans un BEC dilué : dans le ⁴He superfluide, la fraction condensée est ~7% à T → 0 à cause des fortes interactions. Dans un BEC dilué (⁸⁷Rb), la fraction condensée tend vers 100% à T → 0 car le gaz est très dilué et les interactions sont faibles. ✕ Croire que \( \mu > 0 \) est possible pour un gaz de bosons libres : la condition \( \bar{n}_i \geq 0 \) pour tous les états impose \( \mu \leq \varepsilon_{\min} \). Pour un gaz libre (états à énergie positive), \( \mu \leq 0 \). La condensation survient exactement quand \( \mu \to 0^- \). Explorer la physique quantique avancée ? Cours complets sur la mécanique quantique, la physique statistique et les atomes froids. Voir les cours → Pour aller plus loin Ces articles complètent ta compréhension de la physique quantique et statistique. ⚛️ Comportement Quantique des Électrons Les électrons sont des fermions — leur statistique de Fermi-Dirac est le pendant de Bose-Einstein. ℏ Quantification de l'Énergie Planck a utilisé la statistique des photons (bosons) pour dériver la loi du corps noir — première application de BE. 🔬 Orbitales Atomiques Le principe d'exclusion de Pauli (fermions) est le dual du regroupement bosonique — les deux faces de la physique quantique. 🔵 Mouvement Brownien et Diffusion La longueur d'onde thermique de de Broglie relie la physique statistique classique et quantique.

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